Автоматизация сварочных процессов

С помощью гамильтониана системы могут быть записаны в следующей форме:

Сформулируем принцип максимума: для оптимальных по быстродействию управления u(t) и траектории x(t) необходи-

мо, чтобы для всех t [t1 ,t2 ) функция Η(ψ, x,u) по переменной u(t) достигала максимума.

Пример решения задачи об оптимальном быстродействии [5].

Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси x под действием силы u(t) , на величину которой наложено ограничение.

Согласно этому ограничению область допустимых значений управляющей силы u находится между прямыми u = 1 и u = –1, включая точки, лежащие на этих прямых.

Согласно основному уравнению динамики движение материальной точки вдоль оси x под действием силы u описывается дифференциальным уравнением второго порядка

mx = u .

Введем новую переменную V – скорость движения точки ( м с–1 ), тогда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка

ddxt =V , ddVt =u

при m = 1 кг. Теперь u во втором уравнении имеет размерность H кг−1 = м с−2 , т. е. размерность ускорения.

Переменные x и V являются фазовыми координатами материальной точки. Если ввести обозначение x = x1, V = x2 , то систему уравнений можно записать в форме системы

91

Сформулируем задачу об оптимальном быстродействии: движение материальной точки массой 1 кг описывается системой линейных дифференциальных уравнений (3.14). Найти управление u(t) , обеспечивающее наименьшее значение функ-

ционалу

начало координат фазовой плоскости Ox1 x2 . Гамильтониан (3.12) для системы (3.14) имеет вид

ψ1 =C1 , ψ2 = −C1t +C2 .

Функция H (3.16) линейно зависит от u, следовательно, максимальное значение гамильтониан достигает при наибольших по абсолютной величине значениях u , если ψ2 > 0, то

u =1; если ψ2 < 0 , то u = −1. То есть максимум H по переменной u достигается при ψ2u > 0 . Отсюда получаем функцию управления

92

где signψ2 (сигнум ψ2 , лат. signum – знак) – функция Кронеке-

ра (L. Kronecker), которая определяется разными формулами в зависимости от значений аргумента ψ2 [11]:

signψ2 (t) =1, если ψ2 (t) > 0, signψ2 (t) = −1, если ψ2 (t) < 0 , sign0 = 0 .

Из выражения функции (3.17) следует, что каждое оптимальное управление u(t) , t0 ≤t ≤t1 , является кусочно-

постоянной функцией, принимающей значения ±1 и имеющей не более двух интервалов постоянства [5]. Линейная функция C2 −C1t не более одного раза меняет знак на отрезке времени

t [t0 , t1 ] , чем и определяется количество интервалов постоянства – не более двух. Значения C1,C2 определяются из заданных

граничных условий (3.15’).

Согласно уравнению (3.17) движение материальной точки из произвольного положения x0 (x01 , x02 ) фазовой плоскости

начинается и происходит под действием силы u максимального значения. Если сила положительная – движение ускоренное, если сила отрицательная – движение замедленное. Изменение направления действия силы u при перемещении материальной

точки вдоль прямой из положения x10 с начальной скоростью x02 в точку x11 с конечной скоростью x12 происходит не более одного раза, так как график линейной функции ψ2 (t)– прямая,

пересекающая ось абсцисс, а функция меняет свой знак в точке пересечения. Но изменения направления силы может и не быть, если прямая ψ2 (t) не пересекает ось абсцисс. Таким образом,

после решения задачи (задачи анализа), связанной с определением функции управления u(t) (3.17), необходимо решать еще

следующую задачу, связанную с определением момента време-

93

ни или координаты точки фазовой плоскости, где должно происходить изменение направления действия силы на материаль-

ную точку (задача синтеза).

В качестве обсуждения задачи синтеза рассмотрим частный случай ее решения. Пусть необходимо материальную точку, находящуюся в состоянии покоя, переместить по прямой в другую точку так, чтобы материальная точка в конце движения имела также нулевую скорость. По принципу максимума материальную точку вначале надо быстрее разогнать под действием

t [t0 ,t1 ] надо переключить силу с +1 на – 1 или в какой точке

пути s надо сделать это переключение? Иными словами, необходимо иметь зависимость u(s) , это и есть задача синтеза. За-

дача синтеза является достаточно сложной задачей, в чем можно убедиться, продолжив решение задачи об оптимальном быстродействии [5].

Для отрезка времени, на котором u ≡1, решения уравнений (3.14) имеют вид

u ≡1, представляет собой дугу параболы (3.18). Семейство парабол (3.18) показано на рис. 3.4, а.

Аналогично для отрезка времени, на котором u ≡ −1, имеем

94

Рис. 3.4. Семейство парабол

Семейство парабол (3.19) изображено на рис. 3.4, б. По параболам (3.18) фазовая точка движется снизу вверх, так как со-

Если в начальный момент времени фазовая точка находится на параболе (3.18), не проходящей через начало координат, то

95

фазовая траектория должна состоять из двух участков парабол, пересекающихся в точке M ' фазовой плоскости (рис. 3.5, а), причем второй из этих участков относится к параболе, которая проходит через начало координат (начало координат – конечное положение точки).

