УДК 517.3 (075.8) Ф32

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук Э.М,-Нуруллаев; канд. техн. наук В.П. Голованов

Федосеев, А.М.

Ф32 Функции комплексного переменного и их приложения: учеб, пособие. Ч. II / А.М. Федосеев, В.Н. Кетиков. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2007. - 145 с.

ISBN 978-5-88151-739-7

Подробно рассматриваются прикладные задачи функций ком­ плексного переменного. Приведены методы решения задач (построение комплексного потенциала векторной функции, использование кон­ формных отображений, преобразование функций и т.д.). Помимо ста­ тических задач гидромеханики, теплопередачи и электричества рас­ смотрены задачи кинетики сложных химических реакций. Приведены численные методы решения отдельных задач. Представлены многочис­ ленные иллюстрации и примеры.

Содержание пособия соответствует учебным программам дисцип­ лин естественно-научного направления технического университета, а также курсам лекций, читаемым в ПГТУ

Предназначено для студентов очной, заочной и очно-заочной (ве­ черней) форм обучения технического университета и может быть по­ лезно преподавателям, аспирантам и инженерам.

Издано в рамках приоритетного национального проекта «Образо­ вание» по программе Пермского государственного технического уни­ верситета «Создание инновационной системы формирования профес­ сиональных компетенций кадров и центра инновационного развития региона на базе многопрофильного технического университета»

Предлагаемое учебное пособие является второй (составной) частью учебного пособия «Функции комплексного переменного и их приложения». В первой части подробно рассматривается теория функций комплексного переменного, приведено большое количество определений, теорем и высказываний, связанных с фундаментальным построением теории функций комплексного переменного, большая часть приведённых теорем строго дока­ зывается. Основные понятия излагаемой теории иллюстрируют­ ся многочисленными примерами и рисунками. Вторая часть по­ собия посвящена приложениям излагаемой теории первой части и содержит наиболее известные в литературе прикладные зада­ чи. Во второй части мы стремились сохранить стиль изложения материала, принятый нами ранее.

Часть II пособия состоит из трёх разделов. В первом разде­ ле (мы его классифицировали как некоторые классические зада­ чи) рассмотрены задачи об обтекании кругового цилиндра иде­ альной жидкостью, задача по определению подъёмной силы крыла самолёта и задача по определению характеристик элек­ трического тока длинной линии электропередачи (без потерь). Все задачи решены аналитически с использованием методов, применяемых в теории функций комплексного переменного (построение комплексного потенциала векторного поля, приме­ нение конформных отображений, использование преобразо­

и требований, предъявляемых к конкретной задаче. С этим об­ стоятельством мы столкнулись на примере задачи об обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью. Поэтому она рас­ смотрена нами и в первом разделе, и во втором.

Второй раздел мы посвятили задачам, связанным с поняти­ ем комплексного потенциала. Эти задачи мы классифицировали как задачи гидромеханики, теплопроводности, электричества и магнетизма. В целях наибольшей полноты и доступности из­ ложения материала в этот раздел включены теоретические во­ просы теории функций комплексного переменного, а именно:

вопросы, связанные с построением комплексного потенциала (п. 2.2); конформные отображения (п. Д. 2.4) и эллиптические интегралы и функции (п. Д. 2.5). Причём из эллиптических функций наиболее полно рассмотрены функции Вейерштрасса, так как они используются в разделе 3 при решении задач кине­ тики химических реакций.

Третий раздел посвящён вопросам математического моде­ лирования кинетики сложных химических реакций. Эти модели подробно исследованы нами в работе [17]. Основной упор в раз­ деле 3 сделан на проблему разрешимости (математической и физической) нелинейных систем обыкновенных дифференци­ альных уравнений.

Для иллюстрации в разделе 3 приведены решения задач по определению концентраций реагирующих веществ в сложных химических реакциях при заданных скоростях реакций, при по­ стоянной температуре [17]. В целях упрощения расчётов скоро­ сти реакций принимались равными единице (п. 3.3).

Проведённые нами исследования [18] показывают, что ана­ литические решения задач можно получить лишь для узкого класса задач химической кинетики. В основном их приходится (при выбранных математических моделях) решать численными методами. Этим вопросам посвящён п. 3.4 настоящего пособия.

Учитывая широкий круг предлагаемых задач (гидродина­ мика, теплотехника, электричество и магнетизм, химическая ки­ нетика) можно рекомендовать учебное пособие студентам всех специальностей технического университета.

Мы выражаем благодарность и признательность доктору физико-математических наук М.А. Севодину за ряд ценных за­ мечаний, сделанных в ходе написания и оформления данного пособия.

ГЛАВА 1 НЕКОТОРЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ

ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1.Вводные замечания

Кклассическим задачам относят, как правило, идеализиро­ ванные задачи математической физики. Из всего многообразия классических задач в рамках учебного пособия мы остановимся лишь на некоторых из них, связанных с функциями комплексно­

го переменного. Во всех задачах будем полагать, что среда, в которой происходят изучаемые физические процессы, одно­ родна. Это условие в реальной обстановке выполняется далеко не всегда. Учёт неоднородности среды приводит, как правило, к дифференциальным уравнениям (или их системам) с перемен­ ными коэффициентами. В настоящее время задачи математиче­ ской физики, связанные с неоднородностью среды, решаются различными методами.

Прежде всего назовем метод конечных разностей, или ме­ тод сеток, сущность которого заключается в замене дифферен­ циальных уравнений задачи разностными уравнениями. Этот метод подробно рассматривается, например, в работе [20].

Широкое распространение в настоящее время получил ме­ тод интегральных уравнений, который подробно описан в ра­ боте [20].

Очень часто используется также метод Ритца-Галеркина. Сущность метода состоит в замене искомой функции линейной комбинацией некоторых известных функций, удовлетворяющих заданным краевым условиям. Проблема поиска решения сво­ дится тогда к нахождению коэффициентов выбранной линейной комбинации.

