596.

Показать,

что ■/„ (t) ^

1 р—

597.

Показать,

w

l V + 1

что

_

м ь

Y W -=Т '

м о

' п\

у" ь '

(« = 0 , 1 , 2 , ...) .

601.

Показать,

что

erf (]//)

где

P V P + i 1

i

erf (t) ■

L-

J в-"*

г .л

J

Пусть

требуется

найти

сумму

функционального

ряда

2

Фл (0>

где фл (/) —функции-оригиналы.

п = 1

изображениями,

придем

к

ряду,

Заменив

функции

ф„ (0

их

составленному

из изображений,

суммировать который иногда бывает

значительно проще, чем исходный ряд. Переходя от найденной

суммы

к функции-оригиналу, найдем сумму данного ряда.

П р и м е р

19. Для

полиномов Лагерра Ln (() имеем

Поэтому

4 о-?)'

rt=*0

1

2р — 1

2 ^ -

Р

‘ -

и

-

1

Р —

-

Таким образом,

t

оо

2 (

1)п^п (0 ^ ~2 е 2 •

гс= 0

6 0 2 . Показать,

что

со

2

(— 1 ТЦп (21) = J

el (sin / +

cos t).

гс= 0

со

6 0 3 .

Показать,

что

^

—

Vt)-

>1 = 0

ОО

6 0 4 .

Показать,

что

У

( —

1)лУ.>я+1 ( 0

==

^ sin t.

>1 = 0

ОО

6 0 5 .

Показать, чтоУ0(/) + 2 ^

Ля (0 =

1.

где «/л (^) —

функция

Бесселя порядка

Л.

гс =

I

606.

Показать,

что

—

0 < /< - j- o o .

гс = 0

П р и м е р

20.

Вычислить

интеграл

'

«

- I

' > » •

'

о

Р е ш е н и е . Для соз tu> рассматриваемого как функция аргумента

t, по теореме подобия имеем

c o s /w = = -^

Поэтому

р- + и- •

4" 00

р du

/<0 *

(р2 + и~) (а2 +

и:1)*

Подынтегральная функция, как функция аргумента и, допускает

представление

Р

Р

1

.

Р

I

(р2+ «2) (а2+ и 2)

р- — а-

р3 + м‘-

р2 — а'2

а3 + ы3'

Следовательно,

f ...

. /

1

L

и ,

р

1

.

м \

м “

+

30 __ *3 ,1

/ (0

-5 1 -----^-----г, arctg ---- —- • — arctg -

<*/

\

р— а-

р

р- —а2

а

;/ = о

~~ 3tz р + а '

/ ( 0 =

^ .

Вычислить интегралы:

607.

a)

t > 0;

с //\

С

sin tu • cos и

,

. ^

л

б) /(/)=

J

----- ------ du,

t > 0.

608.

Найти

значения

функции f(t) н ее первых двух

производных при /-► + <), если f{t) + —J£±L— . и

/'(0 ,

/"(/),

(0 — оригиналы.

О т ы с к а н и е

о р и г и [ а л а

по

и з о б р а ж е н и ю .

Для

нахождения оригинала

/(/) по

известному* изображению F (р)

приме­

няются следующие

приемы:

I. Если F(p) = Q(P) есть

правильная

рациональная дробь, то

R(P)

1

А . *В .

Ср-f-D

Р (Р - 1 )(Р а+ 4 )=

Р ^ Р — 1 +

Р4-М '

1 1

1 р

1

1

(17)

' м — Т 7 + 5 р - 1 20 р2+ 4

5

р2+ 4#

П р и м е р 22. А(р) = —

Найти оригинал /(/).

Имеем

F(P) = (Р2+

О2

Р Ч

Р2+1

‘

t

t

~

sin (/ —т) sin т dx =

g

[cos7 — cos (2т — /)] dx =

— - - 1cos i — --

sin (2T — t)

T —t

1

1

=

— / cos t — -- sin i.

T = O

2

'2

П р и м е р

e rP

Найти

оригинал

/ (/).

23. F (p) =

Р е ш е н и е .

Ж

указывает на необходимость

Наличие' множителя

е~Р

применения

теоремы

запаздывания. Здесь т = 1 ,

поэтому

Р - Н

‘

е г Р _•

а —

1).

Л (

/ -

что

при

определенных

условиях,

наложенных на F (р), оригиналом

для

F (р) служит функция

/ ( / ) =

2

res[F(p) е Р '\,

(»»)

где сумма

вычетов берется по всем особым точках! pk функции F (р).

Q

(р )

— правильная рациональная дробь,

В частности, если F (р) — D . \

то оригиналом

"

(Р)

ее служит функция

1

nk-l

/ < о =

2

lim

—

\F (p)ept ( р - р к)Пк\,

(18)

* Т |( я * - 1)1 p~ pkdP *

где

pit — полюсы F (р)

кратности

пк и сумма в (18)

берется

по всем

полюсам F (р).

полюсы

F (р)

простые,

то формула

(18) упрощается

Если

все

и принимает вид

/

'

П р и м е р

24. F (р)= (pi-L |)2 • Найти оригинал

/ (/).

