Надежность электрической изоляции
..pdfСтатистически определить P(t) по результатам испытаний можно с помощью следующей формулы:
|
N (t) |
|
n(t) |
|
P(t) |
|
1 |
|
(1.9) |
N (0) |
n(0) |
где N(t) – число исправных объектов в момент времени t, n(t) – число отказавших объектов к моменту времени t.
2) Вероятность безотказной работы объекта в интервале времени от t1 до t2:
P(t ,t |
) |
P(t2 ) |
|
(1.10) |
||
|
||||||
1 |
2 |
|
P(t1) |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
N (t2 ) |
|
||
P(t1 |
,t2 ) |
|
|
(1.11) |
||
N (t1) |
||||||
|
|
|
|
|||
3) Вероятность отказа Q(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t:
|
Q(t) F(t) 1 P(t) |
|
|
(1.12) |
|||||
|
Q(t) |
n(t) |
|
|
|
|
|
(1.13) |
|
|
N (0) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) Вероятность отказа в интервале времени от t1 до t2: |
|
||||||||
|
Q(t1,t2 ) 1 P(t1,t2 ) |
|
|
(1.14) |
|||||
|
|
n(t2 ) n(t1) |
|
|
N (t2 ) |
|
|||
Q(t1 |
,t2 ) |
|
|
|
1 |
|
|
|
(1.15) |
|
N (t1) |
|
N (t1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
5) Плотность распределения отказов f(t) определяет вероятность воз-
никновения отказа в момент времени t: |
|
|
|
|
||||
f (t) |
dF(t) |
|
dQ(t) |
|
d |
P(t) |
(1.16) |
|
dt |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||||
11
Статистическая оценка f (t) производится за интервал времени как функция f(t) является дифференциальной:
f (t t) n(t t) n(t) N (t) N (t t)
N (0) t
t, так
(1.17)
f (t) можно рассматривать как среднее число отказов в единицу време-
ни непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент из всех объектов, поставленных на испытания.
В связи с этим f(t) на практике обычно называют частотой отказов.
6) Интенсивность отказов λ(t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t с учетом числа объектов, работоспособных к моменту времени t:
(t) |
|
|
1 |
|
|
|
d |
F(t) |
f (t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
P(t) |
|
|
|||||
|
F(t) dt |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n(t t) n(t) |
|
||||
(t t) |
|
|
|
|||||||||
N (t) N (t t) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1.18)
(1.19)
(t) можно рассматривать как среднее число отказов в единицу време-
ни непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент, из всех объектов, продолжающих работать к этому моменту t. Отсюда видно, что λ(t) характеризует надежность объекта в момент t более полно, чем f(t), этим и объясняется более широкое применение на практике этого показателя.
Если известна плотность вероятности отказов, то нетрудно определить вероятность отказов или вероятность безотказной работы:
|
|
P( ) 1 f ( )d |
(1.20) |
0 |
|
|
|
Q( ) f ( )d |
(1.21) |
0 |
|
Если известна λ(τ), то
12
|
|
( )d |
(1.22) |
P( ) e 0 |
|
|
|
( )d |
(1.23) |
Q( ) 1 e 0 |
|
|
|
( )d |
(1.24) |
f ( ) ( )e 0 |
7) Среднее время наработки на отказ T определяется как математиче-
ское ожидание времени до отказа:
|
|
|
|
|
T tf (t)dt P(t)dt |
(1.24) |
|||
|
0 |
0 |
|
|
T |
1 |
N (0)Ti |
(1.25) |
|
|
N (0) |
|||
|
|
i 1 |
|
|
8) Дисперсия наработки до отказа Dt. Средняя наработка до отказа является точечной оценкой и не говорит ничего о характере распределения времени до отказа. Две совершенно различные функции P1(t) и P2(t) (рис. 1) могут характеризоваться одинаковыми значениями средней наработки на отказ
P
P2(t)
P1(t)
t
Рис. 1. Пример различной дисперсии
T1=T2. Чтобы различать такие случаи наряду с показателем T, используется показатель Dt – дисперсия наработки до отказа или его корень квадратный σt – среднеквадратическое отклонение наработки до отказа:
13
|
|
Dt t2 (t T ) f (t)dt |
(1.26) |
0 |
|
Дисперсия характеризует величину разброса наработки относительно среднего значения:
|
1 |
N (0) |
|
|
(Ti T ) |
2 |
|
||
Dt |
|
|
(1.27) |
|
N (0) |
|
|||
|
i 0 |
|
|
Где Ti – время до отказа i-го объекта.
1.2.3. Законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности
Использовать надежностные характеристики объекта, заданные в виде таблицы весьма неудобно. Поэтому по результатам эксперимента подбирают аналитическую формулу, которая наиболее удачно подходит в данном случае, и определяют коэффициенты этой формулы. Наиболее типичные формулы называются законами распределения случайных величин. Рассмотрим наиболее распространенные законы.
Показательное (экспоненциальное) распределение.
Показательное распределение характерно тем, что интенсивность отказов постоянна const . Отсюда
P(t) e t |
(1.28) |
Q(t) 1 e t |
(1.29) |
f (t) e t |
(1.30) |
Примерный вид соответствующих кривых показан на рис. 2.
14
P, f, λ
λ(t)
f(t)
P(t) t
Рис. 2. Примерный вид кривых при экспоненциальном распределении
Показательное распределение применяется на практике очень широко.
Усеченное нормальное распределение.
При нормальном (гауссовом) распределении случайной величины ось абсцисс имеет протяженность от -∞ до +∞. Поскольку время t не может быть отрицательной величиной, в теории надежности используется усеченное нормальное распределение.
Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины.
