Основы научных исследований в технологии машиностроения

Рис. 3.13. Распределение случайной величины по закону равной вероятности

Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 b. Естественно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок тоже происходит по закону прямой линии.

При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна С; вне этого интервала она равна нулю. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице,

72

электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.). Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваютсяграницами(пределами) допускаемыхпогрешностей.

3.5.Начальные и центральные моменты

Вобщем случае момент дискретной случайной величины r-го порядка можно представить в виде

Если а = 0, то момент называют начальным, если а = Мх или а = = x r – центральным. Нечетные центральные моменты указывают на симметрию распределения относительно математического ожидания. У всех симметричных распределений нечетные моменты относительно среднего значения равны нулю.

Первый начальный момент – математическое ожидание:

i 1

Второй центральный момент – стандартное отклонение σ:

i 1

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент (М3) характеризует асимметрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошенность (рис. 3.15).

Коэффициент асимметрии

n

Sk M3 i 1 mi (xi x)3 . (3.42)

σ3 σ3

74

Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek > 0, то

говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Если Ek < 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой находится ниже вершины кривой нормального распределения.

В случаях когда значения случайной величины xi заданы трех- и более значимыми числами и объем выборки N > 25, расчет параметров целесообразно вести путем введения случайной величины:

xi xi x0 , h

где xi – новая случайная величина; h – величина интервала; х0 – неко-

торое начальное значение (обычно принимают середину средних значений xi).

3.6. Квантили распределения

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х).

Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xP, являющаяся решением уравнения

Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (3.44) – единственное (рис. 3.17).

Рис. 3.17. К определению квантиля

76

Квантиль порядка Р=0,5 называется медианой распределения (рис. 3.18). Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности, вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид

F (x) x f (x) dx,

–

где f(х) плотность распределения.

Рис. 3.18. Медиана распределения

Квантиль xР удовлетворяет соотношению

xР

f (x) dx Р.

–

На рис. 3.19 площадь под заштрихованной фигурой равна Р, а оставшаяся площадь под фигурой равна 1 Р.

Рис. 3.19. К определению площади f(x)

77

3.7. Интервальные оценки истинного значения

Рассмотренные ранее оценки результата измерения x, , вы-

раженного одним числом, называются точечными оценками. Точечная оценка погрешности измерения неполная, поскольку

σ указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение x, но ничего не говорит о вероятности попадания x в этот интервал.

Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы x1, x2, называется доверительным интервалом (полем до-

пуска), а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности – доверительной вероятностью α:

где хн = х – х1, хв = х + х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; – уровень значимости (β = р(хн > х > хв) = 1– α).

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α=0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3 до –3 , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей толькоодна по абсолютному значению будет больше 3 .

78

Различного рода ошибки, влияющие на правильность принятия решения о техническом состоянии объекта, неизбежно возникают в процессе диагностирования. Основные причины ошибок диагностирования:

неточное измерение и преобразование контролируемого параметра;

неточное сравнение измеренного значения параметра с нижним и верхним допустимыми пределами;

ненадежное функционирование средств контроля в процессе диагностирования.

Поясним смысл вышеуказанных ошибок на конкретном примере. Пусть производится диагностирование размера деталей по заданному полю допуска (рис. 3.20). Если среднее значение измерений находится в пределах поля допуска, деталь признается годной. Однако вследствие разброса часть измерений находится за пределами поля допуска. Это ошибка первого рода, при которой годная деталь признается негодной. Если среднее значение измерений находится за пределами поля допуска, деталь признается негодной, однако из-за разброса часть измерений попадает в поле допуска. Это ошибка второго рода, при которой негодная деталь признается годной. Вероятности ошибок первого и второго рода характеризуются площадями фигур под кривыми распределения измерений, (на рис. 3.20 они заштрихованы).

Рис. 3.20. К определению количества годных деталей

79

Легко понять, что ошибка измерения первого рода является

ложным браком, а ошибка второго рода – пропуском брака, или необнаруженным браком.

Значения ошибок ложного и необнаруженного брака характеризуют качество процесса измерений в целом, а это значит, что они должны учитываться при задании и определении показателей диагностирования.

Для уменьшения опасности появления ошибок второго рода при контроле в случае, когда поле допуска превышает поле рассеяния, необходимо с помощью настройки обеспечить расположение кривой фактического распределения размеров внутри поля допуска с таким расчетом, чтобы ее центр группирования (математическое ожидание Мx) отстоял от предельных размеров не менее чем на 3 .

Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероят-

ность того, что х выйдет за пределы x1 , x2 . Выбираемое значение β

должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 β 0,1.

3.8. Представление параметров распределения

Множество однотипных объектов из генеральной совокупности значений случайной величины X (x1, x2, …, xn) на практике характеризуется и представляется:

эмпирической функцией распределения;

полигоном частот;

гистограммой частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределе-

ния выборки) называют функцию FX(x), определяющую частость события, заключающегося в том, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.

80