Особую важность перечисленные методы имеют ещё пото­ му, что одна и та же математическая задача является моделью различных физических процессов. Такое моделирование назы­ вается математическим моделированием. Его мы проиллюст­ рируем на задачах кинетики сложных химических реакций (см. гл. 3). В главе 1 остановимся на трёх классических задачах:

-обтекание кругового цилиндра в идеальной жидкости;

-определение подъёмной силы крыла самолёта (задача Жуковского-Чаплыгина);

-расчёт тока и напряжения в длинной линии электропере­ дачи без потерь.

Первая из перечисленных классических задач связана с по­

строением отображения посредством аналитических функций

ииспользованием комплексного потенциала (см. п. 2.2, Д. 2.4 настоящего пособия) и детализируется в п. 2.3.1.

Вторая задача связана с понятием конформных отображе­ ний комплексного потенциала (см. п. Д. 2.4).

Третья задача, связанная непосредственно с уравнениями математической физики в частных производных с начальными

икраевыми условиями, решается с помощью преобразования Лапласа [20].

1.2.Обтекание кругового цилиндра в идеальной жидкости

1.2.1.Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции)

Вэтом пункте будем придерживаться обозначений, приня­ тых в работе [7].

Найдём движение жидкости, обтекающей круговой ци­

линдр и имеющей в бесконечности скорость U + iV = Aeta Используем метод конформного отображения (п. Д. 2.4).

Пусть |z| = R - сечение цилиндра плоскостью XOY (или проек-

единичного круга в плоскости (Zt) , причём вектор Ае,а преоб­

щую через начало координат параллельно вектору скорости на

бесконечности, и окружность х2+ у 2 = R2 В точках ±Re,a пе­ ресечения этих линий скорость

Ае~а‘ ■й3

/• (* ) = .V"

Z2

обращается в нуль, во всех же других точках плоскости она от­ лична от нуля.

1.2.2.Гидромеханическое истолкование простейших особых точек

Вэтом пункте остановимся на истолковании простейших особых точек аналитической функции как источников стоков или вихрей. Сначала рассмотрим логарифмическую особенность (точку разветвления бесконечного порядка).

Пусть / (z) = Ln z ; эта многозначная функция определена

в области 0 < |z| < оо , имеет однозначную производную

/'( z ) = — и, следовательно, может рассматриваться как ком- z

плексный потенциал некоторого установившегося течения жид­ кости. В данном случае потенциал скоростей однозначен:

ф(х,.у) = In|z[, а функция тока многозначна: ц/(*,>>) = Argz Линии равного потенциала In|z[ = const или |z| = const

представляют окружности с центром в начале координат, а ли­ нии тока - прямолинейные лучи Argz = const, так как скорость

в точке z есть

' w - i - i ? ’

и, следовательно, направлена по лучу Argz = const от начала

координат к бесконечно удалённой точке со скоростями весьма большими вблизи начала и весьма малыми вдалеке от него

k ' M b n . Такая картина заставляет рассматривать одну из

точек разветвления функции Lnz , а именно точку z = 0, как ис­ точник жидкости, а другую z = со как сток жидкости.

Чтобы определить мощность источника или стока, подсчи­ таем поток жидкости, протекающей через произвольную окруж­ ность у с центром в начале координат. Этот поток [7]

Отсюда сделаем вывод: через окружность сколь угодно ма­ лого радиуса с центром в начале координат протекает за одну секунду количество жидкости, равное 2п. Полученное число рассматриваем как мощность источника z = 0, откуда жидкость выбрасывается с бесконечно большой скоростью, или как мощ­ ность стока z —оо, где жидкость исчезает (с нулевой скоро­ стью).

Если вместо функции Lnz рассмотреть в качестве ком­ плексного потенциала функцию F(z) = -/L nz, то потенциалом

скоростей будет функция ср(х,у) = ReF(z) = Argz, функция то­

линейные лучи, выходящие из начала координат, а линии тока - окружности с центром в начале координат.

IZ

Так как скорость —г- направлена в положительную сторо­

ну по касательной к соответствующей окружности, то каждая частица жидкости движется по окружности с центром в начале координат, обращаясь вокруг него в положительном направле­ нии (против хода часовой стрелки). Скорость частиц попрежнему весьма велика вблизи начала координат и весьма мала вдали от него. Вследствие этого время, затраченное на пробег

порционально квадрату радиуса окружности. Можно показать, что источники и стоки в этом случае отсутствуют. Для циркуля­

Так как величина циркуляции остаётся одной и той же как для окружностей |z| = г сколь угодно малых радиусов, так и для

сколь угодно больших, то и начало координат, и бесконечно удалённую точку можно рассматривать как вихревые точки рас­ сматриваемого течения, а величину 2к —как интенсивность вихревой точки (той или другой).

Перейдём теперь к случаю источника и стока любой мощ­ ности т, помещённых в двух заранее заданных точках плоско­ сти, или к случаю двух произвольно расположенных вихревых

точек с данной интенсивностью Г

Первым соответствует комплексный потенциал — Ln-—-

равного тока в этом и другом случаях одинакова (рис. 1.2). Од­ нако в первом случае линиями тока являются дуги окружностей, соединяющих точки а и 6, а линиями равного потенциала - ор­ тогональные к ним окружности. Во втором случае, наоборот, последние линии являются линиями тока, а первые - линиями равного потенциала.

Рассмотрим теперь комплексный потенциал, равный сумме двух указанных выше:

( U 0 )

2л z - b

Для него точки а и Ъ можно рассматривать как вихреисточники,

аименно как совмещение источника (или стока) мощности т

свихревой точкой интенсивности Г Здесь потенциалы скоро­ стей и функции тока равны соответственно

Линиями равного потенциала и линиями тока являются два вза­ имно ортогональных семейства, так называемых двойных лога­ рифмических спиралей, навивающихся на точки а и Ь. На рис. 1.3 изображены три кривых одного семейства и одна кривая другого семейства.

Рис. 1.4

Из (1.13) следует, что линии равного потенциала и линии тока

R cos(a-0)

---- ------ ------ - = const,

представляют собой два семейства ортогональных окружностей

р = с, cos(a-0), p = c2sin(a-0).

