г3 + Зг2 + Зг+ 1

и имеет трехкратный

корень г = —1.

Таким образом, для построения D-областей поступаем так:

1. В многочлене

/(г, £, rj) полагаем z = /f/, отделяем действитель­

делах

от

—со

до

+ со , причем

если в

уравнениях

(7) £ —первое

по

порядку

написания

переменное,

а

\)— второе, то

при построении

кривой L система координат £Orj должна быть правой.

Если при некотором значении у определитель системы (7) и

определители

— Из

и2

—Ид

и

Ду> — Hi

“

Ид

и2

ч

V1

- 1 ’з

обращаются

в

нуль,

то

при этом

значении у одно из уравнений (7)

является

следствием

другого,

и

для

этого

значения

у

получаем

в

плоскости

£От] не точку,

а прямую

линию

(особая

или

исключи­

тельная прямая). Ее мы также включаем в границу D-разбиения.

Если коэффициент при старшем члене характеристического урав­

нения

зависит

от

параметров £ и г|, то, приравнивая

этот

коэффи­

циент

нулю,

получаем уравнение

еще одной особой прямой,

соответ­

ствующей у = оо.

определитель

системы

(7)

Д =

0,

то

границей

•

Если,

наконец,

D-разбиеиия служат только особые прямые.

3. Выделяем связные области, на которые L разбивдет плоскость

параметров. Это

и будут области

D (к,

л — k) ( О ^ к ^ п ) .

4.

Определяем

характер

этих

областей,

т. е. находим к и п —к.

Для этого выбираем в каждой из областей D (kt

n —k)

по одной точке

(£о, По) и исследуем полученный

многочлен /(z, £0,

Ли) с числовыми

коэффициентами

на устойчивость с

помощью изложенных выше кри­

териев устойчивости Рауса —Гурвица

или Михайлова

(см. §§ 2G и 27).

Построить D-области для следующих многочленов:

985.

г3 + £г2 +т]2 + 6.

986.

г4 + ^ 3 + г]22 + 4г^1.

987.

z8 +

Ez2 +

l l 2 +.ri.

988.

z3

+ (z2 + 2)| + r)Z-4.

989.

Z4 +

2Z3 +

£Z2 +

Z-{-TI.

990.

z3-H3z?+-£z + ri.

991.

zs+'Ez2 + (z +

l)T ]+l.

992.

z3+<]z2 + iz + 6.

993.

zs +

2z2 +

l{ z —1) + т).

994.

23

+ |(z2 + z) + z + 2ц.

I. Р е ш е н и е о д н о р о д н ы х л и н е й н ы х р а з н о с т н ы х

у р а в н е н и й

с п о с т о я н н ы м и

к о э ф ф и ц и е н т а м и .

Пусть

имеем разностное уравнение

порядка к:

f(n + k) + aJ(n + k - \ ) + ... + akf(n) = 0,

(1)

где

ak Ф 0;

f (п) — искомая

функция

целочисленного

аргумента;

alt

.... ak— действительные постоянные.

уравне­

ния

Для нахождения нетривиальных (ненулевых) решений

(1) составляем характеристическое уравнение

№ -f- алк,{~1+ .. . +

0/f_Д + я* = 0.

(2)

Пусть

кх, к21 •••» Я*— корни

уравнения

(2).

Возможны следующие случаи:

различные.

1) кх, Я2,

.... Я*— вещественные и

Общим решением

уравнения (1) будет

I (я) = С1Я,57+

С2Я2+ -.. + С^Я£,

(3)

где

Сь С2, ..., С/г — произвольные

постоянные,

которые

могут быть

определены, если заданы

начальные

условия

} (0) = /0>

f (0 “

/i»

f ( k — !) =

/*_,.

2)

Корни

характеристического

уравнения

действительные,

но

среди

них есть кратные. Пусть, например, кх = к2 = ... — k f = k t т. е.

к является /-кратным корнем уравнения (2), а все остальные

к —

корней различные.

Общим решением уравнения (1) будет*

I(п) = Сгхп + с гп%п+ ... +

С / - Ч п+ С/+,\" +1 + • •. •+

(4)

3) Среди корней характеристического уравнения (2) имеются

простые комплексные

корни.

