Специальные волоконные световоды учебное пособие

где r – текущий радиус; n1 – наибольшее значение показателя преломления сердечника; g – коэффициент, определяющий вид профиля показателя преломления.

При g = ∞ формула описывает ступенчатый профиль показателя преломления. При g = 2 световоды называют параболическими, так как профиль показателя преломления описывается параболой. На практике волокна с градиентным профилем показателя преломления имеют g около 1,92 и почти параболический профиль.

Одномодовые волокна можно разделить на две категории: обычные, или волокна с несмещенной дисперсией, которые выпускаются для аппаратуры, работающей на длине волны 1,3 мкм, и волокна со смещенной дисперсией, которые выпускаются для работы на длине волны 1,55 мкм. Понятия смещенной или несмещенной дисперсии связаны с длиной волны, на которойволокно имеет наибольшуюполосу пропускания.

Вотличие от многомодовых волокон одномодовые волокна выпускают с различным профилем показателя преломления оболочки. При этом различают волокна с выровненной оболочкой, показатель преломления которой соответствует показателю преломления стекловолокон со ступенчатым профилем и выровнен с показателем преломления чистого кварца, и вдавленной оболочкой, в которой материал оболочки состоит

из двух зон (рис. 1.5). Показатель преломления (n3) внутренней, соседней с сердечником зоны имеет значение меньше или вдавлен относительно показателя преломления внешней зоны, который равен показателю преломления чистого кварца (n2).

Вволокнах со смещенной дисперсией показатель преломления сердечника имеет более сложную форму. На рис. 1.6 приведены примеры профилей показателей преломления для выровненной и вдавленной оболочек и треугольного профиля показателя преломления сердечника.

Водномодовых волокнах со смещенной дисперсией для сложных профилей показателя преломления определение диаметра сердечника представляет определенные трудности, поэтому для таких световодов вводится понятие диаметра поля моды. Учитывая, что интенсивность света по сечению сердечника одномодового световода распределена неравномерно и подчиняется, как правило, нормальному закону, радиальное рас-

кового значения, называется радиусом поля моды и обозначается ω0. Удвоенная величина 2ω0 ипредставляет собойдиаметр поля моды(рис. 1.7).

11

Важной характеристикой световода является числовая апертура NA (Numerical Aperture), которая представляет собой синус от апертурного угла ϕm .

Апертурный угол – это угол между оптической осью и одной из образующих светового конуса, воздействующего на торец световода.

От значения NA зависят эффективность ввода излучения лазера или светодиода в световод, потери на микроизгибах, дисперсия импульсов, число распространяющихся мод.

Нетрудно убедиться, что между числовой апертурой и относительной разностью показателей преломления существует связь,

Чем больше у волокон величина ∆ , тем больше NA, тем легче осуществлять ввод излучения от источников света в световод.

1.2. Основные уравнения передачи электромагнитного поля по световоду

Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1.8.

Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0 < r < a) и в оболочке (a < r < b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов функции внутри сердечника при r = 0

должны быть конечными, а в оболочке – Рис. 1.8. Двухслойный световод описывать спадающее поле.

13

Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид

rotH = jωεаE,

rotE = − jωµаH, (1.1) divH = 0,

divE = 0,

где Σ – диэлектрическая проницаемость; µ – магнитная проницаемость; ω – частота; j – плотность электрического тока; Н – напряженность магнитного поля; Е – напряженность электрического поля.

Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместима с оптической осью световода:

Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Еz и Hz. Их можно получить следующим образом. Приведем первое из уравнений Максвелла (1.1) к виду

rotrotH = jωεarotE.

Тогда, используя соотношение rotrotH = graddivH − 2 H , а также учитывая, что divH = 0, получим

14

− 2 H = jωεa ( jωµa H ); 2 H + ω2εaµa H = 0; 2 H + k2 H = 0 ,

где k2 = ω2εaµa – волновое число световода.

Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла, получим

2 E + k 2 E = 0 .

Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez и Hz удовлетворяют уравнениям

2 Ez + k2 Ez = 0,

2 Hz + k 2 Hz = 0,

где 2 – оператор Лапласа.

тогда для продольных составляющих Ez и Hz в цилиндрической системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка:

Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. A = A0e− γz , где А – любая составляющая векторов Е или Н; γ – коэффициент распространения ( γ = α + jβ). Тогда первая ивторая производные определятся

Для составляющей Еz

∂2 Ez = γ2 Ez . ∂z2

Подставляя полученное значениe в уравнения (1.3), получим

15

Введем обозначение g2 = γ2 + k2 – поперечное волновое число световода. Тогда для сердечника световода имеем

дечника; k1 – волновое число сердечника с коэффициентом преломления

Решение уравнений (1.4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r = 0, поэтому можно написать

где Аn и Вn – постоянные интегрирования.

Воспользовавшись уравнениями (1.2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Еr имеем

16

Подставим данное выражение в уравнение для Еr:

Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля

Воспользовавшись уравнениями (1.5), возьмем соответствующие производные

Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, при том, что γ = β , имеют

вид (множитель e jnϕe− γz не пишем)

17

Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений:

где g22 = β2 − k2 (без учета затухания) – поперечное волновое число оболочки световода; k2 – волновое число оболочки с коэффициентом пре-

ломления n2, k2 = ω µa2εa2 = kn2 = 2λπ n2 .

Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при r → ∞ поле должно стремиться к нулю, следует использовать цилиндрические функции третьего рода – функции Ганкеля:

Ez 2 = Cn Hn(1) ( jg2r)e jnϕe− γz , Hz 2 = Dn Hn(1) ( jg1r)e jnϕe− γz ,

где Сn, Dn – постоянные интегрирования.

Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения:

18

Постоянные интегрирования Аn, Вn, Сn, Dn могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник – оболочка (при r = а):

Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение:

Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны, или модой.

1.3.Типы волн в световодах. Критические длины и частоты

Всетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E0m, H0m; несимметричные дипольные EHnm, HEnm. В индексе n – число изменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру.

Симметричные волны электрические Е0m и магнитные H0m имеют круговую симметрию (n = 0).

Раздельное распространение по световоду несимметричных волн невозможно. В световоде они существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются смешан-

ными, дипольными и обозначаются через HЕnm, если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EНnm, если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е.

Из всей номенклатуры смешанных волн в оптических кабелях наи-

большее применение получила волна типа НЕ11 (или ЕН10). На этой волне работают одномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность.

19

Представляет интерес сопоставление указанной классификации электромагнитных волн с лучевой классификацией.

Как уже отмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональных и косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через ось волоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода.

Меридиональным лучам соответствуют симметричные электрические Е0m и магнитные H0m волны, косым лучам – несимметричные гибридные EНnm и HЕnm волны.

Если точеченый источник излучения расположен по оси световода, то имеются только меридиональные лучи и, соответственно, симметричные волны Е0m, H0m. Если же точечный источник расположен вне оси световода или имеется сложный источник, то появляются одновременно как меридиональные, так и косые лучи и свойственные им симметричные Е0m, H0m и несимметричные гибридные EНnm и HЕnm волны.

Несимметричные волны типа Enm и Hnm в волоконных световодах существовать не могут. Эти волны возбуждаются только в металлических волноводах.

Основное уравнение передачи по волоконному световоду для слу-

чая (n1 − n2 ) = ∆ << 1 может быть значительно упрощено применительно n1

к различным типам волн.

Для симметричных волн правая часть уравнения (1.8) равна нулю, тогда имеем два различных уравнения для электрической Е0m и магнитной Н0m волн:

для Е0m

для Н0m

20