Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):

116.

а)

и = —2 sin 2xsh 2у + у,

/ (0 ) = 2 ;

б)

v = 2 cos х ch у — х2+ у2,

/ (0 ) = 2 .

О п р е д е л е н и е

3.

Функция

ср (*,

у)

называется

гармонической

в области D,

если

она

имеет в этой области непрерывные частные

производные

до

второго

порядка

включительно

и

удовлетворяет

в этой области уравнению Лапласа

а=Ф__

дх2

ду2 ~

Если

функция

f(z) = u-\-iv

аналитичиа

в некоторой

области

D,

то ее действительная

часть

и (х,

у)

и мнимая

часть

v (х, у) являются

гармоническими в этой области функциями.

Однако если

их (х, *у) и vx(.х, у) — любые две гармонические функ­

ции, то

функция

f\(z) = ux(x,

y)-\-ivl (xy у)

вовсе

не

обязана быть

аналитической функцией: для аналитичности

(z) нужно,

чтобы функ­

ции их и vx дополнительно

удовлетворяли

условиям

Коши —Римана.

Две

гармонические

функции,

удовлетворяющие

условиям

(2),

моническими:

а) и = х2 + 2 х - у 2-,

б) и = 2ех cos у,

в) и =

г) и=2 — ^гу у2 : Д) « =

arctg-J-;

е)

и =

In (х2 + у2).

118. Могут ли являться действительной или мнимой

частями аналитической

функции

f(z) = u(x, p)-\-iv(x, у)

следующие функции:

а) и = х2— у2+ 2ху\

б) и = х2;

в) v = In (хг+ у2);

г) и = ^ ± 1 у 2.

119. При каких условиях трехчлен и = ах2+ 2£т/ + су2

является гармонической функцией?

и (х, у), v (х, у)

В следующих примерах даны пары

гармонических функций.

Найти

среди

них сопряженные

1 2 0 . а)

и = 3 (х2 — у2),

v = 3 х2у — у3;

б)

и

х

v =

У .

х*+у* ’

х*+у’- ’

в) и — х, и —— у, г) u=excosy-\-1 , у =

l+ e vsint/.

121. Пусть функция и(х, #) —гармоническая

в области

126.

x = f{ax-\-by)\

а, Ъ—постоянные.

127.

u = f(xy)

126. « - ( ( { ) .

Пусть функция / (г) — аналитическая

в точке г0

и

/' (г0) Ф 0.

Тогда |/'(го); равен коэффициенту растяжения в точке

ги

при отобра­

жении w —f (г) плоскости

г

на

плоскость

w; точнее:

при

J' (г0) |> 1

имеет место растяжение,

а

при

|/'(г 0) <

1—сжатие.

углу, на

кото­

Аргумент производной /' (z0) геометрически равен

рый нужно повернуть касательную в точке г0 к любой

гладкой

кри­

направление

касательной

в точке

w0 = /(z0) к

образу' этой

кривой

на

плоскости

до

при отображении

w —f (г).

Заметим,

что

если ср =

=

arg/ ' (г) >

0,

то поворот происходит против часовой

стрелки, а

при ф < 0 —по часовой.

коэффициент

растяжения

и

угол

поворота

П р и м е р 7. Найти

при отображении

до = г2 в точке

Zq=1^2 + / \г2.

, у ^ —2 У*2 -f-

Р е ш е н и е .

Имеем

до'(г) =

2г,

так

что

wf |^ _

^

+

/2 V 2.

от

алгебраической

формы

записи

комплексного числа

Перейдя

2 / 2 + i2 К 2 к тригонометрической,

получим

2 / 2 + ( 2

/ 2 =

4 ^ +

i Щ

=

4 (cos « +

i sin j ) .

Значит,

l/,(Z)lZ= / 2

+

,-/2 ~

4,

arg Г (2) z = f?

-\-lV 2

Я

т. e. коэффициент

растяжения r = 4,

а

угол

поворота

ф =

п

-

т