Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

ника АВ будет заряд противоположного знака q =- q , рас­ положенный симметрично по другую сторону плоскости А В . Тогда потенциал любой точки С над поверхностью провод­ ника будет находиться как

Он обращается в нуль на плоскости АВ, а потому эта плоскость является эквипотенциальной.

С физической точки зрения действие всех индуцирован­ ных зарядов на проводящей плоскости АВ можно заменить действием одного заряда q' =- q , являющегося зеркальным

отражением заряда q в плоскости АВ . Отсюда, в частности, следует, что индуцированные заряды притягивают заряд q

где h - расстояние заряда q от плоскости АВ . Поэтому эта сила называется силой электрического изображения. В ниж­ нем полупространстве проводника индуцированные заряды компенсируют поле заряда q .

По существу метод изображений основан на подгонке потенциала под граничные условия. При этом мы находим другую конфигурацию зарядов, для которой поле в интере­ сующей нас части пространства остается тем же.

1.3.1. Слияние капель. N одинаковых капелек ртути заряжены до одного и того же потенциала <р. Каков будет потенциал большой капли, получившейся при слиянии этих капелек?

Так как капелька, вообще говоря, не является точечным зарядом, то, прежде всего, необходимо научиться рассчиты­ вать ее потенциал. Ртуть - это проводник, поэтому заряд ка­

пельки q сосредоточен только на ее поверхности. В этом случае напряженность поля вне сферы можно рассчитать по формуле

E = - L - ±

4га0 г2 '

И тогда, принимая потенциал бесконечно удаленных то­ чек за нуль, для потенциала капельки находим

должны быть выполнены следующие условия

Q = Nq, V = Nv,

где Q - заряд всей большой капли; V - ее объем; v - объем маленькой капли. Последнее условие дает связь радиусов большой R и малой капли г :

разность потенциалов можно поддерживать между провода­ ми бесконечной двухпроводной линии, если напряженность пробоя воздуха = 30 кВ/см, диаметр проводов d= 1 см,

а расстояние между проводами Ь =5 м?

Решение данной задачи предполагает в первую очередь знание распределения напряженности электрического поля в пространстве между проводами. Будем полагать, что эти

133 . Потенциал тонкого диска. Найти потенциал на оси тонкого диска и на его краю. Диск заряжен равномерно, его поверхностная плотность а , радиус R .

Решение первой части задачи (по­ тенциал на оси диска) не вызывает за­ труднений в силу хорошей симметрии. Для этого разобьем диск на тонкие кольца радиусом г и шириной dr (рис. 1.28). Тогда для произвольной точ­ ки на оси, отстоящей на расстояние h от диска, можно записать

4яе0 ylh2 + r2

где dq = adS = alnrdr. Осталось только проинтегрировать по г от нуля до R :

(мы использовали приближенное равенство -Jl +x «1 + х/2 при х « 1). Последний результат означает, что на большом расстоянии диск выглядит как точечный заряд q . Это будет справедливым для заряда любой формы на больших расстоя­ ниях от него.

Найти же потенциал на краю диска будет более сложной задачей, так как эта точка расположена не так симметрично

по отношению к диску. Для упроще­ ния интегрирования выберем в каче­ стве площадки dS часть кольца ра­ диусом г и шириной dr (рис. 1.29) ® и будем опираться на свойства окруж­ ности. При этом

dS = 2Qrdr, г —2/?cos 0.

Из последнего равенства следует, что dr = -2/fsin0rf0. Тогда для потенциала в точке О получаем

гг/? 0

ср = ------- J QsinQde.

яе0 я/2 Для интегрирования по частям обозначим 0 = к,

sin QdQ= d v . Тогда

j0sin 6dQ = -0cos 0 + Jcos BdQ=-0cos 0 - sin 0.

После подстановки пределов интегрирования находим

т.е. потенциал на краю диска несколько меньше, чем в его середине.

1.3.4. Потенциал диполя. Найдем вначале потенциал поля диполя. Для произвольной точ­ ки Р (рис. 1.30) имеем

1 Ф = 4яе„ чг+

С использованием понятия дипольного момента р вы­

ражение для потенциала можно записать иначе:

нетрудно найти и выражение для векто­ ра напряженности электрического поля. Найдем вначале проекцию поля на на­ правление вектора г (рис. 1.31):

Для определения проекции вектора

Ёна направление, перпендикуляр­

ное г (Е0), учтем, что бесконечно малое перемещение

точки Р в направлении, перпендикулярном г , равно rdB, тогда

Модуль вектора Ё

Е = JE r2+ £е2 = —— 4 V l + 3cos2 0 . 4тсв0 г

Этот же результат мы получали и ранее прямым расче­ том напряженности электрического поля для системы двух зарядов.