Причём окружности первого семейства (линии равного потен­

циала) касаются в точке а вектора iRe'a , выходящего из этой точки, а окружности второго семейства (линии тока) касаются в той же точке вектора Reia (рис. 1.4).

1.2.3. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра

Пусть требуется найти комплексный потенциал для тече­ ния жидкости в области \z\ У R в предположении, что скорость

в бесконечно удалённой точке есть U + iV и в области

/?-<|z| -<оо отсутствуют источники, стоки и вихревые токи. То­

гда для производной /'( z ) комплексного потенциала, являю­

щейся сопряжённой со скоростью в точке z, получим, что она должна быть однозначной аналитической функцией в области

7?^|z|^oo, принимающей конечное значение U - i V в беско­

нечно удалённой точке. Следовательно, бесконечно удалённая точка является правильной для неё, в результате получим

/ '( z ) = t / - / r + 4 - + 4 +4 + -

Так как окружность \z\ = R является одной из линий тока, то

функция у(ге'е) должна сохранять постоянное значение при

r - R и любых значениях 0. Из найденного разложения для

сходящегося при г у R, следует, что мы удовлетворим

поставленным условиям, если положить

а,= 0, b2+VR2 =0, а2 + UR2'= 0; ^ = 0, а2= 0,...

При таком выборе коэффициентов получим

где б, - произвольное действительное число.

Для производной /'( z ) составим выражение

Поэтому поток жидкости через окружность |z| = r равен нулю,

а циркуляция скорости вдоль той же окружности равна -2кЬх.

Подбирая подходящим образом Ьи можно получить любое,

наперёд заданное значение циркуляции Г: —27 С = Г , откуда

где введена ещё произвольная постоянная С.

Комплексный потенциал представляется здесь в виде сум-

Г .

мы чисто циркуляционного течения -----Lnz , соответствующе2я/

го вихрям с интенсивностью Г в начале координат и в беско­ нечно удалённой точке, и течения без циркуляции

(Tj + iV)R2

\U - iV)z +--------- -— , найденного в п. 1.2.1.

Покажем теперь, что формула (1.16) даёт наиболее общее решение задачи об обтекании цилиндра с заданной скоростью

в первом и во втором движениях, является однозначной анали­

где у - произвольный замкнутый контур, содержащийся внутри

окружности |z| = R .

Так как циркуляции двух скоростей вдоль у должны быть равными между собой, то

R e j ( /7 ( z ) - / (z))dz = -2 тс Im <:,*=(>,

у

т.е. сх является действительным числом.

Для разности комплексных потенциалов /J ( z ) - /( z ) по­

лучим

и для разности их мнимых частей, т.е. функции тока, 8(r,e) = Im (/;(z)- /( * ) ) =

что и требовалось доказать.

Для потенциала скоростей и функции тока течения, опре­ деляемого (1.16), имеют место следующие выражения:

ются чисто мнимыми, причём из соотношения z, • z2 = -JR2 вид­

но, что только одна из них лежит вне окружности |z| = R, т.е об­

ласти, занятой жидкостью. Линии тока для этого случая изобра­ жены на рис. 1.5.

и в случае потока без циркуляции, две критические точки, ле­ жащие на окружности |z| = /? симметрично относительно мни­ мой оси (рис. 1.7)

Задача, рассмотренная в п. 1.2.3, будет конкретизирована

идополнительно исследована в п. 2.3.1 прикладных задач.

1.3.Определение подъёмной силы крыла самолёта

Вкачестве второй классической задачи рассмотрим задачу аэродинамики по определению подъёмной силы крыла самолё­ та. Эту задачу обобщим на основании п. 1.2.3.

Пусть L - замкнутая жорданова кривая плоскости (Z) [20];

требуется построить комплексный потенциал потока жидкости

ность L на внешность единичного круга |/| > 1 так, чтобы точка

г = оо перешла в точку t =да.

Пусть t = F{z ) - функция, осуществляющая отображение.

В окрестности точки z - оо она будет иметь разложение вида

где в (1.21) с, ^0.

Положим для определённости, что коэффициент сх есть

действительное положительное число, т.е. ^'(о о ^О . Указан­ ными условиями F {z) определится единственным образом.

Чтобы свести этот случай к отображению внутренности жорда-

В формуле (1.23) помимо произвольной постоянной С, не иг­ рающей никакой роли, фигурирует ещё действительный коэф­

фициент Г Покажем, что его следует выбирать равным цирку­ ляции скорости потока вдоль любой замкнутой кривой, заклю­

J / ' (z) dz =Var/ (z) = — VarArg F (z ).

Но когда z обходит уг однократно в положительном направле­ нии, t = F ( z ) обходит окружность |/| = г однократно в том же направлении, поэтому

откуда и следует наше утверждение.

Итак, поток жидкости, обтекающий контур L, определяется формулой (1.23), где Г - циркуляция потока, U + iV - скорость в бесконечно удалённой точке и F(z) - функция, конформно

отображающая внешность контура L на внешность единичного круга так, что

/г(оо) = оо и F /(oo)>0.

Применим эту формулу к нахождению комплексного по­ тенциала потока, обтекающего профиль Жуковского - Чап­ лыгина.

Чтобы построить такой профиль, рассмотрим две окружно­ сти у и у' плоскости £,, одна из которых у проходит через точ­ ки ±1 и касается окружности у' изнутри, в точке 1.

у перейдёт в дугу 8 окружности с концами ±1 и внешность у конформно отобразится на внешность 8. Следовательно, ок­ ружность у' отобразится взаимно однозначно на некоторую замкнутую кривую 8', принадлежащую внешности 8 (за ис­ ключением одной точки z = 1, общей с 8). Так как z = 1 являет­

нуль в этой точке, то углы с вершиной в точке Е, = 1 должны увеличиваться вдвое при рассматриваемом отображении. Но угол между у и у', по условию, равен нулю. Поэтому 5 и 8' должны также образовывать в Точке z = 1 угол, равный нулю. Вид кривой 8' представлен на рис. 1.8, это и есть профиль Жу­ ковского - Чаплыгина. Его вид и размеры можно изменять, вопервых, изменяя окружности у и у', а во-вторых, применяя преобразование подобия.

