Системный анализ и исследование операций. Теория принятия решений

Заметим, что элементы базисных столбцов вычислять не надо, так как в них только один элемент равен 1, а остальные равны нулю.

В строке оценок полученного нового плана имеется отрицательное значение ∆j , поэтому переходим ко второй итерации с целью

последующего улучшения плана.

Вторая итерация:

Вторая итерация проводится аналогично первой. Результаты представлены в табл. 2.

не может быть найден так же просто, как в рассмотренном примере. В таких случаях начальный план строится с помощью искусственных переменных. Они вводятся в модель после приведения ее к каноническому виду в те условия, которые были неравенствами ≥ или равенствами.

Пример 2 . Найти максимум функции

L = 2 x1 +3 x2 −5 x3

при ограничениях:

2 x1 + x2 − x3 ≥ 7; x1 +2 x2 + x3 ≥ 6; x1 +4 x2 = 8;

xj ≥ 0, j =1,3.

41

Приводим модель к каноническому виду введением дополнительных переменных x4 и x5 в первые два условия. Но они не могут быть базисными, так как при нулевых исходных переменных примут отрицательные значения. Поэтому начальное базисное решение строим на искусственных переменных x6, x7, x8. Такое решение удовлетворяет требованию неотрицательности переменных, но не обеспечивает выполнение условий задачи и, следовательно, является недопустимым.

Чтобы ускорить вывод искусственных переменных из решения (обращение в ноль), введем их в целевую функцию с большим отрицательным коэффициентом М (в задаче минимизации – с положительным М). Окончательно модель примет вид

L′ = L−M x6 −M x7 −M x8 → max

при ограничениях

2 x1 + x2 − x3 − x4 + x6 = 7; x1 +2 x2 + x3 − x5 + x7 = 6; x1 +4 x2 + x8 = 8;

xj ≥ 0, j =1,8.

Начальному решению соответствует начальный базис, включающий векторы A6 A7 A8. Теперь можно заполнить начальную таблицу и провести итерации симплекс-метода аналогично 1-му примеру.

min

Элемент a82 = 4 является направляющим.

Столбцы, соответствующие искусственным переменным, по мере вывода из базиса можно исключать из таблицы (если не требуется проводить двойственный или параметрический анализ).

42

В результате пересчета всех элементов получаем следующую таблицу.

На его основе получаем очередную симплекс-таблицу.

43

В табл. 3 получено допустимое (все искусственные переменные равны нулю), но не оптимальное решение. Поэтому продолжим сим- плекс-преобразования, результаты которых представлены в табл. 4 и 5.

Вэтой таблице нет отрицательных оценок, т.е. выполнен признак оптимальности и итерации завершились.

Примечание. При выполнении признака оптимальности следует проверить решение на наличие искусственных переменных. Если есть хотя бы одна положительная искусственная переменная, значит, получено недопустимое решение, что указывает на неразрешимость задачи из-за противоречивости условий. Если все искусственные переменные обнулились и выполнился признак оптимальности, то получено оптимальное решение.

Внашем случае все искусственные переменные вышли из решения (равны нулю), и, следовательно, получено оптимальное решение:

44

3. ЗАДАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

Цель курсовой работы – закрепление и углубление знаний, полученных студентами в процессе изучения системного анализа и исследования операций, развитие навыков самостоятельной работы при решении конкретных оптимизационных задач, освоение и практическое применение пакета прикладных программ LINDO.

Каждому студенту выдается отдельная задача из класса задач исследования операций. Любая из задач, в конечном итоге, сводится к задаче линейного программирования, целочисленного программирования или квадратичного программирования. Для решения таких задач и предназначен пакет LINDO. В объеме, достаточном для выполнения курсовой работы, этот пакет описан в работе [15]. Получить доступ к пакету можно на кафедре или скачать демо-версию с сайта разработчика www.lindo.com (размерность решаемых задач ограничена). При выполнении курсовой работы обращайтесь к дополнительной литературе.

Конкретные задания и подробные методические указания по выполнению курсовой работы изложены в пособии Гольдштейн А.Л. Методические рекомендации и варианты курсовой работы по дисциплине «Системный анализ и исследование операций» /

ЦНТИ – Пермь, 2006. Пособие можно получить в библиотеке ЭТФ.

4. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ»

1.Основные понятия СА и ИО, особенности ИО.

2.Этапы исследования операций.

3.Этапы системного анализа.

4.Критерий оптимальности: понятие, требования, скалярный

ивекторный критерии, примеры.

5.Виды математических моделей в ИО, примеры.

6.Классы операционных задач: управления запасами, замены оборудования.

45

7.Классы операционных задач: распределительные задачи, задачи выбора маршрута.

8.Классы операционных задач: задачи упорядочения, сетевого планирования.

9.Классы операционных задач, состязательные задачи.

10.Основные положения теории экстремумов.

11.Метод множителей Лагранжа.

12.Динамическое программирование (ДП): принцип оптимальности, функциональное уравнение, процедура ДП.

13.ДП: задача распределения ресурсов.

14.ДП: задача о кратчайшем пути. Достоинства ДП.

15.ДП: задача с мультипликативным критерием.

16.ДП: проблемы многомерных задач.

17.Снижение размерности с помощью множителей Лагранжа.

18.Линейное программирование (ЛП): постановка, пример модели задачи об использовании ресурсов.

19.ЛП: примеры задач (транспортной, планирования работы оборудования).

