- •делится на лс2 — 2Ъ; cos а + X2.
- •12. Вычислить:
- •В следующих задачах найти все значения корня:
- •Решить уравнения:
- •49.. cosx + i sinx = sinx+/cos.x\
- •Найти следующие суммы:
- •§ 2. Функции комплексного переменного
- •66. Найти логарифмы следующих чисел:
- •67. Найти:
- •71. a) ctgm‘; б) Arcsint; в) Arctg—.
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
- •Вычислить следующие пределы: ]
- •Доказать, что следующие функции непрерывны на всей комплексной плоскости:
- •.... «) —комплексные постоянные.
- •103. Показать, что функция w = e* непрерывна во всех точках комплексной плоскости.
- •§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши — Римана
- •Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по'известной действительной части и(х, у) или мнимой v (х} у) и значению Д(г0):
- •В следующих задачах найти все гармонические функции указанных видов:
- •Найти коэффициент растяжения г и угол поворота ф при заданных отображениях w — f (г) в заданных точках:
- •ражении w = га и длину его границы.
- •160. J sinzcoszdz.
- •§ 7. Ряды в комплексной области
- •Найти радиусы сходимости следующих степенных-рядов:
- •Оценить радиус сходимости R следующих рядов:
- •Определить область сходимости следующих рядов:
- •Определить области сходимости следующих рядов:
- •§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки
- •Определить характер указанных особых точек:
- •§ 9. Вычеты функций
- •Вычислить следующие вычеты:
- •Используя вычет относительно бесконечно удаленной точки, вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Вычислить следующие интегралы:
- •Найти суммы следующих рядов,, считая число а нецелым:
- •§ 12. Конформные отображения
- •477. Плоскости с разрезом.по отрезку [—1, 1].
- •§ 14. Нахождение изображений и оригиналов
- •511. Проверить, какие из указанных функций являются функциями-оригиналами:
- •Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
- •Найти изображение функции:
- •Показать, что если / (/) === i7 (р), то
- •Показать, что функция
- •588. Найти изображение функции распределения масс Ш/, в точках i = k
- •594. Показать, что
- •595. Найти изображение функции / (() = Jx (I).
- •597. Показать, что
- •598. Функция Бесселя первого рода чисто мнимого аргумента In(t) выражается через функцию Бесселя /„(<) соотношением /„ (/) = (i)~nJ„ (it).
- •Показать, что
- •599. Полиномы Лагерра определяются формулой
- •600. Найти изображение функции /(f) = ln/.
- •Решить следующие задачи Коши:
- •Найти ре1иения уравнений:
- •§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
- •§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра
- •Решить интегральные уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •Решить следующие уравнения:
- •§ 20. Решение некоторых задач математической физики
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •s Найти изображения, следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •Найти изображения следующих функций:
- •854. f(n) = n2shan.
- •Найти следующие суммы:
- •Определить порядки следующих разностных уравнений:
- •Установить характер точки покоя (0, 0) в следующих системах:
- •§ 23. Второй метод Ляпунова
- •Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя х = 0, у = 0 в следующих системах:
- •§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
- •Исследовать на асимптотическую устойчивость в целом нулевые решения уравнений (см. [2]):
- •953. На примере уравнений
- •§ 26. Критерий Рауса — Гурвица
- •Исследовать на устойчивость тривиальные решения уравнений:
- •При каких значениях а будут устойчивы тривиальные решения следующих уравнений
- •§ 28. ^-разбиения
- •Построить D-области для следующих многочленов:
- •общее решение
- •называется устойчивым, если для любого в > 0 существует б (е) > 0
- •устойчивость нулевое решение следующих разностных уравнений:
- •ОТВЕТЫ
С |
sin ai sin bt |
^ |
л |
, . |
m |
|
|
554. \ |
------ j-----rdt |
( a > |
0, |
f t > 0). |
|
||
VII. |
Т е о р е м а с м е щ е н и я . |
Если |
/(/)==■ F (p), то для любого |
||||
комплексного p0 |
ePal f(t) ~ F ( p - p 0). |
(4) |
|||||
|
|
||||||
П р и м е р |
8. Найти изображение функции |
/ (/) —e~l cos 2/. |
|||||
Р е ш е н и е . |
Имеем cos2/ ;- |
|
По теореме смещения (р0= —1) |
||||
|
|
|
Р2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
e'^cos 2/ . |
|
Р + 1 |
|
|
|
" (Р+1)2 + 4*
Найти изображения следующих функций: 555. a) e2t sin t\ б) e'cos nt.