Р е ш е н и е .

Функция F (р) имеет полюсы р}= \,

рг = — ^ к а ж ­

609.

F(p) = 2-— .

610.

F{p)

Р8

611.

F(p)-

е-чр

612.

F(p) = f £ .

Найти оригиналы

по заданному

изображению:.

613.

£ ( p ) = ^ p ^ q : 5-

614.

F{p) = p i+ i-W

615.

616.

F{p) = (рз^- 1)а*

617.

F (р)

рjf.2р-

р:1'

618.

F(p) = - r ^ -

619.

г., ч

2/>3-гР 2+ 2р- г 2

620.

F (р) = р2 (р2+ ,у

F (р)

ро 2р4 -j-2р3

621.

п / \

р -|- 2

F (р) =

(р4_ 1) (р_2) (Р-+4)-

622.

/г!

F(p) = p{pJr i)(p + 2)...(p+n)‘

623.

F CP) = pi + 2р3 + Зр2 -г2р + Г

624.

F (р) =

р2 4-2р—1

рз+ зр-2.|_зр-]-1•

625.

F(p) = y q r r

626.

F(p) —рз^4рза_5р

Здесь L означает

применение

к Т преобразования Лапласа, А —

решение операторного

уравнения

11, L~l — применение к III обратного

преобразования

Лапласа.

Коши

П р и м е р

1. Решить задачу

-{-дг= 2 cos

JC(0) = 0, * '( 0) = — !•,

* (0 ^

X (р), х' (/) ~ р Х ( р ) - х (0) =

рХ (р),

** (0 ^

Р-Х (Р )-р х (О )-х ' (0)= р*х (р) + 1 ,

c o s t -

,

так что операторное уравнение имеет вид

Р 2Х ( р ) + 1 + Х ( р ) =

2/г

Р2+ 1’

отсюда

2Р

1

Х{р):

(Р2+

D2

Р2+ Г

Находим оригинал для X (р).

Оригинал

для функции

1

647.

х' -\-х = е-‘,

х (0) =

1.

648.

х ' - . х = 1 ,

А' (0) =

— 1.

649.

x'-f2A = sin/,

А-(0) = 0.

650.

а" = 1,

а (0) = 0,

х’ (0) =

I .

651.

х" + х' = 1,

А'(0) = 0,

х' (0) =

1.

652.

*" + x = 0,

х (0) — 1,

х' (0) = 0.

653.

хГ + Ъх! = е?,

х (0) = 0,

х' (0) = — 1.

654.

х " -2 х ’ =е*,

х (0) = х' (0) = 0.

655.

хп+ 2 х ' - 3 х = ег(,

х(0) = 0,

х' (0) =

1.

656.

х'" + х' = 1,

х (0) = х' (0) = х" (0) = 0.

657.

x,’-l-2x' = lsin ^

х(0) = 0,

х' (0) = 0.

711.

хт+ х == 1,

х (0) = х' (0) = х" (0) = 0.

712.

x" + (o2x = a[i](t)-4 (l- b)]t

х(0) =х' (0) = 0.

Требование,

чтобы начальные условия были заданы вточке/ = 0,

несущественно,

так

как линейной заменой

независимой переменной t

задача

Коши при

t==to=£0 сводится к задаче с начальными

усло­

виями

в

точке

/ = 0. Покажем

это

на

примере дифференциального

уравнения

второго

порядка.

решение

уравнения

Пусть

требуется найти

(0 +

Ъх* (/)

а * (/)= /(/),

(4)

удовлетворяющее начальным

условиям *(/0) = л*0, *'(/<,) = *i, где

/0=£0.

Положим

Тогда

< =

т+<„;

х (/) = х (т-|- /о) =

•? (т);

/( 0 = /(т + /« )= /(т ) .

л '(0 = *' (т +

/0) =

(т),

я0*" (?) + охГ

(т) +

а»Я (т) = / (т),

(5)

Я (0) = л*0т

Я' (0) = лг,.

Мы получили задачу Коши для уравнения (5) с начальными

условиями, заданными в точке т = 0,

П р и м е р 2.

Найти

решение уравнения лг" (/)+ * ' (/) = /, удовлет­

воряющее начальным условиям

дг ( 1) =

1 . х' (1) = 0.

Тогда

Р е ш е н и е .

Положим /=^т +

1

и *(/) = * ( т + 1) = .? (т).

данное уравнение и начальные условия примут вид

Я" (т) + - П т ) * т + 1 ,

л* (0) = 1, х' (0) = 0,

(6)

так как значению

/ = 1

отвечает значение т = 0.

Составим операторное уравнение для дифференциального урав­

нения (6). Пусть X-(t)=X(p). Тогда

Я9(т)= р Х (Р) — 1.

Я" (Т)= р 'Х (р) — Р,

и операторным уравнением будет

P * * (p ) - p + p X ( P > - l - p S + р -

Решая его относительно

X (р),

найдем

*<*>“ £ +

Ь

Переходя

к оригиналам, получим

•f(T) = l +

J .

Заменив

здесь т па t — 1, будем иметь искомое решение задачи Кошн

х (/)=!-!- «

- 1)а