Чтобы применить формулу (1.23) к отысканию потока, об­ текающего построенный профиль, остаётся найти функцию, конформно отображающую внешность кривой 8' на внешность

единичного круга. Но функция 2 = ~ * 1 конформно ото- 4.

бражает внешность окружности у' на внешность кривой 5'. При этом она преобразует точку ^ = оо в точку z = оо и производная

её в точке ^ = оо имеет значение ^ . Если центр окружности у'

находится в точке а, а радиус равен р, то функция * = - ( £ - а)

Р

отображает внешность у' на внешность единичного круга. По-

ляется обратной по отношению к построенной функции, т.е.

F(z) = —[ - a + z + Vz2 - l ] , причём мы должны взять ту ветвь

р \ I

функции F ( z ), которая обращается в бесконечность в беско-

2

нечно удалённой точке [19]. Для неё имеем F'(oo) = —. Тогда

\lz2 -\

Чтобы производная /'( z ) , а следовательно, и скорость были ограниченными вблизи задней кромки крыла, т.е. вблизи точки

z = 1, необходимо ввести следующие условия, связывающие ве­ личину циркуляции Г со скоростью U + iV и параметры а и р, определяющими вид крыла:

)

Из рис. 1.8 видно, что 1 - а = ре ,6; полагая ещё U + iV = Ael>p,

получим

Следовательно, формула (1.24) окончательно имеет следую­ щий вид:

Вычислим в заключение этого пункта результирующую силу давления потока на крыло (подъёмную силу крыла самолёта), отнесённую к тому слою газа с высотой, равной единице, для которой проведены все выкладки. Обозначим её проекции на оси координат через X и Y (так как движение плоское, то эта си­ ла параллельна плоскости (ХОК). Используем общую формулу Чаплыгина [20]

где d - плотность газа, С - какая-либо замкнутая спрямляемая кривая, содержащая внутри обтекаемый контур.

Для вычисления интеграла (1.29) достаточно взять вычет

Из (1.31) следует теорема Жуковского: подъёмная сила крыла самолёта ортогональна к скорости потока в бесконечно удалённой точке и по величине равна произведению этой скоро­ сти на циркуляцию скорости и на плотность газа.

1.4.Расчет тока и напряжения

вдлинной линии электропередачи без потерь

Предположим, что в рассматриваемой длинной линии элек­ тропередачи самоиндукция и утечка тока настолько малы, что ими можно пренебречь (такая линия в электротехнике называет­ ся линией электропередачи без потерь).

Предположим, что к началу х = 0 длинной линии, зазем­ лённой на конце х = I , подключено в момент времени t = 0 по­ стоянное напряжение Е.

Требуется определить ток i и напряжение U в любой точке линии и в любой момент времени t.

Выкладки проведём, опираясь на работу [19]. Так как, по

Вследствие заземления ток и напряжение во всех точках линии до момента t = 0 равны нулю (начальные условия):

i(x,t) = 0 (t <0), U(x,t) = 0(t<0).

Составим краевые условия задачи

U(0,t) = E(t>0),U(l,t) = 0.

ной t (и для любого х(0 <* < /) ) удовлетворяют всем требова­

ниям, предъявляемым к оригиналам:

1)имеют вместе со своими первыми производными по х и t

влюбом конечном интервале времени конечное число точек разрыва непрерывности и притом только первого рода;

2)тождественно равны нулю при t -<0 ;

3)существуют два таких числа М >- О, S0 >- 0, что для лю­

di(x,t)

i(x,t)\<MeSo',

Эх

Тогда, применяя к системе (1.32) преобразования Лапласа [19], получим систему уравнений

d1(х,р)

dx

(1.33)

dU(x,p) dx

где 0<д:</, а символами l ( x ,p ) и U(x,p) обозначены изо­ бражения (по Лапласу) функций i(x,t) и U{x,t). Краевые условия тогда имеют вид

и { о ,р ) = ~ , U (1,р) = 0.

р

Исключая из системы (1.33) 1{х,р), получим дифферен-

дх2

Решая уравнение (1.34) и используя краевые условия, получим

U(x,p) = cleyx + с2е~ух,

Все нули sh у 1 простые, поэтому U(x>p) имеет лишь простые

полюса [4]. Найдём теперь вычет U (*,/?) в точке рп:

= /sin— (/- x ) =7sinf п к - — :

5 T

Отсюда сразу найдём решение

Заметим, что так как все члены ряда (1.36) имеют экспо­ ненциальный множитель, то ряд сходится для любого t > О очень быстро и вычисления с помощью (1.36) провести очень просто.

Из уравнения

dU (x,t)

дх

U(x,t) и i(x,t), найденные по формулам (1.36) и (1.37), пред­

ставляют собой переходный режим.

ГЛАВА 2 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Предварительные замечания

Анализ большого количества прикладных задач показал, что все они могут быть описаны некоторой комплексной функ­ цией вида

где Fx(x,y,z,t) - называют статической составляющей силовой

функции; F2(x,y,z,t) - динамической составляющей силовой функции.

Рассмотрим частные случаи равенства (2.1).

Пусть F2(x,y,z,t) = 0 и : = 0, / = 0, тогда (2.1) запишется

F(x,y) = Fx(x,y).

Рассматриваемый класс задач характеризуется тем, что век­

Рассматриваемый класс задач связан с динамическими про­ цессами в системе. К таким задачам (если считать функцию

F2(x,y,z,t) скалярной) можно отнести, например, задачи, свя­ занные с кинетикой сложных химических реакций.

Проведем подробный анализ соотношения (2.2).

1. Для задач гидромеханики идеальной несжимаемо жидкости:

F\(x->y) —описывает векторное поле скорости, Р = 1 2. Для стационарных задач теплопроводности:

F\(x,y) - описывает векторное поле плотности теплового потока; Ф(х,у) - функция распределения температуры Т в об­ ласти D; Р = -X (коэффициент теплопроводности той среды, ко­ торая заполняет область D).

