- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
Р е ш е н и е . |
Очевидно, |
эта |
функция |
удовлетворяет условию |
(2) |
||
с Х0= 1 |
и произвольным |
М > 1. |
Значит, |
ее изображение существует. |
|||
По формуле (1) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
со |
|
|
|
|
F* (Р) = |
^ е' РПе~п = |
2 |
е' ‘1+Р’" = i _J~a+P> (Re Р > ~ !)• |
(3) |
|||
|
п = 0 |
п — 0 |
|
|
|
|
|
Отметим, что решетчатая функция f(ti)=en2 изображения не |
|||||||
имеет, так как |
для нее |
абсцисса |
сходимости s* равна бесконечности. |
||||
Пользуясь определением, найти изображения следующих функций:
830. |
при |
я > 0 , |
/(л) = т](я), где т](п) = | * |
я < 0 . |
|
|
при |
|
831. |
f (я) = я. |
|
832. |
/(л) = е“л. |
|
833. f (n) = an ( а > 0, а ф 1).
О с н о в н ы е с в о й с т в а д и с к р е т н о г о п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а
I. С в о й с т в о л и н е й н о с т и . Для любых комплексных по
стоянных а и р
а / (п) + Рg (п) -г- а F* (р) + PG* (р).
(Здесь и всюду |
в |
дальнейшем |
f (п) r=- F* (р), |
|
g (п) G* (р).) |
|
П р и м е р |
2. |
Найти изображение функции f (лг) = sin >г^ |
||||
Р е ш е н и е . |
|
По формулам Эйлера |
|
|
||
|
|
ein —e~iri |
1 |
|
1 |
|
|
s m n = _ _ — = |
_ е.л_ |
й е .п. |
|||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2п = 0 |
e - n p e in._ |
1 |
|
|
|
|
е‘п ^ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
1 |
* |
|
|
|
По свойству линейности |
|
|
|
|
||
1 |
/ |
1 |
1 |
\ |
|
еР sin 1 |
sin n ^ 2i \ 1 — e-'P-1' ~ |
1 —er'P*1' ) ~ |
|
е2Р — 2еР cos 1 + Г |
|||
Найти изображения следующих функций:
834.f (я) —cos л.
835.f (я) = sin ап (а = const).
836.f(p) = shn.
837./ (л) = еп — 2еп‘2.
838./ (л) = cos2 л.
II. Т е о р е м ы |
о п е р е ж е н и я |
и з а п а з д ы в а н и я . |
||
и пусть k — целое положительное число. Тогдд, |
||||
f(n + k)-±e*P F * ( р ) - |
л - 1 |
|
||
2 e~mpK m) |
|
|||
|
|
. m=0 |
|
|
В частности, если / ( 0) = / (1) = |
... = |
/ ( £ — I) = 0, |
то |
|
Аналогично,^ |
f{n + k ) ^ |
ekPF* (р). |
|
|
|
|
|
|
|
f ( n - k ) ^ |
e-bPF* (р) |
(f (n — k)== 0 для |
п < k). |
|
Пусть
(4)
(5)
(6)
П р и м е р 3. |
Найти |
изображение |
функции / (п) = еп~2 (/ (я) = 0 |
|
при л < 2). |
Имеем |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
|
I |
|
|
|
еп |
|
|
|
|
I — е1~Р |
еР —е ' |
||
|
|
|||
По теореме запаздывания из (6) находим |
||||
|
еП-2 |
е~2р |
еР |
I |
|
еР —е |
еР(еР —е) * |
||
|
|
|
||
Найти изображения следующих функций:
839./ (/2) = т] (п — Л).
840.f(n) = ea^ 3K
841.f(n) = sh2(n — 1) *т) (/г — !)•
842.f(n) = (n + 2)2.
III. |
Т е о р е м а с м е щ е н и я . Если F* (р) |
/ (/г), то для любого |
||
комплексного р0 |
F* (Р—Ро) FeW j(n). |
|
||
|
|
(7) |
||
П р и м е р 4. |
Найти |
изображение функции |
f(n) = ne2nt |
|
Р е ш е н и е . |
Имеем |
етР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П ^ { \ - < r P ) f |
|
По теореме смещения |
получаем (/?<,= 2) |
|
||
|
|
|
e-ip-2) |
|
|
|
е2пп - |
|
|
s Найти изображения, следующих функций: |
||||
843. |
/ (п) |
sin2/i. |
|
|
844.f(n) = n2e2rt. ^
845./(я) = e 3/2ch я.
IV. |
Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я . Дифферен |
цирование |
изображения сводится к умножению оригинала на —п: |