Принципы и практика решения задач по общей физике Часть 2. Электромагн

Отобразим на схеме соединения две промежуточные точки 1 и 2, отделяющие нелинейный элемент (лампочку) от остальной части схемы. Пусть разность потенциалов этих то­ чек (напряжение) (р2 - (р; = 7/ Эта величина имеет вполне определенное, но неизвестное нам значение. Предположим, что у нас есть возможность самим задавать величину U То­ гда нетрудно рассчитать ток I , подходящий к точкам 1 и 2, от той части схемы, которая подчиняется закону Ома. В то же время, по известной вольт-амперной характеристике зна­ чение U определяет и ток, проходящий через лампочку /л. Таким образом, мы имеем две зависимости - аналитическую I(U) и графическую /л(£/). Конечно, при произвольных значениях U величины I(U) и In(U) не равны. И нам необ­ ходимо только подобрать (например, графическим способом) такое значение напряжения U , при котором /(£/) = I„(U).

Для расчета зависимости /(С/) воспользуемся законом Ома для участка цепи и тем, что сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. Тогда придем к системе урав­ нений

IRR=U,

Irr =Z - U ,

/г - / я - / = 0 .

Из них находим

или после подстановки числовых значений

Осталось только отобразить эту зависимость на вольтамперной характеристике лампочки (пунктирная линия на рис. 2.20) и найти их точку пересечения. Получаем: /л = 1 А,

U ~ 5 В. Таким образом, мощность, выделяемая на лампочке

с чем связано уменьшение тока работающего электродвига­ теля по сравнению с током запуска? Ведь ни напряжение се­ ти, ни ее сопротивление не изменились. Связано это с явле­ нием электромагнитной индукции (точнее с явлением само­ индукции), проявляющимся при вращении обмотки якоря двигателя в магнитном поле (наличие магнитного поля лежит в основе работы электродвигателя). Так как с этим явлением мы еще не сталкивались, то попробуем применить энергети­ ческий подход, не требующий детального анализа процессов, протекающих в электродвигателе.

Полная мощность, потребляемая от сети, равна произве­ дению^/ Часть этой мощности идет на совершение двига­ телем работы - полезная мощность Р, другая ее часть -

мощность тепловых потерь, равная I 2R , где R - полное со­ противление цепи, включающее в себя сопротивление обмо­ ток якоря и соединительных проводов. В соответствии с за­ коном сохранения энергии можно записать

В момент запуска (т.е. еще при невращающемся якоре) это соотношение запишется как

Из этих уравнений нетрудно найти мощность, развивае­ мую двигателем:

Кроме того, из уравнений (1) и (2) автоматически следу­

ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени пре­ пятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его, т.е. сила тока в цепи / будет функцией времени. Поэтому для расчета теплоты нам придется использовать закон Джо­ уля-Ленца в виде

Q = $RI2d t .

И теперь наша задача сводится к определению явного вида зависимости I(t). Будем считать ток положительным, если он течет в направлении положительно заряженной об­ кладки конденсатора. Применим закон Ома для неоднород­ ного участка цепи 1£7?2:

/Л = (р,-(р2+1Г

Учитывая, что 1-dqld.t и (р, -ф 2 =- q / C , приходим

к дифференциальному уравнению

Тогда после разделения переменных и интегрирования с учетом начального условия (q =О при / = 0) получаем

t \ Я =Я„ 1 -е Rc

J

Здесь qm= %С - предельное значение заряда конденсатора при

Соответственно закон изменения тока зарядки примет

где /0= Г /Л .

Таким образом, для полного выделившегося тепла полу­

чаем

ооО 2/

Q = f RI2(t)dt = l02R \e RCd t .

оо

Это табличный интеграл. Тогда окончательно имеем

/02д2с = с^ 2

Q 2 2

Самое замечательное в этом ответе то, что выделившее­ ся тепло никак не зависит от сопротивления и в точности равно энергии, запасенной конденсатором. Нетрудно прове­ рить, что сумма количества теплоты и запасенной энергии конденсатора как раз и равна работе источника тока по за­ рядке конденсатора.

