851.

1 —cos ап

852.

л — sli л

VI.

Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е

по

п а р а м ет р у. Пусть ори­

гинал и изображение

содержат

параметр

е,

не зависящий

от п и р,

и пусть

4

F* (р,

е)

/ (л,

е).

Тогда

BF* (р, е) .

д} (л,

е)

де

•"

де

’

т. е. производная по е от изображения

есть

изображение

производ­

ной по е от оригинала.

Предполагаем, что все эти производные суще-

ствуют и df(n,

е)

есть

оригинал.

де

8.

Найти

изображение пеап (а — вещественное).

П р и м е р

Р е ш е н и е .

Имеем

еа п -t

еР

а

в качестве пара-,

. Примем

метра. На основе теоремы о дифференцировании

по

параметру

VII.

И н т е г р и р о в а н и е

по

п а р а м е т р у .

Если /(л, е)-^

^

F* (р,

е),

где

параметр

е не

зависит от

л и р (е0

в ^ X),

то

е

е

j f (л,

e)de^- j

F*(p,

e)de,

(15)

Bo

e0

T.

e. интегрирование

по параметру

e оригинала

соответствует

инте­

грированию изображения по параметру е.

по

параметру

найти

П р и м е р

9. С помощью

интегрирования

*

„ .

1 —cosen'

изображение решетчатой функции ------------ .

Р е ш е н и е .

Имеем

еР sin е

sm ей -г-

е*

--------г-:.

р —2еР cos е + 1

Интегрируем

левую

и правую

части этого соотношения по пара­

метру е

в пределах

от е0= 0 до е:

И з о б р а ж е н и е

р а з н о с т е й .

Разностью

первого

порядка

решетчатой функции

/(л)

называется

величина,

обозначаемая

симво­

лом А/ (п)

и определяемая равенством

Д /(«) =

/ ( « + ! ) - / ( « ) .

(17)

Разностью второго

порядка Д2/ (п)

называется величина,

равная

или, учитывая (17),

Д2/ (п) =

Д/ (л +

1) — Д/ (п)

(18)

АV (я) =

/ (я +

2) - 2/ (л +

1) + / (л).

(19)

Вообще,-разность

А-го

порядка

Аkf (п)

определяется соотношением

или

Д*/ (я) = Д*-1/ (я +1) -

Д*-1/ (л)

(20)

fe

(21)

Д*/(«)- 2

( - i / q / (я+А-д,

и-

/ = О

-биномиальные коэффициенты.

где СЬ - 1 Щ

-/)!

функции

/ (л) =

2п2.

П р и м е р

11. Найти разности для

Р е ш е н и е .

По определению

первая

разность

А/ (л) =

2 (л +

1)з - 2л2=

2 (2л +

1).

Вторая разность

А2/ (л) =

А/ ( я +

1 ) - А/ (я) =

2 [2 (я +

1) + 1] —2 (2л +

1) =

4.

Очевидно,

все

разности

более

высокого

порядка

равны

нулю (срав­

ните с производными

функции

/(/) = 2/2).

В следующих

задачах

найти

разносги

&-го порядка:

864.

/(п) = 3/1+

2.

865.

/(/г)=<?2я.

866.

\{п) = пг- п .

Пусть / (л) J . F* (р).

Тогда

A }(n )-^(eP -l)F *

(p)-ePf (0),

и т. д.

Д2/ («)

(«р -

1)2/7* ( р ) - е р (ер-

1) / (0) - е рД /(0)

Вообще,

fc— I

Д*/ (Я) ^

(еР- l)ft F* (р)~еР

2

(е?— l)*"v_1 Av/(0)>

(22)

v = 0

где положено

Д°/(0) = /(0). Из

соотношения (22)

находим

< 2 3 >

v = 0

где LD {А*/(л)}—изображение

A* /(л)

в смысле

дискретного

преоб­

разования

Лапласа.

Av/ (0) = 0

(v =

0,

1, ...,

/е— 1) или,

что экви­

Если,

в частности,

валентно,

/ ( 0) = / (1) =

... = /(& — 1) = 0, то формула *(22)

приобретает

особенно простой

вид

А*/(Я) ^ ( e P - l ) ftF*(P).

т. е. операции

взятия разности k-то порядка

от оригинала отвечает

умножение изображения

на (еР— 1)*.

П р и м е р

12. Найти изображение функции / [п)=п1.

Р е ш е н и е .

Имеем

Д/ (п) = 2/ г + 1,

Д2/(п) = 2я+ 3 —2/1— 1 = 2 ,

Д*/(я) = 0

(k >

2).

Далее

/ ( 0) = 0,

Д/ (0) =

I, Д2/ (0) =

2. Полагая

в равенстве

(23) 6 = 3,

будем иметь

*

Пп)

F* (р) =

_

ef

V

Av/ (0)

еР

(п

I 1 |

2 \ _

вР(еР+ 1)

еР— 1 Z i (еР— l)v

еР— 1 \ _l'e P — I -1-

(еР— 1)V

(еР— 1)» ’

v=0

f (п)

F* (р).

Рассмотрим сумму

"е

/ И .

т = 0

Тогда

m = 0

т. е. суммированию

оригиналов

отвечает деление изображения на

еР — 1.

Вообще, ^-кратное суммирование оригинала соответствует деле­

нию изображения

на

(сР— 1)*.

П р и м е р 13.

Пользуясь теоремой об изображении суммы, найти

сумму

л — 1

2

те”1.

т = О