Основы научных исследований в технологии машиностроения

из которых K величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к уравнению, связывающему N–K безразмерных критериев.

В решении (5.20) числа подобия, составленные из параметров (Fr, Re), называются определяющими, а безразмерная скорость u и

число Эйлера Eu – определяемыми.

Условия, достаточные для существования подобия физических явлений (третья теорема подобия), были впервые сформулированы в 1930 году Кирпичевым и Гухманом в виде трех положений:

1)подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

2)условия однозначности (к ним относятся геометрические и физические параметры системы, начальные и граничные условия) подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме численных значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;

3)одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковые численные значения.

Отметим следствия теоремы:

1)если процессы А и В подобны, то любая физическая величина

φв данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса В;

2)подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

5.4.1. Применение теории подобия к задачам теплообмена

Числа подобия можно получать путем анализа размерностей из известных дифференциальных уравнений, описывающих ход процесса. Например, для уравнения второго закона число Ньютона мо-

141

жет быть получено как отношение размерности правой части уравнения (5.10), характеризующей внешние силы, к размерности левой части, характеризующей силы инерции:

(1)(2)

Получим, таким образом, числа подобия из уравнений, описывающих теплообмен в жидких и газообразных (вязких) теплоносителях.

Теплоотдача между твердой поверхностью с температурой Тп и вязкой средой с температурой Тc (Тп>Тc) и теплопроводностью λ в приближении погранслоя описывается уравнением

Безразмерное отношение правой части уравнения (5.22) к левой на-

зывается числом Нуссельта

Число Нуссельта Nu / ( / l) является определяемым и характе-

ризует безразмерный коэффициент теплоотдачи.

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения переноса тепловой энергии (4.10). Для этого запишем одномерное уравнение переноса тепловой энергии без источников тепла:

142

Оценим отношение второго члена уравнения, характеризующего конвективное тепло, к третьему члену, характеризующему диффузионное тепло. При этом будем пользоваться характерными размерными величинами: скоростью u, температурой Т, температуро-

Полученный критерий подобия называется числом Пекле Pe ual ,

характеризующим относительную интенсивность конвективного и диффузионного механизмов переноса тепловой энергии. Так, при

Pe>1 конвективный механизм переноса тепловой энергии преобладает над диффузионным механизмом. Если задача решается с инженерной точностью 5 %, то при Ре>95 третьим членом в уравнении (5.24) можно пренебречь по сравнению со вторым. Таким образом, в сравнении интенсивности процессов конвекции и диффузии тепла существенное значение имеют не три размерных параметра u, l, а в отдельности, а их вполне определенная комбинация, называемая числом Пекле.

Отношения других членов уравнения (5.24)

(2)(1) uTl Tt l t u

характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла, причем l2 a – характерное время процесса переноса тепла теплопроводностью; lu – характерное время процесса переноса тепла конвекцией.

Полученные критерии характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла и называются числами Фурье (Fo) и гомохронности (Ho – однородности по времени):

143

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из одномерного варианта уравнения движения (4.12),

Уравнение представляет баланс сил инерции (1, 2), тяжести (3), внешнего давления (4) и вязкого трения (5).

Отношение второго члена уравнения, характеризующего силы инерции при стационарном течении, к пятому, характеризующему силы вязкого трения, является важнейшим критерием подобия, на-

зываемым числом Рейнольдса:

При малых значениях числа Рейнольдса (Re < 103) силы вязкого трения преобладают над силами инерции, циркуляция вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших значениях числа Рейнольдса (Re > 104), когда инерционные силы преобладают над силами вязкого трения, циркуляция вязкой среды имеет турбулентную структуру. Поперечные пульсации скорости и температуры при турбулентной конвекции приводят к возрастанию вязкости и температуропроводности. Полученные ранее уравнения переноса импульса и энергии остаются справедливыми для усредненных скоростей и температур, в них появляются лишь добавки к коэффициентам вязкости и температуропроводности, учитывающие турбулентность и вычисляемые с привлечением дополнительных полуэмпирических гипотез турбулентности. Область изменения числа Рейнольдса 103 Re 104 характеризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происходит смена ламинарного и турбулентного режимов течения.

144

Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для определения структуры течения вязкого теплоносителя при вынужденной конвекции.

Отношение третьего члена уравнения (5.25) ко второму дает

число Фруда:

характеризующее относительную по сравнению с инерционной силу тяжести.

Из сравнения сил внешнего давления с силами инерции в урав-

получается число Эйлера Eu up2 , характеризующее отношение

перепада давления к удвоенному динамическому напору ( u2 / 2),

т.е. безразмерный перепад давления.

В критериях Рейнольдса, Пекле, Фруда, Эйлера содержится характерная скорость процесса, легко определяемая при вынужденной конвекции. Например, при течении теплоносителя в каналах при заданном перепаде давления эта скорость определяется как отношение объемного секундного расхода теплоносителя к площади поперечного сечения канала. При свободной конвекции выделение характерной скорости затруднительно. Поэтому представляет интерес получение критерия из комбинации полученных критериев, не содержащего характерную скорость процесса. Такая комбинация, составленная из чисел Рейнольдса и Фруда, называется числом Га-

145

жести и вязкого трения.

Умножая полученное число Галилея на другой безразмерный комплекс – относительное изменение плотности вязкой среды, по-

тельную подъемную силу в вязкой среде с неоднородной плотно-

стью. Число Архимеда, например, пропорционально интенсивности разделения смеси двух теплоносителей с разными плотностями в поле сил тяжести (например, смесь воды и масла в смазочноохлаждающей жидкости).

В том случае, когда различие плотностей в однородной среде вызвано температурным полем

циональное относительной подъемной силе, действующей на частицу вязкого теплоносителя в неоднородном температурном поле.

Отношение чисел Пекле и Рейнольдса дает новый безразмерный комплекс – число Прандтля, зависящее только от теплофизиче-

ских свойств среды Pr RePe a . Это число представляет собой от-

ношение кинематической вязкости теплоносителя, пропорциональной толщине динамического пограничного слоя, к температуропроводности, пропорциональной толщине температурного погранично-

го слоя (рис. 5.4). Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и температурного пограничных слоев.

146

Решение. При Тпот= 80оС свойства воды: λпот= 0,675 Вт/(м·К);

νпот= 0,365·10–6 м2/c; β = 6,32·10–4 К–1; Prпот = 2,21; при Тст= 20оС Prст=7,02.

При этих свойствах вычисляем критерии Рейнольдса и Грасгофа:

Из полученных значений делаем вывод о вязкостно-гравитационном режиме течения воды. Применяя формулу (5.26), получаем

Nuпот 0,15Re0,33пот Prпот0,43 Grпот0,1 Prпот Prст 0,25

0,15 21900,33 1, 46 106 0,1 2, 21/ 7,02 0,25 8,56.

Средний коэффициент теплоотдачи

Количество переданной теплоты

Q d l (Tпот Tст ) 724 3,14 0,008 6 (80 20) 6,55 кВт.

Таким образом, участок трубы, в котором течет горячая вода, является источником тепла мощностью 6,55 кВт.

При отсутствии внешней вынуждающей силы теплоноситель может совершать свободное движение, обусловленное, например, разностью плотностей нагретых и холодных его частиц.

Рассмотрим свободный теплообмен в неограниченном пространстве у вертикальной нагретой поверхности (рис. 5.6). Под неограниченным понимается такое пространство, размеры которого много больше толщины погранслоя, при этом тепловые возмущения от нагретого (охлажденного) тела не распространяются на весь объем, на некотором конечном удалении от поверхности тела теплоноситель можно считать невозмущенным.

149