3. Диффузия в среде некоторой примеси:

Ф(х,^) - характеризует распределение в области D кон­ центрации этой примеси;

F\(x,y) - вектор плотности потока примеси; р = -ц (коэффициент диффузии).

4. Просачивание через область D газа или жидкости: Ф(х,у) - функция распределения давления в D ;

F\{x,y) - вектор скорости частиц жидкости или газа в среде;

Р= X - (коэффициент фильтрации).

5.Для электростатического поля:

F\(x,y) - вектор напряженности;

Ф(х, У) ~ распределение в области D потенциала этого поля;

p = - i .

Помимо (2.2) для рассматриваемого класса задач справед­ ливо равенство

которое отражает закон сохранения рассматриваемой физиче­ ской субстанции в окрестности произвольной точки области D. Для задач гидромеханики и диффузии - закон сохранения массы жидкости или примеси. Для задач теплопроводности и электро­ статики - теплоты или заряда.

Равенства (2.1) и (2.4) означают, что рассматриваемое плоское векторное поле является лапласовым, и позволяют вве­ сти для него комплексный потенциал [7].

Сформулируем некоторые вспомогательные задачи, кото­

альное векторное поле так, чтобы Г, и Г2 являлись либо ли­

ниями равного потенциала, либо линиями тока этого поля с за­ данной разностью значений потенциальной функции или функ­ ции тока соответственно.

2. В неограниченной плоской области D задана неограни­ ченная кривая Г и значение производной W'(°°) комплексного потенциала в бесконечно удаленной точке. Требуется построить в D плоское векторное поле так, чтобы Г являлась либо линией равного потенциала, либо линией тока этого поля.

3. Во внешности D плоского простого замкнутого контура L требуется построить векторное поле так, чтобы контур L совпал или с линией равного потенциала, или с линией тока это­ го поля при заданном значении потока векторного поля через L либо циркуляции вдоль L соответственно.

Решение перечисленных задач в общем случае может быть не единственным. Однако дополнительные ограничения, обу­ словленные особенностями конкретной задачи, гарантируют единственность решения и позволяют построить комплексный потенциал, описывающий соответствующее плоское векторное поле, с точностью до постоянного слагаемого.

Вп. 2.2 подробно остановимся на комплексном потенциале.

2.2.Комплексный потенциал плоского векторного поля

При помощи функции комплексного переменного можно описать стационарное (не зависящее от времени t) плоскопарал­ лельное (плоское) векторное поле. Все векторы такого поля па­ раллельны некоторой плоскости, причем во всех точках прямой, перпендикулярной этой плоскости, векторы поля равны. Это значит, что в системе координат XYZ векторы поля имеют нуле­ вую аппликату и зависят только от координат х и у точки при-

контуром L будем ассоциировать тело, которое ограничено ци­ линдрической поверхностью с направляющей L и двумя плос­ костями, параллельными плоскости (Z) и- отстоящими друг от друга на расстоянии, равном 1. Такое тело будем называть ци­ линдрическим. Будем считать, что векторное поле /(z ) являет­ ся лапласовым, т.е. одновременно и потенциальным и соленоидальным. Для плоскопараллельных полей [9]

где — в данном случае обозначает частную производную по dz

аппликате точки. Векторные линии плоскопараллельного век­ торного поля f (z ) = U(x,y) + iV(x,y) описываются дифферен­ циальными уравнениями

U(x,y) V(x,y)

или V(x,y)dx-(J(x,y)dy = 0

Условие соленоидальности векторного поля означает, что выражение V(x,y)dx + U(x,y)dy является полным дифферен­ циалом некоторой скалярной функции у), а уравнение век­

торных линий является уравнением в полных дифференциалах. Тогда

Функцию Ч ^^у) называют функцией тока (силовой функцией) плоского векторного поля f(z) Векторные линии этого поля являются линиями уровня функции ^(х^у) и описываются уравнением

Условие потенциальности векторного поля /(z ) означает, что выражение U(x,y)dx + V(x,y)dy тоже является полным дифференциалом некоторой функции Ф(;с,>>) :

и функция тока являются сопряженными гармоническими функ­

=Ф(дг,у) + Ч/(х,у) • / аналогична в этой области. Через функцию

Функцию W(z) = <b(x:,у) + №(х,у), составленную из по­ тенциальной функции Ф(х,у) и функции тока плоского лапласова векторного поля /(z ), называют комплексным по­

плоское лапласово векторное поле описывается функцией ком­ плексного переменного /(z ), комплексно сопряженной с ана­ литической функцией W\z).

Верно и обратное, т.е. если функция /(z ) аналитична, то плоское векторное поле, заданное функцией / ( z ) , является ла-

Линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) представляют собой линии уровня потенциальной функции Ф(х,>'), а линии уровня функции тока ^(*,>0, известны как

линии тока (силовые линии). Линии равного потенциала и ли­ нии тока в области D описываются соответственно уравнениями

W'(z) = /(z ) * 0 . В этом случае линия равного потенциала и ли­ ния тока, проходящего через эту точку, взаимно перпендику­ лярны. Если функция /( z ) задает лапласово поле в однознач­

носвязной области, комплексный интеграл от этой функции по замкнутому контуру у с D равен нулю. Но действительная часть этого интеграла есть циркуляция векторного поля по контуру у, а мнимая часть есть поток векторного поля через кри­ вую у. Таким образом, утверждение теоремы Коши означает,

что циркуляция лапласова поля по замкнутому контуру и поток лапласова поля через замкнутую кривую равны нулю. Первое утверждение верно для всех потенциальных полей, а второе - для всех соленоидальных полей [8].

Пример 2.1. Выяснить, какое векторное поле описывает комплексный потенциал

W(z) = z2 = х2 - у2 + 2ixy.