20.Каноническая форма задачи ЛП и способы приведения к ней.

21.Основные понятия ЛП (допустимое множество, допустимые

иоптимальные решения, разрешимость задач), свойства задач ЛП.

22.Геометрия задач ЛП.

23.Базис и базисные решения, основные идеи методов решения задач ЛП.

24.Определение начального базисного решения в симплекс-

методе.

25.Алгоритм симплекс-метода.

26.Двойственность задач ЛП, построение модели двойственной

задачи.

27.Параметрический анализ задач ЛП.

28.Транспортная задача: модели, построение начального плана перевозок.

29.Решение простейшей транспортной задачи методом потен-

циалов.

46

30.Решение Td-задачи методом потенциалов.

31.Задача о максимальном потоке.

32.Целочисленное программирование: постановка, концепции методов решения.

33.Метод ветвей и границ.

34.Понятие о нелинейном программировании (постановка, классы задач, методы).

35.Прямые методы поиска минимума (покоординатного спуска, Хука – Дживса).

36.Многокритериальные задачи. Постановка, эффективные (паретовские) решения, основные концепции методов решения.

37.Неинтерактивные методы решения многокритериальных за-

дач (методы первой группы).

5. УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ»

В качестве контрольной работы пишется реферат объемом 20–24 страниц. Во вводной части реферата приводится характеристика задачи принятия решений (ЗПР), три варианта постановки ЗПР, классификация задач по структуризованности (см. Ларичев, лекция 1

и3, п. 5). Основная часть реферата посвящается выбранной теме. Главный упор должен быть сделан на методы принятия решений при многих критериях. По тексту обязательны ссылки на источники, включая источники в сети Интернет. В конце реферата приводится список использованных источников. Реферат сдается на проверку

ипри удовлетворительном содержании защищается исполнителем.

Ниже приводится рекомендуемая литература и возможные темы. Знакомство с проблемой и методами принятия решений лучше начать с книги [2]. Это поможет выбрать тему. Приведенные темы сформулированы широко, выбранную тему следует конкретизировать как в части охвата проблемы, так и по области применения. Обязательно включение примеров, иллюстрирующих применение рассматриваемых методов (более ценны собственные примеры, связанные с реальной ситуацией). Недопустимо сплошное копирование статей или рефератов из сети Интернет.

47

Литература к реферату по ТПР

(примерный список)

1.Евланов Л.Г. Теория и практика принятия решений. – М.:

Экономика, 1984. – 175 с.

2.Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Логос, 2002. – 391 с.

3.Ларичев О.И., Мошкович Е.М. Качественные методы принятия решений: Вербальный анализ решений. – М.: Наука, 1996. – 208 с.

4.Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. – СПб.: БХВ-

Петербург, 2005. – 416 с. (гл. 1, 2, 5).

5.Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия реше-

ний. – М.: СИНТЕГ, 1998. – 360 с.

6.Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка переговоров при согласованииуправленческихрешений. – М.: СИНТЕГ, 2003. – 272 с.

7.Петровский А.Б. Теория принятия решений.– М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 400 с.

8.Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: пер.

сангл. – М.: Радио и связь, 1993. – 320 с.

9.Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1991. – 224 с.

10.Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. – М.:

Наука, 1978. – 352 с.

11.Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и мо-

дели. – М.: Мир, 1991. – 463 с.

12.Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике: учебник для вузов. – М.: Финансы

истатистика, 2002. – 364 с.

13.Литвак Б.Г. Экспертные технологии в управлении: учеб. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Дело, 2004. – 399 с.

14.Литвак Б.Г. Разработка управленческого решения: учебник для вузов. – 5-е изд., испр и доп. – М.: Дело, 2004. – 416 с.

48

15.Синюк В.Г., Шевырев А.В. Использование информационноаналитических технологий при принятии управленческих решений: учеб. пособие/ Моск. акад. экономикииправа. – М.: Экзамен, 2003. – 158 с.

16.Спицнадель В.Н. Теория и практика принятия оптимальных решений: учеб. пособие. – СПб.: Бизнес-пресса, 2002. – 394 с.

17.Балдин К.В., Воробьев С.Н. Управленческие решения: теория

итехнологияпринятия: учебникдлявузов. – М.: Проект, 2004. – 300 с.

18.Матвеев Л.А. Компьютерная поддержка решений: учебник для вузов. – СПб.: Специальная литература, 1998. – 472 с.

19.Теория выбора и принятия решений: учеб. пособие для вузов по спец. «Прикладная математика», «Экономическая кибернетика» / И.М. Макаров [и др.] – М.: Наука, 1982. – 327 с.

20.Батищев Д.И., Шапошников Д.Е. Многокритериальный выбор с учетом индивидуальных предпочтений / ИПФ РАН. – Н. Нов-

город, 1994. – 89 с.

21.Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. – М.: Наука, 1981. – 208 с.

22.Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976. – 165 с.

23.Гольдштейн А.Л. Теория принятия решений. Задачи и методы исследования операций и принятия решений: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. – 361 с. гл. 10.

Примерные темы рефератов

1.Метод анализа иерархий.

2.Теория полезности в принятии решений.

3.Вербальный анализ решений.

4.Методы принятия коллективных (групповых) решений.

5.Принятие решений при нечеткой информации.

6.Методы принятия решений по многим критериям (слабоструктуризованные задачи).

7.Методы выбора решений в неструктуризованных задачах.

8.Методы принятия решений в системах поддержки принятия решений.

49