Попутно заметим, что если с2 - 2с, > 0, то функция у, является функцией действительного переменного х, если с2- 2ct <0 - функцией комплексного переменного х.

Найденное значение у , по формуле (3.57) подставим в (3.99) и (3.40) и получим теперь выражение для у 2 и у 3:

(3.58)

(3.59)

Беря объединение множеств (3.57)-(3.59), получим общее решение системы (3.34) для случая кратных корней многочлена \j/(y). Аналогично решается дифференциальное уравнение (3.55). Из уравнений (3.57)—(3.59) делаем вывод, что концентрации реа­ гирующих веществ у ь у2,уз в зависимости от времени t = x (даже в простейшем случае) носят сложный, дробно-экспоненциаль­ ный характер (трансцендентные функции).

В дальнейшем было бы интересно исследовать полученные интегральные кривые на экстремум средствами математическо­ го анализа.

Задавая начальные условия, исходя из кинетики химиче­ ских реакций, можно получить частные решения системы (3.34).

3.4. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений химической кинетики

3.4.1. Постановка задачи и классификация численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка может быть представлена в общем виде:

где j = l,N - номер каждой зависимой переменной у/, х - неза­

висимая переменная.

Решение системы (3.1) при заданных начальных услови­ ях (НУ)

* = *0> 3^1(^о) = Д'ю» y 2 ( xo) = y20’ - > y N(xo) = yNO

позволяет найти зависимости (интегральные кривые)

У\(*), Уг(х),.... yj(x),..., у„(х),

проходящие через точки, заданные НУ,

O w io)> {хо>У2о)’•••> ( w 7o)> •••> (х0>Уыо)-

К математической модели (3.60) сводятся, в частности, за­ дачи химической кинетики.

Обобщенная форма записи каждого из уравнений системы (3.60) может быть представлена в виде

^ - = F{x,y).

ax

Численные методы решения подобных задач рассмотрены, например, в работах [21, 22]. Основу численных методов реше­ ния обыкновенных дифференциальных уравнений составляют теория аппроксимации (в данном случае аппроксимация произ­ водных), рекуррентные формулы и итерационные методы. Наи­ более распространенным и универсальным методом решения ОДУ является метод конечных разностей. Суть метода заключа­ ется в следующем: область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами (узлы составляют так называемую разност­ ную сетку); искомая функция непрерывного аргумента прибли­ женно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (эта функция называется сеточной); далее исходное ОДУ заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции (при этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соот­ ношения).

В методе конечных разностей осуществляется, таким обра­ зом, преобразование

Ах)->у(х,)->у„

где у(х) - искомая функция непрерывного аргумента; у(х,) - приближенное значение искомой функции в узле (точке *,); у, - значение сеточной функции.

При этом замена ОДУ разностным называется его аппрок­ симацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким об­ разом, решение ОДУ сводится к отысканию значений сеточной

функции в узлах сетки, т.е. пар значений {*,,у,} для / = 0, 1,

2, Решение разностной задачи, в результате которого нахо­ дятся значения сеточной функции у/ в узлах х„ приближенно за­ меняет решение у(х) исходной дифференциальной задачи.

Переход от исходного ОДУ к разностному уравнению осу­ ществляется путем аппроксимации значения производной в ОДУ с использованием конечных разностей. Для ОДУ первого

порядка разностное уравнение в общем виде может быть запи­ сано [22]

при НУ у (х 0) = у 0 =У0.

Конкретное выражение правой части уравнения (3.63) зави­ сит от способа аппроксимации производной, поэтому для каж­ дого численного метода получается свой вид уравнения (3.63). При этом точность решения ОДУ с использованием уравне­ ния (3.63) в значительной мере зависит от величины шага интег­ рирования h, = Xj-x,.i (чем меньше шаг, тем выше точность).