Эта функция является аналитической во всей комплексной плоскости и потому определяет в этой плоскости лапласово по­

ле, которое описывается функцией f(z) = W'(z) = 2z. Потенци­ альная функция и функция тока этого поля имеют вид

На рис. 2.2 сплошными линиями изображены линии равного потенциала, а штрихо­ выми - линии тока. Оба семейства содержат равнобоч­ ные гиперболы, но, кроме того, линиями равного потенциала являются биссектрисы коорди­ натных углов, а линиями тока - координатные оси. В точке

в этой точке нарушено условие взаимной перпендикулярности линий равного потенциала и ли­ ний тока. Рассматриваемое векторное поле описывает, напри­ мер, течение жидкости в пространстве, разделенном двумя пер­ пендикулярными стенками.

Пример 2.2. Пусть в точках z - - h и z = О помещены ис­ точники интенсивностью Q и -Q соответственно. Найти ком­ плексный потенциал этого поля. Возникающее плоское вектор­ ное поле будет суммой векторных полей этих источников, а его комплексный потенциал в силу аддитивности интеграла можно представить в виде

где символ Ln - комплексный логарифм z.

Таким образом, из аддитивности интеграла следует свойст­ во аддитивности комплексного потенциала. Потенциал (2.15) определен при условиях z + h * 0, и z^O , или при

Arg(z + К) - Arg z = const.

После упрощения эти уравнения принимают вид

Линиями тока рассматриваемого векторного поля являются дуги окружностей, соединяющие точки - И и 0. Линиями равно­ го потенциала также будут окружности, которые разделяют точ­ ки z + h и 0 и перпендикулярны линиям тока.

Действительно, полагая z - x + iy и принимая для опреде­ ленности h > 0, из (2.16) находим соответственно

^{x + h f + y 1 = кт>0, arctg— ---- arctg— = е R (2.17)

кулярной действительной оси и равноудаленной от точек z + h

и О (рис. 2.3). Эти окружности взаимно перпендикулярны, а плоское векторное поле симметрично относительно действи­ тельной оси, на которой расположены линии тока, соответст­ вующие дугам окружности бесконечно большого радиуса при

h

кЦ1-> 0 . Прямая Rez = - — будет одной из линий равного по­

тенциала (окружностью бесконечно большого радиуса при &ф-> 1). Линии равного потенциала левее этой прямой соответ­

мер, электростатическим полем двух разноименно заряженных тонких прямолинейных провод­

ников, параллельных друг другу и расположенных друг от друга на расстоянии И. Интенсивность Q> О будет соответствовать

положительному заряду, приходящемуся на единицу длины проводника.

Пример 2.3. Для плоского векторного поля задан комплекс­ ный потенциал W(z) = z + lnz . Найти потенциальную функцию

Ф(х,у), функцию тока линии тока и линии равного

потенциала, а также критические точки поля (точки, в которых векторное поле обращается в нуль). Потенциальная функция и функция тока являются действительной и мнимой частями комплексного потенциала. Отсюда

Ф(х, у) = Re W(z) = Re z + Re(ln z) =

= X + InJX2 4-у2 = X+ i In[x2 + y 2) ,

W(x,y) = Im W(z) = Im z + Im In z = у + arg z = cp(x, y) + y,

где cp(x,y) - функция argz, записанная в переменных x и у,

и равная полярному углу точки с координатами (х;у).

Линии равного потенциала задаются уравнением Ф(х, у) =

Рис. 2.5

Эти кривые будут линиями тока, так что мнимая часть комплексного потенциала W(z) течения в канале должна быть постоянной на каждом из этих кривых, т.е.

Будем считать, что в области D отсутствуют источники

ивихри. Тогда поток Q векторного поля через любую кривую

ус произвольной начальной z, е у, и конечной z2 е у2 точками будет постоянным, причем Q = '¥ 2 - 'F , . При выборе *Р, = 0 по­ лучим 'Т2=<3 Отметим, что для жидкости, вытекающей из об­ ласти, для которой кривая у является участком границы, поток имеет положительное значение: Q> 0 (см. рис. 2.5). Условие постоянства *Р(г) на кривых у, и у2, а также известное значе­ ние потока жидкости Q не является достаточным для одно­

значного определения комплексного потенциала течения жид­ кости в канале. Поясним это. Рассмотрим в качестве канала по­ лосу 0 < Im z < Н , в которой течение имеет заданное значение потока Q >0 (рис. 2.6). Функция [7]

зависящая от параметров X е R и п е Z , имеет мнимую часть

ЯЯ

которая при любых значениях А, и я принимает на границах

зависит от выбора значений X и и .

Покажем, что единственность комплексного потенциала для заданной полосы можно обеспечить, дополнительно потре­ бовав, чтобы скорость в бесконечно удаленной точке была огра­ ниченной. Пусть аналитически функции IV,(z) и W2(z) в полосе О< Im z < 0, представляющей канал, удовлетворяют всем усло­ виям: их мнимые части постоянны на кривых Im z = О и Im z = Н, ограничивающих канал, а соответствующие вектор­

в D , имеет нулевое значение потока, а мнимая часть T^z) =

= Im W(z) этой функции обращается в нуль на прямых Imz = О и Imz = Н.

Дополнительное условие означает, что функция W\z) ог­ раничена в рассматриваемой полосе. Так как ImW(z) = const на

прямых Imz^O и Imz = # , то 1тЖ'(^) = const на этих пря­ мых. Тогда гармоническая функция ImH^'(z) ограничена в рас­

сматриваемой полосе, а на ее границе обращается в нуль. По­ этому ImfV’(z) = 0 всюду в полосе, а функция W \ z ), имеющая

нулевую мнимую часть, постоянна в полосе

W'(z) = ae R, 0 < I m z < #

По производной восстанавливаем комплексный потенциал (опуская несущественную в данном случае постоянную интег­

н

образом, комплексный потенциал течения в данной полосе имеет вид W(z) = Qj-z и определен однозначно.

Замечание. В общем случае области D в плоскости (£>) 5

ограниченной кривыми у1 и у2, комплексный потенциал можно

построить так: задать комфортное отображение z = g(£,) облас­

ти D на полосу 0 < l m z < # Тогда комплексный потенциал те­ чения жидкости в канале D имеет вид

Задача 2. Найти комплексный потенциал истечения жидко­ сти из канала в водоем (или при вытекании жидкости из водоема в канал), используя схему рис. 2.7.