Если в начальный момент фазовая точка находится на параболе (3.19), то фазовая кривая состоит из двух дуг парабол, пересекающихся в точке M '' (рис. 3.5, б), и является центрально симметричной предыдущей траектории.

Рис. 3.5. Фазовые траектории оптимального движения

Все семейство траекторий изображено на рис.3.6. Если фазовая точка начинает движение на дугах парабол (3.18) или (3.19), которые проходят через начало координат (см. рис. 3.6, толстые кривые), то она переместится в начало координат без изменения направления силы u : +1 – по дуге АО, – 1 – по дуге ВО.

Если начальное положение фазовой точки расположено ниже АОВ, то движение начинается под действием силы u = +1, которая на дуге ВО скачком переключается на u = −1 в момент времени t' (рис. 3.7, б). Если движение начинается выше АОВ, то сначала фазовая точка движется под действием силы u = −1, а на дуге АО – под действием силы u = +1 (рис. 3.7, в).

96

Рис. 3.6. Семейство оптимальных траекторий

Рис. 3.7. Управление u(t) : а – область допустимых значений; б – при

движении фазовой точки из положения x0 (см. рис. 3.5, а) ниже линии АОВ (см. рис. 3.6); в – при движении фазовой точки из положения x0 (см. рис. 3.5, б) выше линии АОВ (см. рис. 3.6)

Итак, согласно принципу максимума построенные при граничных условиях (3.15’) траектории являются оптимальными, причем из каждой точки фазовой плоскости исходит только одна траектория, ведущая в начало координат. В результате можно записать управление в виде функции фазовых координат:

97

+1 ниже линии АОВ и на дуге АО,

u(x1 , x2 ) = –1 выше линии АОВ и на дуге ВО.

Такое выражение функции управления u(x1 , x2 ) позволяет

синтезировать оптимальное по быстродействию управление в зависимости от фазовых координат: положения и скорости движения точки.

98

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Львов Н.С., Гладков Э.А. Автоматика и автоматизация сварочных процессов. – М.: Машиностроение, 1982. – 302 с.

2.Автоматизация сварочных процессов / под ред. В.К. Лебедева, В.П. Черныша. – Киев: Высш. шк., 1986. – 296 с.

3.Электронно-лучевая сварка / О.К. Назаренко, А.А. Кайдалов, С.Н. Ковбасенко [и др.]; под ред. Б.Е. Патона. – Киев: Наукова думка, 1987. – 256 с.

4.Гладков Э.А. Управление процессами и оборудованием при сварке: учеб. пособие. – М.: Академия, 2006. – 432 с.

5.Короткова Г.М., Моторин К.В. Элементы систем управления машиностроительным оборудованием: учеб. пособие. – 2-е изд., испр. / Тольят. гос. ун-т. – Тольятти, 2008. – 138 с.

6.Цепенев Р.А. Автоматизация сварочных процессов: учеб. пособие / Тольят. техн. ин-т. – Тольятти, 1990. – 105 с.

7.Об оптимальном по быстродействию режиме регулирования термического цикла при нагреве стержня / Н.Н. Рыкалин [и др.] // Физика и химия обработки материалов. – 1976. – № 5. –

С. 19–24.

8.Мелюков В.В., Рыкалин Н.Н., Углов А.А. Об оптимальном управлении температурными полями подвижными концентрированными источниками тепла // Управление распределенными системами с подвижным воздействием.– М.: Наука, 1979. – С. 130– 141.

9.Бернулли И. Избранные сочинения по математике. – М.: ГИТТЛ, 1973. – 100 с.

10.Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле: пер.

слат. (изд. 1744 г.). – М.; Л.: ГИТТЛ, 1934. – 600 с.

11.Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин[и. др.] – 3-е изд.– М.: Наука, 1976. –392 с.

99

12.Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. – М.: Наука, 1965. – 474 с.

13.Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке.– М.: Машгиз, 1951.– 296 с.

14.Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. – М.: Наука, 1986.– 328 с.

15.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.– 424 с.

16.Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 488 с.

17.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1970. – Т. 1. – 608 с.

18.Карслоу У.Теплопроводность твердых тел.– М.: Наука,

1964. – 487 с.

19.Лыков А.В. Теория теплопроводности.– М.: Высш. шк., 1967.– 600 с.

20.Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. – М.: Наука, 1971. – 743 с.

21.Березин И.С. Методы вычислений. Т. 2. – М.: Физматгиз, 1962. – 640 с.

22.Григорьянц А.Г. Основы лазерной обработки материалов. – М.: Машиностроение, 1989. – 300 с.

23.Мелюков Д.В., Григорьянц А.Г. Определение мощности линейного быстродвижущегося источника при нагреве тонкой пластины // Сварочное производство. – 2002. – № 3.

24.Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.– Новосибирск: Изд-во СО АН СССР,

1962. – 92 с.

25.Углов А.А. Автоколебательные процессы при воздействии концентрированных потоков энергии. – М.: Наука, 1987. – 150 с.

100