Найти ре1иения уравнений:

pF (р) Ф (Р) =4 / (О ф (0) +

t

f (т) ф' (t

г) dr.

6

(1)

Это —так

называемая формула Дюамеля.

уравнение

Пусть

требуется

решить

линейное дифференциальное

с постоянными коэффициентами л-го порядка

L [х] =

(0 + ахх'п-" (t) + ... + аях (/) = /(/), «о Ф 0,

(2)

при

нулевых

начальных

условиях

* (0) = х' (0) = ... = х<*~1>(0) = 0.

(3)

Допустим,

что известно решение

уравнения

Ц х )

=

\

(4)

с той же левой

частью и правой

частью, равндй единице,

при

усло­

виях

(3). Переходя к операторным уравнениям, будем иметь {А (р) —

известный

многочлен

от р)

'

для

(2) и

Л (Р) X{p) = F(p)

(5)

А (р) X, (р) =

i

(6)

для

(4).

Из

(5) находим

X (р) =

^ ^

, а

из

(6)

А(р)

РХ, (Р) ’

откуда X (р) = рХ х (р) F (р)

Согласно формуле

(I)

t

(7)

рХх(Р) F (р) =

/ (0 *i (0) +

/ (т) х[ (I -

т) dr.

8

Учитывая,

что

(0) = 0,

получаем

X (р) = рХ, (р) F (р) =

/ (т)

(/ —т) dr.

(8)

б

Отсюда решение *(/) уравнения (2) при нулевых начальных

усло­

виях

(3) буде!

иметь

вид

t

x(t) = \f(r) x[(l—r)dr,

(9)

б

где хх (t) — решение задачи

(4) —(3).

уравнение

П р и м е р

1. Используя формулу Дюамеля, решить

при заданных

начальных

условиях

дг" (0 —дг (0 =

- ^

,

* (0) = * '

(0) = 9-

Р е ш е н и е .

Рассмотрим

вспомогательную

задачу

%

*; (0 -

(О=

1,

(9) = Х[ (о)= о.

Применяя

операционный метод,

находим

1

откуда

(Р) = Р (Р2— 1)

t

(/) — ^ sh т dr = ch t — 1.

По формуле (9)

х

1

sh (t-т ) dT=

~l. (e< -te< -l)-f sh t ■In ]+ el

1 +с*

2 '

Требование, чтобы начальные условия были нулевыми,

является

несущественным:

простой

заменой

искомой

функции задачу с нену­

левыми

начальными

условиями

можно

свести, к задаче с нулевыми

условиями.

Покажем

это

па примере дифференциального уравнения

2-го порядка.

решение уравнения

Пусть

ищется

о0*»(0 +

а д '( 0 + а д ( 0 = ) ( 0 .

(10)

удовлетворяющее ненулевым

начальным

условиям

Положим

A (0) = .V0,

х' (0) = х,.

1/(0 = -'"(0 —

V -

(П)

Тогда

у’ (/) =

* '( 0 - х „

у" (t) = x"(t),

и уравнение (10)

преобразуется

к виду

где

аау" (0 +

О|‘/' ( 0 + а д

(0 =

/i (0.

h (О= / (О -

а д - а д -

ад<-

Далее,'

в силу (1 1 )

у (0) = * (0) — *„ = 0,

у' (0) = х* (0) — я, = 0.

х" + 2 х '+ х =

-И .

( 12)

х(0) = —2,

х' (0) =

1.

(13)

Р е ш е н и е . Сводим задачу

(12) —(13)

к задаче с нулевыми

на­

748.

х" -

х' =

—— -,

х (0) -

дг' (0) = 0.

(Н -с'Г-

749.

х" +

2х' + х

^ - ^

,

х (0) -

х' (0) = 0.

750.

х " - х ’

е"-<

х (0) —а-' (0) = 0.

2 -1- с '’

751.

х " - х ' =

1

A:( 0 ) = A-' (0 ) = 0 .

752.

** + * = ■

1

x (0) = x' (0) = 0.

2 +

cos / ’

75 3 - * ' + J‘ = ? + W

A' (0) = x' (0) = 0.

754.

x" + ,v=

1

x (0) = x' (0) = 0.

■COS2 t 9

755.

*•" + * =

1

x (0) = x' (0) = 0.

1 +

sin21

9

756.

.v"—* = th/,

x (0) = x' (0) = 0.

757.

x'“+ x' =

2 +W r*

A- (0) = x' (0) = x" (0) = 0.

уравнений

второго

порядка

'

п

2

(а<* I

F

+

b<xi

r +

-

л (/)

(1 )

/< =

1

( / =

1. 2,

...,

л),

где aib> bikt

ciff — const, при

начальных

условиях

хк (0)= а * .

4 (0) = Ра.

(2)

Обозначая

с

через

Xk (p)

и

Z7/ (р)

изображения

л> (/)’ и /,•(/),

от си­

стемы (I)

учетом (2) перейдем к операторной

системе

п

п

У! (в |* Р 3 +

& /* Р + с/*)

(p) = Fj (р ) -j- 2

[ ( я /* р + &,•*) а *

(3)

* = 1

* = |

(< =

1. 2.........я).

относительно

Х к (р),

найдем

X к (р),

а

затем

их

оригиналы xk (/)

(Л =1, 2, ....

я). Эти

последние

будут

решениями

задачи Коши для

системы ( 1).

Решить систему

уравнений

П р и м е р .

(

= 3 (у-х-\-г),

{

tj" = x - tj,

I г" — — г,

А*(0) ~

х ' (0) — 0,

У(0) = 0,

//'(0) = -1 ,

2 (0) = I.

г '( 0) = 0.

Р е ш е н и е . Переходя

к операторной

системе,

получим

(

р * Х - 3 ( К — X + Z),

| р"-К+ 1 = Х - К , '

{ p ! Z - p = - Z ,

Л

(Р) == А- (0 .

и

(Р) - - У (0 ;

2 (Р )

; • г (/).

* (Р )

3 (р — 1)

Y (р) =

3 ( Р - 1 )

1

Р2 (Рг + 4) ’

P*(P2+ l ) ( P s+ 4 )

Р2+ 1 ’

768.

У' =

7/-М +е°',

* ( 0 ) = 1 ,

У (0) = 1 .

769.

а' =

2х - у

+ г,

у' —х-\-г,

х(0) =

1, т/(0) = 1, г (0) = 0.

tx' = — л'

У z -\-t,

771. ty' = x - y

+ ? + t3, z (1) = 7/(1) = г(1) = 0.

Хц— схп

схп-ч%

х„(0) = 1,

л:, (0) = х, (0) = . . . = х„ (0) = 0.

773.

За:' +

2х + у’ = 1,

х (0) = у (0) = 0.

х

, , ,

, 7 *

’

+4у

+3у —0,

'

J ' '

3tx' = 2х-\-у — г,

774.

2ly' = x + 3y + z,

,v(l) = //(l) = 2 (l) = l.

Ыг' — —х

7У ~\r5г,