Область в комплексной плоскости (£;) будем рассматри­

вать как водоем достаточно больших размеров с подведенным к нему каналом шириной 2h . Глубину водоема и канала примем равными единице. Пусть по каналу в водоем поступает жид­ кость с объемным расходом 2Q >0, т.е. в единицу времени че­ рез канал проходит объем жидкости, равный 2Q.

В силу симметрии области D относительно действитель­ ной оси 1т^ = 0 течение в канале и водоеме достаточно рас­ сматривать лишь в области D , расположенной в верхней полу­ плоскости 1т£,>0 и представляющей собой внутренность не­

ограниченного треугольника АхА!2А!ъ (см. рис. 2.7). При этом

через канал, образованный прямыми А[А2 и А[А2, в водоем бу­ дет поступать жидкость с расходом Q > 0, а действительная ось

Im ^ = 0 как граница области D станет одной из линий тока. Если считать эту линию нулевой, т.е. принять на ней для

функции тока значение i|/[ = 0, то на линии тока, соответст­ вующей границе А[А2Аг области D , будем иметь ц/2 = -Q при

истечении жидкости из канала в водоем (при вытекании жидко­ сти из водоема на этой линии тока \\J2 =Q>0, поскольку жид­ кость вытекает из области, для которой любая кривая с началь­ ной точкой на действительной оси Im£, = 0 и конечной на пря­ мой А[А2 будет частью границы, обходимой в положительном направлении). Чтобы построить функцию, которая конформно

Ветвь этой многозначной функции конформно отображает верхнюю полуплоскость Im £, > 0 на внутренность неограничен­

ного треугольника АХА2АЪ в плоскости Q. Этот треугольник па­

раллельным переносом на расстояние h вдоль положительного направления мнимой оси можно совместить с неограниченным

треугольником А!ХА2А!Ъ (см. рис. 2.7.). Следовательно, ветвь мно­ гозначной функции

конформно и взаимно однозначно отображает верхнюю полу­ плоскость lmz>0 на область D в верхней полуплоскости Im£ > 0 При этом прообразами точек А(, А2 и Аъ будут точки

*,=(), х2 =1, х3 = со соответственно.

Требуемую ветвь многозначной функции (2.20) можно оп­ ределить из условия, что функция принимает минимальные зна­ чения /у, у> 0, если аргумент z пробегает часть действитель­

ной оси правее точки z = 1. Тому же условию должен быть под­ чинен и выбор ветви функции (2.21). Функция z = ¥({;),

обратная к выбранной ветви функции (2.21), осуществляет кон­ формное отображение области D на верхнюю полуплоскость

конформно отображает рассматриваемую область D в полу­ плоскости Im£, на полосу 0 < Imco2 < Н (см. рис. 2.7).

Заметим, что действительной оси 1т^ = 0, принятой в ка­

честве нулевой линии тока со значением функции тока *Р{ = 0,

лосе, изображенной на рис. 2.6, приходим к выводу, что эти ус­ ловия идентичны, поскольку \|/| -v|/2 = 0 -( -Q ) = Q = \\J2—vj/, Поэтому, используя (2.19) и учитывая (2.22), для комплексного потенциала, описывающего течение в области D, получаем

циала, а скорость жидкости в окрестности этой точки не ограни­ чена по модулю. В действительности в силу вязкости реальной жидкости и образования вихрей при обтекании углов скорость будет ограничена, но достаточно велика, что приводит к размыванию устья канала.

Задача 3. Обтекание цилиндрического тела.

Рассмотрим поперечное обтекание кругового цилиндра ра­ диуса R потоком идеальной (несжимаемой) жидкости, имею­

щей вдали от цилиндра скорость >О. Такое обтекание опи­ сывается векторным полем, определенным во внешности ок­ ружности радиуса R, центр которой совмещен с началом коор­ динат. Тогда контур L есть окружность \z\ = R, а область D за­ дается неравенством |z|>/?. Комплексный потенциал

рассматриваемого векторного поля отображает внешность окружности L на внешность отрезка [-г;г].

действительной оси. Следовательно, искомый комплексный по­ тенциал должен иметь вид W0 (z) = гсо (z). Коэффициент г е R

Точки z - - R и z = R , в которых скорость жидкости равна нулю, называют точками разветвления и схода потока соответ­ ственно. Объединим их общим названием критические точки потока. В первой из них линия тока разветвляется на две: одна обходит окружность \z\ = R сверху, а другая снизу. Во второй

точке разветвленная линия тока соединяется. Из (2.25) следует, что в точках z —±iR скорость жидкости достигает наибольшего по модулю значения на контуре L, равного 2VX.

Полагая z = р- е'ф, из представления (2.24) с учетом форму­ лы Эйлера находим

,Ф Л -

W0(pe-») = Va ре ф+ — е

Р

Следовательно, потенциальная функция (или потенциал скоростей) и функция тока в полярных координатах имеют сле­ дующий вид:

R2 А

р+- coscp,

'R2^

р — sin ср.

рис. 2.9.

ки рассматриваемого потока удовлетворяют квадратному урав­ нению

z2----—— iz - R2 = 0 .

2лУ„

Следовательно, критическими точками являются

Если |г| = 4%VXR , то обе критические точки совпадают, причем

z, 2 = iR

Линии тока для этого случая изображены на рис. 2.10.

В случае |г] > 4nVxR обе критические точки также чисто

мнимые, причем из условия zi -z2 = - R 2 следует, что

|z,| < R <|z2| , т.е. только точка z2 лежит вне окружности |z| = R

пользуя представление (2.29), которое приводит к уравнению

Таким образом, сила, действующая со стороны потока на цилиндр единичной длины, по отношению к направлению ско­ рости Vn жидкости в бесконечно удаленной точке повернута на

71

угол — в сторону, противоположную направлению движения

докс Даламбера).

2.3.2. Задачи теплопроводности, теплопередачи

Задача 1.

