Приложения определенного интеграла учебно-методическое пособие

1.4. Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги гладкой кривой y = f (x) между точками x = a и x =b , определяется по формуле

а

В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности Sx находится по формуле, полученной из формулы (15) путем

соответствующей замены переменных.

Пример 12

Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг

=π∫3 (−x2 +2x +3)dx =

3 0

=π − x3 + x2 +3x 3 = π(−9 +9 +9 −0) = 3π. 3 3 3

0

y = a(1−cost ), вокруг ее оси симметрии (рис. 19).

Рис. 19

Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА вокруг прямой АВ, уравнение которой х = πа. Принимая у за независимую переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной оси Оу на расстояние πа, будем иметь:

где ds – дифференциал дуги кривой.

22

2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.1. Работа переменной силы

Из рассмотренных выше задач, связанных с геометрическими приложениями определенного интеграла, следует, что для их решения применяется один и тот же вычислительный метод: приближенное значение искомой величины представляется в виде интеграль-

23

ной суммы, а затем предельным переходом получается точное значение в виде интеграла. С помощью этого же метода решается целый ряд других задач механики, физики и техники. В качестве примера вычислим работу переменной силы.

JG Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину, зависящую от х. Требуется определить работу А, совершаемую силой FG по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки x = a в точку x = b (a < b) . Функция F (x) предполагается непрерывной на отрезке [a,b].

Разобьем произвольно отрезок [a,b] на n частей точками: a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b. Выберем на каждом частичном отрезке [xi−1; xi ] точку ti . Сила, действующая на материальную

точку на отрезке [xi−1; xi ], изменяется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, то значение силы в точках отрезка [xi−1; xi ] мало отличается от ее значения в любой точке ti [xi−1; xi ], такJG как F ( x)

непрерывна. Поэтому работу Ai , совершаемую силой F на отрезке [xi−1; xi ], можно считать приближенно равной работе, совершаемой на этом же отрезке постоянной силой F (ti ) , т.е.

Аi ≈ F (ti ) ∆xi .

Проводя аналогичные рассуждения для каждого отрезка раз-

JG

биения, получаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке:

n

А≈ ∑ F (ti ) ∆xi .

i=1

Сумма в правой части равенства является интегральной суммой для функции F(x). Поскольку функция F ( x) непрерывна на [a,b],

24

2.2. Путь, пройденный точкой

Если точка движется по некоторой кривой и абсолютная величина скорости ее ν = f (t) есть известная функция времени t, то

пройденный точкой за промежуток времени [t1,t2 ] путь

mn. Статическим моментом M x этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек и их ординат:

n

M x =∑mi yi .

i=1

Аналогично (как сумма произведений масс точек и их абсцисс) определяется статический момент системы относительно оси Оу:

n

M y =∑mi хi . i=1

26

Моментами инерции Ix и I y системы относительно осей Ох

и Оу называются суммы произведений масс точек и квадратов их расстояний от соответствующей оси. Таким образом,

За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью (линейной или плоскостной), равной единице.

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y = f ( x), а ≤ х ≤b, вычисляются по формулам:

а

Пример 16

Найти статический момент и момент инерции полуокружности,

rr

=r ∫ dx = rx =r(r +r) = r 2r = 2r2.

ния переменных:

Получим:

а

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам:

где S – площадь криволинейной трапеции.

29