'556. 557. e'sh t. 558. tJcost. 559. g3' sin21. 560. er* cos* fit.
VIII. |
Т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я . |
Если f{ t)^ .F (p), то для |
|
любого положительного т |
^ |
|
|
|
f ( t - т) |
.-< r^ F (p ). |
(5) |
Теорему |
запаздывания удобно использовать |
при отыскании изо |
|
бражения функций, которые на |
разных участках задаются разными |
||
аналитическими выражениями. |
|
|
|
П р и м е р |
9. Найти изображение функции |
|
|
Р е ш е н и е . Для функции / (t) = /2ч (/) имеем
2_ f(t) Р3*
По теореме запаздывания для функции (/ — I)2 \) (t — 1) имеем
( / - i p , , (/ - 1) - > е- р А .
Здесь |
существенно, что ищется изображение функции |
(*— I)2 1] (/— I), |
||||
т. е. функции, равной нулю при |
/ < |
1. |
|
|
||
Если |
рассмотреть функцию |
/i (/) = |
(/— I)2 Ч (0» т° |
Лля нее 4&,ели |
||
бы /j |
= |
— 2t + 1) ч (0 и по свойству линейности |
|
|||
|
|
(*— I)2 Ч (0 |
т* |
- |
Р2 |
|
Найти изображение функции:
561.sin (/ — b) ч (/ — ft).
562.cos2 (/ —ft) ч (/ —ft).
563. e!'*r\(t-2).
П р и м е р |
10. Найти изображение F (р) |
функции f (t), заданной |
||||||
следующим |
графиком (рис. 34): |
|
|
|
|
|
||
|
|
• f(t)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
34. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Найдем аналитическое |
выражение для / (0. |
|
|||||
а) Для |
t е |
(0, |
а) функция f (t) |
задается |
формулой |
|
||
|
|
|
= |
|
1 (0 . |
|
(6) |
|
б) Для |
t е |
(а, |
2а) имеем /(/) = |
0. |
|
|
|
|
в) При |
t ^ |
2а |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(7) |
Предполагая, |
что функция f(t) ' задана |
формулой (6) для |
всех |
|||||
0, выясним, |
какую функцию Ф1 (/) |
надо к ней прибавить, |
чтобы |
|||||
получить функцию / (/) = 0 для всех t ^ |
а. Потребовав, чтобы при t ^ a |
|||||||
|
|
|
- Ц ^ + 'М |
0 = 0, |
|
|
||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее |
находим такую функцию |
ф2 (0* |
чтобы в сумме с f (t) = 0 |
|||||
|
|
t — 2а |
^ |
|
|
х |
|
|
иметь функцию — - — для всех t |
2а. Это дает |
|
||||||
откуда |
|
|
o + iM O — Ц г 5-, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Таким образом, для всех |
|
получим |
|
|||||
I (() = — |
■ |
|
|
|
|
|
||
Пользуясь свойством линейности и теоремой запаздывания, находим искомое изображение F (р) данной функции / (/):1
1 |
1 |
П р и м е р 11. |
Найти изображение F (р) функции / (/), которая |
задана следующим |
графиком (рис. 35): |
Р е ш е н и е . |
Найдем аналитическое выражение для |
функции /(/)« |
||||||||
а) |
/ ( 0 = 1 |
|
для |
t е |
(0, |
а), |
|
|
|
|
б) |
/( 0 = |
0 |
|
для |
t е |
(а, |
2а), |
|
|
|
|
|
/ —2а |
ДЛ'я |
t |
<= (2а, За), |
|
|
|
||
в) / (0 = — -— |
|
|
|
|||||||
г) |
/ ( 0 = 1 |
— |
|
для |
/ <= (За, |
4а), |
|
|
||
Д) /(0 = |
0 |
|
Д^’я |
t ^ |
4а. |
|
|
|
|
|
Для t е |
(0, |
а) имеем / (/) = 1. |
|
|
выполнялось |
|||||
Далее найдем функцию ф1 (/) такую, чтобы при t ^ a |
||||||||||
соотношение |
1 |
+.ур1(/) = 0, откуда фх (/) = — 1 |
ц (/ — а). |
|
||||||
Теперь |
находим |
функцию ф2 (0 |
такую, |
чтобы при всех t > 2а |
||||||
было справедливо равенство 0 + ф2 (0 = ““ —“ • Отсюда
% (0 = - " 2п П (/ — 2а).