Пусть труба радиуса R заложена в грунте на глубине Н от его горизонтальной поверхности (рис. 2.13). Примем, что пере­

O(z) = -XT

Поскольку в грунте отсутствуют источники (или стоки) те­ плоты, то векторное поле является соленоидальным:

divg = 0,

поэтому установившееся распределение температуры Т в нем удовлетворяет уравнению Лапласа

V2r = divgrad T =divg = 0.

Для достаточно длинной трубы (по сравнению с ее радиу­ сом) такое поле можно считать плоскопараллельным и исполь­ зовать для его описания комплексный потенциал (п. 2.2).

В плоскости (Z) поверхностям грунта и трубы, являющим­

ся изотермическими, будут соответствовать линии равного по­ тенциала

представляющие собой горизонтальную прямую у и окруж­ ность L радиуса R (см. рис. 2.13).

Форма и взаимное расположение таких линий равного по­ тенциала характерны для плоского векторного поля системы двух источников интенсивностью ±Q, размещенных в точках

(-А; 0) и (0; 0), симметричных относительно прямой х =

(см. рис. 2.13). Описывающий это поле комплексный потенциал (2.15) можно использовать для решения рассматриваемой зада­ чи, если под Q понимать мощность теплопотерь участка трубы

единичной длины, а действительную ось lmz = 0 на рис. 2.13 провести через центр поперечного сечения трубы перпендику­ лярно поверхности грунта и в точке пересечения оси с этой по­

- 0 (^ ,0 ) = А.-ДГ,

где х} = Н - R - абсцисса точки пересечения действитель­

ной оси с контуром трубы (см. рис. 2.13), учитывая (2.15), за­ пишем

По заданным значениям R и Я = /д , используя первое ра­

венство (2.15), найдем

d =^ = J l2R- R 2 =у1н 2- Я 2

Подставим выражение для h и х, в (2.33), установим связь

между Q и А Т :

радиусом , то влияние этого слоя на теплопотери можно при­ ближенно оценить так. Примем, что температура теплоизоляции на внешней поверхности слоя одинакова и обозначим ее 7]. То­ гда вместо (2.34) получим

= 7^-7] температур по толщине слоя теплоизоляции, равный [7]:

^2лХ R

/

Замечание. Второе слагаемое в скобках правой части по­ следнего равенства выполняет роль поправки, оценивающей влияние слоя теплоизоляции.

кой теплопроводности снижает суммарное термическое сопро­

тивление теплоизоляции RT= ^ - , где ДТ = Тт- Т к - разность

температур трубы Тт и кожуха Гк, Q - тепловой поток, прохо­ дящий через изоляцию в расчёте на единицу длины трубы. Най­ дём значение 7^. при заданном количестве рёбер п и известной высоте рёбер й, принимая температуру рёбер равной Тк кожуха. Распределение температуры внутри кожуха можно представить комплексным потенциалом, то есть в виде действительной части некоторой аналитической функции в кольцевой области с по­ вторяющимися разрезами. Эта функция определяется гранич­ ными условиями: на внешней окружности, ограничивающей об­ ласть, и на разрезе эта действительная часть функции имеет зна­ чение Тк9 равное температуре кожуха, а на внутренней окружности - неизвестное значение Гт, равное температу­ ре трубы.

Повторяющийся элемент кольцевого слоя теплоизоляции между двумя соседними рёбрами показан на рис. 2.15. Отрезки Л,С, и А{С{ соответствуют радиальным сечениям кольцевого слоя, выделяющим из него повторяющийся элемент. В силу симметрии через эти отрезки нет переноса теплоты. Поэтому можно ограничиться рассмотрением отдельного элемента, счи­ тая, что на отрезках AiCi и А[С[ этот элемент идеально тепло­

изолирован. Температура дуги А,А{ равна Тт, а температура ду­

ги £),£),' и отрезков C,D,, D[C\ - Тк.

Чтобы построить комплексный потенциал в выделенном элементе кольцевой области с нужным поведением на границе, отобразим этот элемент на область более простого вида - внут­ ренность прямоугольника.

Для этого введём полярную систему координат (ф,р) с по­ люсом О на оси трубы. Аналитическая, в пределах выделенного

элемента, функция £, = ф + / 1п— конформно отображает этот

г \

элемент на внутренность прямоугольника ADD'А' (см. рис. 2.15) в плоскости (^), характеризуемого параметрами В, Н и h , кото­ рые связаны соотношениями

где гт и гк - радиусы трубы и кожуха (см. рис. 2.14). Это кон­

формное отображение переведёт искомый комплексный потен­ циал в аналитическую внутри прямоугольника функцию, кото­ рая будет описывать распределение температуры внутри прямо­ угольника ADD'А' При этом сторона АА' этого прямоугольника будет иметь температуру Тт, а сторона D'D и отрезки CD

и C'D' -температуру Тк.

При конформном отображении линии равного потенциала (в данном случае - изотермы) и линии тока теплового потока

остаются взаимно перпендикулярными. Поэтому термические сопротивления слоя теплоизоляции с поперечным сечением в виде прямоугольника ADD'А1 и в виде выделенного повто­ ряющегося элемента кольцевого слоя совпадают при условии, что коэффициент теплопроводности А, теплоизоляции в обоих случаях одинаков.

Вычислить непосредственно термическое сопротивление прямоугольника ADD'А' достаточно сложно. Задача упростится, если этот прямоугольник удаётся конформно отобразить на но­ вый прямоугольник АЛА'А' в плоскости (со) (см. рис. 2.15),

причём верхняя сторона С*С* этого прямоугольника будет со­ ответствовать участку границы CDAC' старого прямоугольни­ ка, а нижняя сторона А'А нового прямоугольника - нижней стороне AAf старого. Тогда распределение температуры для но­ вого прямоугольника будет определяться значениями темпера­ туры на его горизонтальных сторонах А'А и С*'С* и условием

идеальной теплоизоляции на его боковых сторонах. Такое рас­ пределение температуры имеет простой вид: Т = Су, где посто­

янная С может быть найдена из значений температуры на гори­ зонтальных сторонах прямоугольника и его высоты.

Конформное отображение прямоугольника на прямоуголь­ ник можно осуществить в два этапа, используя в качестве про­