Метрология стандартизация и сертификация в строительном материалове

реть случайные и систематические составляющие общей погрешности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых, косвенных, совокупных и равноточных измерениях.

Погрешность измерения ∆x – это отклонение резуль-

тата измерения х от истинного (действительного) хи (хд) значения измеряемой величины:

∆xизм = x – xд.

Взависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность определяется как разность результата измерения и истинного значения измеряемой величины ∆ = х – хи или ∆ = х – хд, а относительная – по формуле

нормированное значение величины. Например, хN = хmax, где хmax – максимальное значение измеряемой величины.

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение х,

71

Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к хи. Для оценки ее возможных отклонений от хи определяют опытное среднее квадратическое отклонение (СКО),

i=1

Для оценки рассеяния отдельных результатов х измерения относительно среднего х определяют СКО:

Примечание. Применение формул (1.3) правомерно при условии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении температуры остывающего металла или измерении потенциала проводника через равные отрезки длины, то в формулах (1.8) в качестве х следует брать ка- кую-то постоянную величину, например начало отсчета.

Формулы (1.7) и (1.8) соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения. Это отражает и формула (1.9),

72

определяющая фундаментальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз, и т.д.

Нужно четко разграничивать применение σx и σx: величина σx используется при оценке погрешностей оконча-

тельного результата, а σx – при оценке погрешности метода измерения.

В зависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи).

Систематическая ∆c составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная ∆s составляющая изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности средств измерения или резких изменений условий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности измерения проявляются одновременно, так что общая погрешность при их независимости

∆ = ∆c + ∆s

73

или через СКО

σ∆ = σ∆ c + σ∆s.

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно возникает из-за множества неуточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал). Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО – коэффициент вариации:

Например, при υ < 0,33…0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону. Если Р означает вероятность а, т.е. того, что х результата измерения отличается от истинного на величину не более чем ∆s, т.е.

то в этом случае Р– доверительная вероятность, а интервал от x – ∆s до x + ∆s – доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа – величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нормальному закону (а это, как правило), то вместо

74

значения ∆s указывается σx. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при ∆ = σx значение Р = 0,68; при ∆ = 2σx значение Р = 0,95; при ∆ = 3σx значение Р = 0,99.

Доверительная вероятность по формуле (1.11) характеризует вероятность того, что отдельное измерение х не будет отклоняться от истинного значения более чем на ∆. Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметического ряда измерений.

До сих пор рассматривались оценки СКО по «необходимому» (достаточно большому) числу измерений. В этом случае σ2 называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10–20) получают так называемую выборочную дисперсию σ2. Причем σ2 → σ2 лишь при n → ∞. То есть если считать, что σ2 = σ2, то надежность оценки уменьшается с уменьшением п, а значения доверительной вероятности P завышаются. Поэтому при ограниченном числе измерений п вводят коэффициент Стьюдента t, определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале J = х ± t σx / n и отличается от действительного значения на относительную

величину ε = ∆/σx =∆ n /σx.

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повышение точности измерений (уменьшение σx) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (1.9). Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использованы, рассмот-

75

рим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической составляющей ∆c. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ ∆си (или γси), то необходимо, чтобы доверительный ин-

тервал ± tpσx / n был существенно меньше ∆c.

В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо коренным образом изменить методику измерения. Для сравнения случайных погрешностей с различными законами распределения использование показателей, сводящих плотность распределения к одному или нескольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и выступают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность.

Надежность самого СКО характеризуется величиной σx = σ/ 2n принято, что если σx < 0,25, то оценка точно-

сти надежна. Это условие выполняется уже при п = 8. Для практических целей важно уметь правильно

сформулировать требования к точности измерений. Например, если за допустимую погрешность изготовления принять ∆ = 3σ, то, повышая требования к контролю (например, до ∆ = σ), при сохранении технологии изготовления увеличивается вероятность брака.

Наиболее вероятная погрешность ∆в отдельного измерения определяется по формуле

76

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением п величина ∆в быстро уменьшается лишь до п = 5…10. Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5…10 нецелесообразно, что совпадает с условием получения надежных значении σσ.

Число измерений можно выбрать из данных табл. 1.5 или по одной из формул:

n = (tp σx,/0,5∆c)2;

n ≥ 2(1 – nот)/(1 – Р),

где пот – число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как

δi = tpσx/x среднего значения δx = tpσx/х n .

Таблица 1 . 5

Необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины (при Р = 0,95)

Как правило, считают, что систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные остатки, которые и нужно

77

учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет определением результатов измерения.

Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает вариацию (разброс) результатов, то систематическая – устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначительность (с целью пренебрежения) систематической погрешности нужно доказать.

Действительно, если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов, как правило, будут различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей. Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1. Из двух рядов nˆ1 и nˆ2 независимых измерений на-

ходят средние арифметические х1 и х2. 2. Определяют значения

4. Вероятность того, что разность |х1 – х2|≥ε является случайной величиной, определяется равенством

78

Величина Р определяется по таблице Стьюдента. Если полученная вероятность Р > 0,95, то разность

Вотличие от случайной погрешности, выявленной

вцелом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения, причем различают методическую, инструментальную и субъективную составляющие погрешности.

Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систематические погрешности возникают из-за методической и инструментальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования средств измерения, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собственной погрешности средств измерения, определяемой классом точности, влиянием средств измерения на результат и ограниченной разрешающей способности средств измерения.

79

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяется следующими моментами:

♦для повышения точности измерений можно выделить лимитирующие факторы, а следовательно, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точных средств измерения;

♦появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

♦инструментальная составляющая может быть оценена до разработки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляющая.

Следовательно, все виды составляющих погрешности нужно анализировать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зависимости от характера, что является основной задачей при разработке и аттестации методик выполнения измерений.

В ряде случаев систематическая погрешность может быть исключена за счет устранения источников погрешно-

сти до начала измерений (профилактика погрешности), а в процессе измерений – путем внесения известных поправок в результаты измерений.

Профилактика погрешности – наиболее рациональный способ ее снижения и заключается в устранении влияния, например, температуры (термостатированием и термоизоляцией), магнитных полей (магнитными экранами), вибраций и т.п. Сюда же относятся регулировка, ремонт и поверка средств измерения.

80