Из анализа общего вида (3.63) вытекает классификация численных методов решения ОДУ:

1) если в правой части отсутствует y i+l, т.е. значения y iJrX

явно вычисляются по к предыдущим значениям y j9 у

У,-/с+) > то разностная схема называется явной; если в правую часть (3.63) входит искомое значение у/+1, то решение уравне­ ния усложняется - в таких методах, называемых неявными, приходится решать уравнение (3.6) относительно y i+l с помо­ щью итерационных методов;

2) если к = 1, то одношаговый метод; к = 2 - двухшаговый метод и т.д.

Рассмотрим кратко некоторые из основных методов. Бо­ лее подробно с ними можно ознакомиться, используя указан­ ную выше и другую литературу по численным методам решения задач.

3.4.2. Метод Эйлера-Коши

Метод представляет собой простейший метод первого по­ рядка численного интегрирования дифференциальных уравне­ ний и реализуется следующей рекуррентной формулой:

где h - шаг интегрирования (приращение переменной .г). Этот метод обладает большой погрешностью и имеет систематиче­ ское накопление ошибок. Погрешность метода Л~(А2), т.е. про­ порциональна h2 (квадрату шага интегрирования).

3.4.3. Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка

Этот метод является наиболее распространенным методом решения систем (3.60) при постоянном шаге (h = const). Досто­ инства метода - высокая точность (погрешность R~(h5)) и по­ вышенная устойчивость.

Алгоритм реализации метода Рунге-Кутта заключается в циклических вычислениях Уд/+^ на каждом (/ +1) -м шаге по следующим формулам:

x i + r > ^ i + T K 2j |;

(3.67)

к , y =№ J (»1+A,rj, + ^ ) ;

При переходе от одной формулы к другой задаются или вычисляются соответствующие значения х и Yj9 и находятся по

подпрограмме значения функции FJ(X,YJ).

Решение одного дифференциального уравнения данным методом производится по приведенным формулам (3.67), если в них опустить индекс у, а из алгоритма исключить циклы. По­ следнее резко упрощает программу и позволяет получить мини­ мально возможное время счета.

3.4.4.Метод Рунге-Кутта

савтоматическим изменением шага

Автоматическое изменение шага в ходе решения систем дифференциальных уравнений необходимо, если решение сле­ дует получить с заданной точностью. При высокой точности (погрешность в = 1СГ3) и решении в виде кривых с сильно разли­ чающейся крутизной автоматическое изменение шага обеспечи­ вает уменьшение общего числа шагов в несколько раз, резко уменьшает вероятность возникновения числовой неустойчиво­ сти, дает более равномерное расположение точек графика кри­ вых (решений) при их выводе на печать.

Полученный результат Y*^l + сравнивается с Уу(/+. Если вели­ чина |у/(/+|) -У*с/+1)| <е, вычисления продолжаются с шагом h,

в противном случае шаг уменьшается. Если это неравенство слишком сильное, шаг, напротив, увеличивают. При той же погрешности R~(h5) лучшие результаты дает описанный ниже метод.

3.4.5.Метод Рунге-Кутта-Мерсона

савтоматическим изменением шага

Этот метод обеспечивает приближенную оценку погрешно­ сти на каждом шаге, которая имеет порядок h5 Метод реализу­

K 0j=hFJ(xl,Yji),

Если первое условие не выполняется, шаг h делится на 2, и повторяются вычисления с п. 2 после восстановления началь­ ных значений У/7 Если это условие выполняется и выполняется

второе условие, значения jc/+i =xt +h и Y y + выводятся на пе­

чать. Если второе условие не выполняется, шаг h увеличивается вдвое и вычисления опять повторяются с п. 2. Таким образом, У/(/+1) выводится на печать только при одновременном выпол­

нении условий четвёртого пункта.

Все описанные выше алгоритмы решения систем ОДУ от­ носятся к одношаговым методам и основаны на вычислениях по рекуррентным формулам, содержащим данные, полученные из решения на одном предшествующем шаге. Эти методы реали­ зуются по явной разностной схеме и обеспечивают автоматиче­ ское начало вычислений при заданных.