Пусть,

например,

для определенности

кt =

a -f i'P,

к2 = а — ф ,

Я* = 7 +*6,

K = y — i6,

остальные корнидействительные и различ-ные.

^

Общее решение (1) имеет тогда

вид

/ (п) =

С, ' Я, |л cos (n arg кх)+

С2 ! кх \n sin (n arg Ях) +

+ 'Сз IК Г С03 (я аге лз) +

с 4 I Хз I" sin (я аг8 h ) + СбА," + .. . +

(5)

4)

В случае,

если Xj = а я в л я е т с я /'-кратным корнем уравне­

ния (2)

^ /sS ‘2 j,

то Я2 = а —ф

также

будет /'-кратным

корнем

и

общее решение (1) имеет вид

{ (я) = (Cj +

С2я + .. . + С/п/ - 1) ; X] |л cos (я arg Хг)+

+

(С/+1 +

С/+2,г + • • ■•■+с г/я/"1) | *1 f

sin (nargXj) +

+

C2/+l*2/+l + • • • +

c kK-

(6)

З а м е ч а н и е .

Корень

A,= G

соответствует тривиальному (нуле­

вому) решению / (п) = 0.

П р и м е р

1.

Найти общее решение уравнения

/(я +

2) +

4 /(я + 1 ) +

/(я) = 0.

Р е ш е н и е .

Составляем

характеристическое уравнение

Я2 + 4Я+ 1= 0.

Его корни

= —2 —1/^3, Я2 = —2+ 1^3' различные и действительные;

следовательно,

/(я) = С, ( _ 2 - К з )я+ С2 ( - 2

+ / з)'‘.

П р и м е р

2.

Найти

общее решение уравнения

/ -(я +

3) —3/ (я + 2) +

3/ (я + 1) —/ (я) = 0.

Р е ш е н и е .

Характеристическое уравнение имеет вид

Л,3 —ЗЛ2 +

ЗХ — 1 = 0

или

(Л.— 1)з= 0.

Отсюда ^ == Л2 = Я3 = L Общим решением будет

/ (п) = (Cj -}-С2/z -}-С3я2) • 1п=

-f-С2я -f-С3я2.

П р и з е р

3.

Найти

общее решение уравнения

/ (я +

2) —2/ (я + 1) +

2/ (я) = 0,

имеет простые комплексные корни

Находим

= 1-{-/,

Я2 = 1— i.

| l ±

i| =

/ 2 ,

arg(l+{') = -^.

Общее решение имеет вид

/ (и) = Сх2 2 cos

+

С22 2

sin-^- = 2 2

cos

+ С2 $in

.

П р и м е р

4.

Найти

общее решение

уравнения

/ (я +

4) +

2/ (п+

3) +

4/ (я +

2) —2/ (я + 1) —5/ (я) = 0.

Р е ш е н и е . Составляем

характеристическое

уравнение

Ь4 + 2Я3 + 4Х2- 2 Я - 5 = 0.

998.

3f(n + 2 ) - 2 f ( n + l ) - 8 f ( n ) = 0.

999.

/ (п +

3) 4" 3/ (ft +

2) +

3/ (п +

1) -f- / (п) = О,

1000.

f

(0) =

1»

/0 ) = 2,

/ (2) = 3.

4/ (/г + 2) — 8/ (/г + 1) + 5/ (/г) = 0.

1001. / (лг +

3) — 8/ (/г)

0.

1002. / (я +

4) — / (я +

2) + 2/ (/г +

1) + 2/ (я) =

0.

II. Р е ш е н и е н е о д н о р о д н ы х

л и н е й н ы х

р а з н о с т ­

/ (я + k) + a j (п + k — 1) + ... + akf (п) = g (п)

(7)

где

и (п) —многочлен

от п степени

т , а г —действительное число.

Если г не

является .корнем

характеристического уравнения (2),

то частное решение / (л) ищется

в виде

/(п ) = г«й (л),

где й (п) —многочлен

степени т;

если

же г является /-кратным кор­

нем

уравнения

(2),

то й (п) — многочлен степени m + j.

2) Если правая

часть g(n) уравнения имеет вид

g (п) =

и (п) .sin ап

или

g(n) = u (п) cos ant

то частное решение ищется в виде

/ (я) = й (п) sin ап +

й (п) cos ап.