Разработка нефтяных месторождений

При иных параметрах трещиновато-пористого пласта пере­ токи жидкости из блоков в трещины и наоборот будут значи­ тельно влиять на перераспределение давления в пласте. Так, например, если 62=10-3 мкм2, k\ = \ мкм2, размер блока а= = 10 м, 1= 100 м, то

Тогда ^i/a/2 = 0,3, величина jt2fci/4a/2«0,75.

В этом постоянном случае влияние обмена жидкостью бло­ ков и трещин на процесс перераспределения давления в трещи­ новато-пористом пласте будет значительным.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Основные понятия о конечно-разностных методах решения задач разработки нефтяных месторождений

Расчет многих процессов разработки нефтяных месторождений приводит к необходимости решения уравнений в частных про­ изводных. Один из наиболее мощных и универсальных средств решения математических задач разработки нефтяных место­ рождений — применение конечно-разностных методов, реали­ зуемых на ЭВМ. Сущность конечно-разностных методов за­ ключается в замене исходных дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений. Если полученная система линейная, то для ее решения применяют прямые и итерацион­ ные методы. К прямым методам относится метод Гаусса и его многочисленные модификации (метод прогонки и т. д.). Итера­ ционные методы решения обычно применяются, когда получен­ ная система линейных уравнений имеет большую размерность. В качестве примера итерационных методов можно привести ме­ тод верхней релаксации. Если полученная система алгебраиче­ ских уравнений нелинейна, то ее решение возможно только ите­ рационными методами, например, методом Ньютона.

Если имеем дифференциальное уравнение для искомой функ­ ции и, которая зависит от пространственной переменной л* и времени t, то приняв за ось абсцисс х, и за ось ординат t, мож­ но считать, что значения независимых переменных находятся на некоторой плоскости х, t. При использовании конечно-раз­ ностных методов производят дискретизацию, т. е. замену непре­ рывных переменных х и t упорядоченной системой точек (уз­

сением на плоскость х, t сетки, узлы которой имеют координа­ ты xi, tn. Прямоугольник с координатами xi, Xi+u tn, tn+i назы­

лов, лежащих на прямых, параллельных оси х, называют вре­ менным слоем.

Функция и теперь будет определена в узлах и обозначаться как u(Xi,tn) =щп. Разности xt+i—Xi=Axi+1 и /л+i—tn—Atn+i на­ зываются, соответственно, шагами по пространству и времени.

Если Axt+i= const, то сетка по пространству равномерная. Аналогичным образом определяется равномерность сетки и по времени.

Для аппроксимации первой производной функции и по вре­ мени в узле i на п-ом временном слое имеем

где At — шаг по времени.

Считают, что разностный оператор аппроксимирует исход­ ный дифференциальный оператор, если разность между ними

и деля на временный, шаг At, получим, что разница между диф­

324

Вторую производную по пространству аппроксимируем сле­ дующим образом:

Тогда, используя выражение (5.1), имеем следующую раз­ ностную схему для уравнения (5.4):

Следовательно, зная значения искомой функции на нулевом временном слое, а также ее значения на границе, можно из со­ отношений (5.7) и (5.8) явно определить значения искомой функции на следующем временном слое и т. д. Равенством (5.7) связаны значения исходной функции на двух соседних временных слоях. Поэтому такие конечно-разностные схемы по­ лучили название явных двухслойных схем. Если же в разност­ ном операторе соотношения (5.6) взять верхние индексы на (п-\- 1)-ом временном слое, то получим неявную разностную схему

мой функции на («+1)-ом временном слое при известных ее значениях на п-ом слое не удается — необходимо решать систе­ му алгебраических уравнений. Для решения полученной систе­ мы линейных уравнений применяют модификацию метода Гаус­ са — метод прогонки.

Рассмотрим понятие устойчивости разностных схем. Будем считать конечно-разностную схему устойчивой, если погрешно­ сти вычислений на (/г+1)-ом временном слое меньше, чем на /г-ом слое.

В процессе вычислений вносятся как погрешности аппрокси­ маций исходных дифференциальных уравнений, так и погреш­ ности вследствие округления чисел, которыми оперирует ЭВМ. Если погрешности будут непрерывно возрастать, то произойдет аварийная остановка ЭВМ, так как полученные числа выйдут за разрядность машинного слова.

325

Известно несколько способов анализа устойчивости получае­ мых разностных схем: метод гармоник, принцип максимума, энергетический метод и др.

Явные схемы устойчивы только условно, т. е. устойчивость при их использовании соблюдается только при определенном соотношении шагов по пространству и времени. Например, для схемы (5.7) и (5.8) это условие следующее:

Неявные схемы абсолютно устойчивы, т. е. устойчивы при лю­ бом соотношении шагов по пространству и времени.

Главное в конечно-разностных методах — понятие о стрем­ лении приближенного решения к истинному.

Это понятие называется сходимостью разностных схем. Для линейных дифференциальных уравнений из аппроксимации и устойчивости следует сходимость конечно-разностных схем. Для нелинейных задач в частных производных доказать сходи­ мость разностных схем трудно. Поэтому обычно аналитически исследуют аппроксимацию и, если возможно, устойчивость раз­ ностных схем, а для того, чтобы убедиться в сходимости, при­ меняют различные приемы: решение линейных модельных за­ дач, проверку по известным аналитическим решениям, измене­ ние шагов по пространству и времени и др.

Получение хороших разностных схем, особенно для слож­ ных нелинейных задач подземной гидромеханики, требует боль­ шого опыта и искусства вычислителя. Дело обычно обстоит та­ ким образом, что мощностей существующих ЭВМ едва хватает для решения важных практических задач. Поэтому необходи­ мо получить приближенное решение, близкое к истинному, ис­ пользуя минимум ресурсов имеющихся в наличии вычислитель­ ных средств. Для одного класса задач применяют явные раз­ ностные схемы, для другого — неявные или их сочетание. Из­ вестно однако, что чем сложнее решаемая задача, тем предпоч­ тительнее использовать неявные схемы из-за их абсолютной устойчивости.

Итак, получение разностной схемы ответственный этап при­ менения конечно-разностных методов. Для этого используют ряд способов: интегро-интериоляционный, вариационный, метод неопределенных коэффициентов и другие.

уравнений, на получаемые конечно-разностные схемы. Если в каждой конечно-разностной ячейке выполняются законы сохра­ нения массы импульса и энергии, то такие схемы называются консервативными или дивергентными. К таким схемам приво­ дят интегро-интерполяционный метод (метод баланса). Поэто­ му он наиболее широко применяется. Возможны расчеты и с использованием неконсервативных схем. Но тогда вычислитель должен непрерывно следить за выполнением баланса массы,

326

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

328

329

ОГЛАВЛЕНИЕ

331