Многошаговые методы решения ОДУ базируются на ис­ пользовании данных решения на нескольких предыдущих ша­ гах. Это позволяет повысить скорость вычислений. Однако для начала вычислений приходится выполнять одношаговыми мето­ дами несколько первых шагов. Аналогично это делается при каждой смене шага интегрирования. Ввиду сложной программ­ ной реализации многошаговых, а также неявных методов чис­ ленного интегрирования (достоинством последних является численная устойчивость решения) они редко используются при

решении задач на ЭВМ. Алгоритмы их реализации описаны, на­ пример, в [21, 22].

3.4.6. Примеры решения прикладных задач химической кинетики численными методами

Задача 1. В таблице 3.3 представлено решение задачи (3.29) из раздела 3.3 численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка (см. п. 3.4.3) с шагом h = 0,1. Здесь же приведены результаты аналитического решения - расчета по формулам (3.33). Как вид­ но, результаты аналитического и численного решений с учетом округлений совпадают до 4-го знака после запятой.

На рис. 3.1 приведены интегральные кинетические кривые соответственно для концентраций С ,, С2 и С3.

t

Рис. 3.1

Задача 2. В табл. 3.4 представлено решение задачи (3.10) из раздела 3.2 численным методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом h = 0,1. Здесь же приведены результаты аналитического решения этой задачи - расчета по формулам (3.22)-(3.2Т). Ре­ зультаты аналитического и численного решений с учетом ок­ руглений при получении аналитического решения ручным счё­ том и в этом случае совпадают достаточно близко.

0 0,1000 0,2000 0,3000 0,0000 0,1187 0,2001 0,3000 0,0000

0,2 0,1290 0,1476 0,2388 0,0846 0,1408 0,1501 0,2403 0,0886

0,4 0,1321 0,1168 0,1924 0,1586 0,1400 0,1199 0,1947 0,1658

0,6 0,1238 0,0963 0,1569 0,2229 0,1294 0,0993 0,1596 0,2325

0,8 0,1112 0,0811 0,1293 0,2784 0,1153 0,0836 0,1320 0,2898

1 0,0976 0,0689 0,1075 0,3260 0,1008 0,0710 0,1101 0,3390

1,2 0,0845 0,0587 0,0900 0,3668 0,0871 0,0605 0,0923 0,3810

1,4 0,0726 0,0501 0,0756 0,4016 0,0748 0,0516 0,0777 0,4169

1,6 0,0622 0,0427 0,0638 0,4313 0,0639 0,0440 0,0657 0,4474

1,8 0,0531 0,0364 0,0540 0,4566 0,0546 0,0375 0,0556 0,4734

2 0,0452 0,0310 0,0457 0,4781 0,0465 0,0319 0,0471 0,4956

На рис. 3.2 представлены интегральные кинетические кри­ вые соответственно для концентраций реагентов, приведенных в табл. 3.4.

t

Рис. 3.2

1. Используя комплексный потенциал вида

W (z) = — Ln(z + h ) - — Ln z + с} +ic7,

подсчитать теплопотери трубы радиусом R теплотрассы при ус­ ловии, что труба покрыта слоем теплоизоляции с коэффициен­ том теплопроводности X и внешним радиусом R\. Труба заложе­ на в грунте на глубине Н от его горизонтальной поверхности.

2. Используя комплексный потенциал задачи 1, подсчитать электрическое сопротивление изоляции одножильного кабеля радиусом Г\ со смещенным проводом радиусом г0в зависимости от эксцентриситета в, характеризующего смещение проводника относительно фиксированной точки X Q .

3. Используя комплексный потенциал вида

описать плоское магнитное поле, создаваемое тонким провод­ ником, перпендикулярным плоскости (Z), по которому течет по­ стоянный электрический ток силой /.

4.Используя табл. 3.1, получить интегральные кривые сис­ темы (3.43) для реакций III, IV и V типов.

5.Для найденных интегральных кривых задачи 4 методом интегрируемых комбинаций получить соответствующие диффе­ ренциальные уравнения.

6.Для задачи типа III из табл. 3.1 решить полученные дифференциальные уравнения, используя функции Вейерштрасса и выкладки пункта 3.6.