Найдем теперь энергию диполя как системы двух точеч­ ных зарядов во внешнем электрическом поле:

w=?(<p+ -ф _ ).

Здесь ф+ и cp_ - потенциалы внешнего поля в точках распо­ ложения зарядов +q и - q . Так как эти точки очень близ­ ки, то

где Эф/Э/ - производная потенциала ф по направлению век­

тора I , а это равно со знаком минус проекции поля на на­ правление диполя. Тогда

W = -q lE ,= -p E .

Отсюда видно, что положение устойчивого равновесия диполя (ему соответствует минимальная энергия) наблюдает­

ся, когда р П Ё .

Рассмотрим теперь систему из двух разноименных заря­

верхность нулевого потенциала есть сферическая поверх­

Тогда уравнение поверхности нулевого потенциала бу­ дет иметь вид

центр которой отстоит от первого заряда на расстояние

Этот результат довольно неожиданный, так как ни о ка­ кой симметрии при неодинаковых зарядах не может быть и речи (а сфера - очень симметричная поверхность).

Пусть теперь точечный электрический диполь с момен­ том р0 находится во внешнем однородном электрическом

поле с напряженностью Ё0, причем р0 ТТ Е0. Покажем, что одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой и найдем ее радиус.

Прямое решение задачи, подобное вышеприведенному, затруднительно. Поэтому воспользуемся теоремой единст­ венности и тем, что подобная ситуация в некотором смысле нам уже встречалась ранее. Предположим, что в поле, яв­ ляющемся суммой однородного электрического поля и поля диполя, существует сферическая эквипотенциальная поверх­ ность. Заменим ее сферической проводящей поверхностью и уберем диполь. Тогда на данной поверхности появятся не­ однородно распределенные индуцированные заряды разных

знаков с плотностью ст', а поле внутри данной сферы исчез­ нет. Это значит, что индуцированные заряды должны создать внутри сферы однородное электрическое поле с напряженно­ стью -Е 0. Вспомним теперь решение задачи 1.2.9. Там было показано, что для создания внутри сферы однородного элек­ трического поля напряженностью Е0 поверхностная плот­ ность зарядов должна изменяться по закону a ' = 3eoEocos0, а вне сферы электрическое поле является полем точечного диполя с электрическим моментом p =4ne0R3E0. Таким об­ разом, вне сферы радиусом R электрическое поле является суммой однородного поля напряженностью Е0 и поля дипо­ ля. Именно такое поле и задано в нашей задаче. И если те­ перь значение р положить равным р0, то мы сразу же най­ дем радиус сферической эквипотенциальной поверхности

\ 1 / 3

13.5. Проводящий шарик в однородном поле. Во внешнее однородное электрическое поле Е0 внесен металли­ ческий шарик радиусом г. Как изменится напряженность электрического поля вблизи поверхности шарика?

Мы уже знаем, что внутри проводящего тела в условиях статики, ни при каких условиях не может быть заряда. Кроме этого, внутри такой сферы не будет и электрического поля. Это означает, во-первых, что внешнее электрическое поле Е0

должно индуцировать такие заряды на поверхности сферы, поле которых Е ', должно скомпенсировать внутри сферы внешнее электрическое поле. Во-вторых, внешнее электриче­ ское поле должно быть перпендикулярным к поверхности сферы (иначе начнется движение зарядов проводящей сфе­ ры). Таким образом, картина распределения поля и зарядов

на сфере будет такой, как показано на рис. 1.32. Причем внешнее поле вблизи сферы связано с плотностью индуциро­

зарядов вне сферы будет эквивалентным полю точечного ди­ поля с дипольным моментом

р = 4яе0Ё0г3

Таким образом, поле вне проводящего шарика склады­ вается из двух полей - однородного поля Е0 и поля точечно­ го диполя Ётп: Ё = Ё0+Ёл т. Вблизи же шарика электриче­

ское поле проще найти из соотношения Еп = о '/е0, где а' - поверхностная плотность индуцированных зарядов. В зада­ че 1.2.9 было показано, что ст'= 36o£'ocos0. Откуда сразу

следует, что напряженность электрического поля вблизи по­ верхности проводящего шарика

E = 3£'ocos0- —,