2.2.6.Разряд сферического конденсатора. Радиусы об­

кладок сферического конденсатора равны а и Ь, причем а < Ъ. Пространство между обкладками заполнено однород­ ным веществом диэлектрической проницаемости 8 с удель­ ным сопротивлением р . В момент t = 0 внутренней обкладке сообщили заряд q0. Найти количество теплоты, выделившее­ ся при растекании заряда.

При растекании заряда плотность тока в каждой точке среды будет зависеть не только от положения данной точки, но и от времени. Поэтому разумно воспользоваться для рас­ чета теплоты Q выражением

Q = \Qv dVd,.

Здесь (2Уд ~ удельная тепловая мощность тока (теплота, вы­

деляемая за единицу времени в единице объема проводника). Так как в проводнике действуют только кулоновские силы, то воспользуемся законом Джоуля-Ленца в локальной форме:

ё Уд

где Е - напряженность электрического поля внутри сфери­ ческого конденсатора с зарядом q :

4 1 t £ E 0 r 2

Выбирая в качестве бесконечно малого элемента объема тонкий сферический слой dV = 4nr2d r , получаем выражение для теплоты

Р О а (4я££0г j

Или после интегрирования по радиусу

Таким образом, нам осталось только найти зависимость от времени заряда внутренней обкладки сферического кон­ денсатора. Пусть полное сопротивление среды внутри кон­ денсатора равно R , а его емкость - С Тогда закон Ома для всей среды внутри конденсатора будет иметь вид

(2)

где I - сила полного тока внутри конденсатора. Величина этого тока должна быть равна скорости убывания заряда внут­ ренней обкладки конденсатора, взятой с обратным знаком:

/ = - dg (3) dt

Из (2) и (3) получаем дифференциальное уравнение

В задаче 2.1.4 нами было показано, что для проводников произвольной формы, находящихся в слабо проводящей сре­

де, выполняется связь RC =рее0. С учетом этой связи пере­ пишем уравнение (4) в виде

* + - « - = 0. dt рее0

Данное уравнение, как легко проверить, имеет решение

q(t) =q0exр

рее0

После подстановки данного выражения в (1) и интегри­ рования по времени находим окончательно

<2= Я оФ -а) SitEEnab

Нетрудно убедиться, что это тепло в точности равно на­ чальной запасенной электрической энергии сферического конденсатора W

w = ^ . 2С

3.МАГНЕТИЗМ

3.1.Индукция магнитного поля

Индукция магнитного поля элемента тока Idl опреде­ ляется законом Био-Савара

г[<йг]

dB =

4л

где I - сила тока; dl - вектор, модуль которого равен длине элемента проводника d l, а направление совпадает с направ­ лением тока; р0 = 4я- 1(Г7 Гн/м - магнитная постоянная. Для объемного распределения токов с плотностью j закон БиоСавара представляют в виде

4п г3

где dV - элементарный объем. Вектор jdV называют объ­

емным элементом тока. Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется интегрированием по всем элементам тока:

Магнитное поле точечного заряда q , движущегося с по­ стоянной нерелятивистской скоростью V, определяется фор­ мулой

н_Ио ч [Щ

В =

4я

причем это выражение справедливо и в случае ускоренно движущегося заряда, но только на достаточно малых рас­

где I - ток; S - площадь, ограниченная контуром; и - еди­ ничный вектор нормали к контуру, направление которого связано с направлением тока правилом правого винта (рис. 3.1). Найдем выражение для индукции магнитного по­ ля диполя на расстоянии, значительно превышающем его размеры.

Р

Так как мы будем рассматривать точки, удаленные от диполя, то его форма не имеет никакого значения, и мы впра­ ве выбрать ее по своему усмотрению. Как это выяснится из дальнейшего, наиболее простым для вычислений (как ни странно) оказывается квадратный контур со стороной а « г (рис. 3.2). Положение точки Р , в которой будем находить вектор В , зададим вектором г относительно центра контура

иуглом 0 между векторами л и г

Всоответствии с принципом суперпозиции полное по­

ле В в точке Р можно представить в виде суммы полей от

каждой стороны квадрата по отдельности: В = £ В,-, где