Часть 2

Задача 1

Пользуясь теоремами интегрирования изображения и интегрирования оригинала, найти изображения заданных функций; найденный результат проверить для первой из заданных функций по первой теореме разложения, развёртывая в ряды как оригинал, так и полученное изображение: , .

Задача 2

Пользуясь теоремой свёртывания, найти оригинал первой из заданных функций, для отыскивания оригиналов в остальных использовать полученный результат, либо теорему дифференцирования, либо теорему интегрирования оригинала. Ответ к последнему из заданных примеров проверить, либо находя по полученному оригиналу его изображение, либо находя сам оригинал иным способом – по 2-й или по обобщённой (3-й) теоремам разложения: ,,.

Задача 3

При помощи обобщённой (третьей) теоремы разложения найти оригиналы заданных функций; ответ проверить, пользуясь второй теоремой разложения:

.

Задача 4

Найти изображения заданных ниже при помощи чертежа периодической функции (на чертеже изображён первый период и пунктиром намечено начало второго) В данном примере использованы параболы 2-го порядка с вертикальной осью.

Рубежный контроль №3 (контроль по модулю №3)

1. Прямое и обратное преобразование Лапласа. Доказать теорему о существовании изображения.

2. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного, классифицировав все особые точки функции, включая бесконечно удаленную точку .

3. Найти изображение по заданному оригиналу и оригинал по заданному изображению .

4. Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях, проверить полученное решение: .

Вопросы для подготовки к рубежным контролям и экзамену

Модуль 1. Ряды Фурье и функции комплексного переменного

1. Ортогональные системы функций на отрезке (в частности наи. Примеры ортогональных систем.

2. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Эйлера-Фурье.

3. Формулировка теоремы Дирихле.

4. Тригонометрический ряд Фурье для четной и нечетной функции.

5. Разложение в ряд Фурье по синусам или косинусам функций заданных на . График суммы ряда Фурье в этих случаях.

6. Алгебраическая форма записи комплексного числа (к.ч.). Действия над к.ч. в алгебраической форме.

7. Геометрическое представление к.ч. Плоскость к.ч. Модуль и аргумент к.ч.

8. Тригонометрическая форма записи к.ч. Действия над к.ч. в тригонометрической форме. Формулы Муавра для возведения к.ч. в целую положительную степень и для извлечения корня целой положительной степени из к.ч.

9. Комплексные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Исследование рядов на сходимость.

10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости.

11. Функция комплексного переменного (к.п.). Геометрическая интерпретация. Действительная и мнимая части функции к.п.

12. Предел функции к.п. в точке, непрерывность функции к.п., производная функции к.п. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера). Аналитические функции.

13. Основные элементарные функции к.п., выделение их действительных и мнимых частей; аналитичность этих функций. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Вычисление значений элементарных функций.

14. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана

1. Последовательности комплексных чисел.

2. Производная функции комплексного переменного. Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного.

3. Интеграл от функции комплексного переменного (определение, свойства, вычисление). Связь его с криволинейными интегралами от функций действительных переменных. Вычисление при различных.

4. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной области.

5. Независимость интеграла от пути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Интегральная формула Коши (с выводом). Формула n-ой производной от аналитической функции.

7. Теоремы о разложении функции в ряд Тейлора и ряд Лорана. Стандартные разложения основных элементарных функций.

8. Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням.

Модуль 3. Теория вычетов и операционное исчисление

1. Правильные и особые точки функции комплексного переменного. Классификация изолированных особых точек. Связь типа особой точки с видом лорановского разложения функции в окрестности этой точки. Теорема Сохоцкого.

2. Вычет функции в изолированной особой точке (конечной). Теорема о вычете (с выводом). Вычет функции в устранимой (конечной) особой точке. Формула для вычисления вычета в полюсе первого порядка, в полюсе n-го порядка.

3. Вычет функции в бесконечно удаленной точке. Теорема о вычете функции в бесконечно удаленной точке (с доказательством).

4. Теорема Коши о вычетах (с доказательством). Теорема о сумме вычетов (с доказательством).

5. Применение вычетов для вычисления контурных интегралов.

6. Оригинал. Единичная функция Хевисайда.

7. Изображение (по Лапласу). Нахождение изображений для единичной функции Хевисайда, для показательной функции.

8. Теорема о существовании изображения (с доказательством абсолютной сходимости интеграла Лапласа). Поведение изображения в бесконечно удаленной точке.

9. Основные свойства изображения: линейности, подобия, смещения (с выводом).

10. Запаздывающая единичная функция Хевисайда. Запаздывающие оригиналы. Изображение запаздывающего оригинала. Изображение периодического оригинала.

11. Основные теоремы операционного исчисления (с доказательством): о дифференцировании оригинала и изображения, об интегрировании оригинала и изображения.

12. Свертка оригиналов и ее свойства. Теорема о свертке оригиналов. Формула Дюамеля.

13. Таблица оригиналов и изображений.

14. Нахождение оригинала по изображению. Формула обращения. Основные теоремы разложения.

15. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений операционным методом.