Аналогично находим функции
’fe (0 = - 2 |
«1 (/ - За), |
Г) (< - 4а). |
|
Таким |
образом, |
|
|
/ (/) = Л (/) _ |
п (^ — а) + |
/ __ 0/7 |
|
^ Л (^ —2а) — |
|
||
—2 —— — л(/ — За) + -— — г) (/ — 4а).
Пользуясь свойством линейности, и теоремой запаздывания, получим изображение
F (р ) = |
------ --- е ~ а Р 4- Д г |
---- Д |
4- Д - е - * ° Р . |
||||
к / |
р |
р |
' ар |
2 |
ар- |
ар2 |
|
П р и м е р 12. |
Найти |
изображение функции |
|||||
|
|
|
( 0 |
при |
/ < |
1, |
|
|
|
|
/2 |
при |
1 < |
/ < |
2. |
|
|
|
0 |
при |
t > |
2. |
|
Р е ш е н и е . Выразим /(/) через степени разностей / — I и / —2. Имеем
1)+1Р= (<- 1)4-2 (f-l) + l,
/2 = [(< - 2) + 2]2= ( ; - 2 )2+ 4 ( / - 2 ) + 4. Следовательно, данная функция f (t) запишется в виде
/ ( / ) - [ ( < - l)2+ 2 ( / - l ) + 'l ] ^ - l ) - [ ( / - 2 ) 2 - l - 4 ( < - 2 ) - | - 4 ) 11(^ - 2 ) . Переходя к изображениям, получим
f(D^F(p) = [
Найти изображения следующих графически:
1№ |
|
|
1 |
1 |
|
564. |
1 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
/ |
1 |
567.
568.
' H i -г! |
при |
0 |
t ^ a , |
при |
t > |
а. |
573.
575.
f(t)k
577. |
|
О |
|
|
|
2а |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
-ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
578. Пусть функция /(/), периодическая с периодом Т 9 |
||||||||||||
есть функция-оригинал. |
Показать, |
что |
ее изображение |
|||||||||
по Лапласу |
F (р) |
дается |
формулой |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
F { p ) = T ^ p r \ e - o ‘f ( t ) d t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
и определено |
в |
полуплоскости |
Re/? = s > 0 . |
|
||||||||
П р и м е р |
13. |
Найти |
изображение периодической функции |
/ (О* |
||||||||
заданной графически (рис. 36). |
нахо- |
. ... |
|
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . |
Изображение |
v ' 1' |
|
|
|
|||||||
дим по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F{p] = y z ^ 7 |
|
I |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
где /(/) —периодическая с |
периодом |
Т функция, |
Rep = s > 0 . |
Под |
||||||||
ставляя в (8) |
выражение |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х //ч_ / |
|
при |
0 ^ |
|
1, |
|
|
||
|
|
|
i W - \ 2 - t |
при |
1 < |
^ |
2, |
|
|
|||
учитывая что Т = 2, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Г 1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
F «” -T = F * |
5 |
« + |
$ Р - о |
л |
- |
p ijg h f |
|
|||||
Найти изображение следующихпериодических функций: f(t)
579.
1 2 3 4 5 6 7 i
,f(t)
580. f -
l 2 3 4 5 t