Приложения определенного интеграла учебно-методическое пособие

УДК 517.38(072.8) М15

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент Ю.Н. Еленский (Пермский государственный национальный исследовательский университет); старший преподаватель Н.В. Рогова (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Макагонова, М.А.

М15 Приложения определенного интеграла : учеб.-метод. пособие / М.А. Макагонова, И.В.Тонкоева. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 33 с.

ISBN 978-5-398-01258-3

Рассмотрено использование определенного интеграла при решении геометрических и физических задач, приведены примеры их решения.

Предназначено для студентов всех направлений подготовки дневного и заочного отделений.

УДК 517.38(072.8)

2

3

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

При решении геометрических задач определенный интеграл используется для определения площадей криволинейных фигур, длины дуги кривой, объема тела, площади поверхности вращения.

1.1.Площадь криволинейной трапеции

1.1.1.Площадь трапеции, ограниченной кривыми, заданными в декартовой системе координат

Пусть на плоскости Оху дана фигура, ограниченная отрезком [a, b] оси Ох, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной и не-

а

Рис. 1

Докажем это. Разобьем произвольно отрезок [a, b] на n частей точками: a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b, выберем на каж-

4

дом частичном отрезке [xi−1, xi ] произвольную точку ti (xi−1 ≤ti ≤ xi )

и рассмотрим ступенчатую фигуру (рис. 1). Площадь S криволинейной трапеции приближенно равна площади этой ступенчатой фигу-

щадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции.

С другой стороны, площадь ступенчатой фигуры является интегральной суммой для интеграла (1). Поскольку функция f ( x) не-

прерывна на [a,b], то предел этой суммы при λ = max{∆xi} →0 су-

1≤i≤n

ществует и равен интегралу от функции f ( x) по [a,b]. Следовательно, и площадь S криволинейной трапеции численно равна

Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f ( x) по [a,b] численно равен площади кри-

волинейной трапеции с основанием [a,b] , ограниченной сверху графиком функции y = f ( x).

Рассмотрим другой случай. Пусть фигура ограничена снизу

Если обе функции неотрицательны, то площадь S данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций y = f2 (x) и y = f1 ( x)

(рис. 2).

5

Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 −2x +2, y = 4x −7 , осью Оу (рис. 5).

Найдем абсциссы точек пересечения прямой

Получим: x =3 ( y =5).

Поскольку ветви параболы направлены вверх, то парабола лежит над прямой на отрезке [0;3]. По формуле (2) находим:

Рис. 5

1.1.2. Площадь трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной в параметрическом виде: x = x(t ), y = y (t ), t [α,β], прямыми x = a,

Получим веерообразную фигуру (см. рис. 7), площадь которой приближенно равна площади S криволинейного сектора:

где ∆ϕi = ϕi −ϕi−1.

С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (4). Поскольку функция ρ2 (ϕ) непрерывна на отрезке [α,β], то предел этой суммы при

λ = max{∆ϕi} →0 существует и равен интегралу (4). Следовательно,

1≤i≤n

и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, а затем к ним применить полученную формулу для нахождения площади.

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, заданной уравнением ρ = аϕ, где

а > 0 (рис. 8). При изменении ϕ от 0 до 2π полярный радиус опи-

9

сывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (4) имеем:

1.2.Длина дуги кривой

1.2.1.Длина дуги кривой, заданной в декартовой системе

координат

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f (x), a ≤ x ≤b, где f (x) – непрерывная функция на отрезке [a,b]. Разо-

бьем кривую АВ на n произвольных частей точками A = M0 , M1, M2 ,..., Mi−1, Mi ,..., Mn = B в направлении от А к В. Соединив соседние точки хордами, получим некоторую вписанную в кривую АВ ломаную, длину которой обозначим через Р (рис. 9). Пусть li – длина одного звена Mi−1Mi ломаной, а µ = max{li}.

Рис. 9

Если существует предел L длин P (L = limµ→0 P) вписанных в кри-

вую ломаных при µ →0, то этот предел называется длиной дуги АВ.

10