Основными параметрами для нормального распределения являются T – среднее значение наработки на отказ и σt – среднеквадратическое отклонение.
t T |
(1.31) |
||
P(t) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где Φ(u) – нормированная функция нормального распределения.
|
|
|
(1.32) |
f (t) t T |
|
||
|
t |
|
|
Значения Φ(u) и θ(u) определяются из справочника. Примерный вид соответствующих кривых представлен на рис. 3.
15
P, f, λ
λ(t)
P(t)
f(t)
t
Рис. 3. Примерный вид кривых при усеченном нормальном распределении
Нормальное распределение может использоваться при исследовании надежности объектов, отказы которых обусловлены действием какого-то одного доминирующего фактора.
Распределение Вейбулла
Основными параметрами распределения Вейбулла являются λ0 - масштаб кривой по оси абсцисс и α – острота и асимметрия распределения. Обычно берут 1≤α≤2.
P(t) e ( 0t ) |
|
(1.33) |
||
F(t) Q(t) 1 e ( 0t ) |
(1.34) |
|||
f (t) t 1e ( 0t ) |
(1.35) |
|||
0 |
|
|
|
|
(t) |
f (t) |
t 1 |
(1.36) |
|
|
||||
|
P(t) |
0 |
|
|
|
|
|
||
При α = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное. Примерный вид соответствующих кривых дан на рис. 4.
P |
|
f |
α<1 |
λ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α>1 |
|
α>1 |
|
|
α>1 |
|
α=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
α=1 |
|
|
α=1 |
|
α<1 |
|
α<1 |
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
Рис.4. Примерный вид кривых при распределении Вейбулла
16
Гамма-распределение.
Гамма-распределение имеет те же параметры, что и распределение Вейбулла, α и λ0. Форма кривых P(t), f(t) и λ(t) также аналогична форме кривых при распределении Вейбулла.
f (t) |
t 1 |
e |
t |
(1.37) |
0 |
|
|||
( ) |
|
|||
|
|
|
|
Γ(α) – гамма-функция, для которой имеются соответствующие таблицы. Однако гамма-распределение чаще всего описывает распределение времени безотказной работы резервированных изделий, при этом параметр α равен суммарному количеству объектов, поэтому чаще всего α – целое число. При целом α:
( ) ( 1)! |
(1.38) |
Тогда
P(t) e |
t |
1 |
( t)i |
(1.39) |
||
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
i 0 |
i! |
|
|
(t) |
|
t 1 |
(1.40) |
|||
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( t)i |
|
|
( 1)! |
0 |
|
|||
|
|
|
|
i 0 |
i! |
|
При α = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное, а при больших α – в нормальное.
1.2.4. Надежность систем при основном и параллельном соединении элементов
Сложные системы и объекты состоят из множества соединенных между собой элементов. В зависимости от характера влияния надежности элементов на надежность системы или объекта различают два типа соединений элементов: основное (последовательное) и параллельное.
Под основным соединением понимают такое, при котором отказ любого элемента приводит к отказу системы в целом. Основное соединение
17
имеет место в тех случаях, когда в системе все элементы функционально необходимы (т.е. отсутствуют избыточные элементы).
Под параллельным соединением элементов понимают такое, при котором отказ системы наступает только при отказе всех его элементов (т.е. отказ не наступает, если работоспособен хотя бы один элемент).
Основное соединение элементов.
Пусть система, надежность которой исследуется, состоит из N элементов, имеющих следующие характеристики надежности: P1(t)…PN(t);
Q1(t)…QN(t); λ1(t)…λN(t); T1…TN.
Соответствующие характеристики системы обозначим P(t), Q(t), λ(t), T. В случае основного соединения справедливы следующие зависимости:
|
N |
|
||
P(t) Pi (t) |
(1.41) |
|||
|
i 1 |
|
||
|
|
N |
|
|
Q(t) 1 (1-Qi (t)) |
(1.42) |
|||
|
|
i 1 |
|
|
|
N |
|
||
(t) i (t) |
(1.43) |
|||
|
i 1 |
|
||
T |
1 |
|
(1.44) |
|
(t) |
||||
|
|
|||
Параллельное соединение элементов.
Поскольку к отказу системы при параллельном соединении элементов приводит отказ только всех ее элементов, то:
N |
|
Q(t) Qi (t) |
(1.45) |
i 1 |
|
N |
|
P(t)=1- (1 Pi (t)) |
(1.46) |
i 1
18
1.3. Надежность нерезервированных систем без восстановления
При исследовании надежности элементов и систем возможны два пути:
1)Графики интенсивности отказов λ(t) или плотности распределения времени безотказной работы f(t) строятся точно по экспериментальным данным, а не подгоняются под теоретические законы распределения.
2)Имеющееся в действительности распределение аппроксимируется одним из теоретических распределений. При этом статистическая информация свертывается и представляется в компактном виде.
В вероятностных методах исследования используются в основном теоретические законы распределения. После того, как выбран закон распределения, вычисляются лишь немногие числовые характеристики данного распределения. В общем случае целесообразность использования экспериментального или теоретического распределения определяется характером решаемой задачи.
1.3.1.Использование λ и λ-характеристик для решения практиче-
ских задач.
Изменение интенсивности отказа элемента в зависимости от времени его работы можно разбить на 3 периода (рис. 5):
1) "Детство" элемента. В этот период происходит значительное количество отказа. Отказы определяются производственными причинами – нарушением технологии при изготовлении данного элемента и т.д. Отказывают наиболее слабые элементы со скрытыми дефектами.
λ |
a b |
c |
|
|
|
3 t |
|
1 |
2 |
|||
|
Рис. 5. Изменение интенсивности отказа от времени
2)"Зрелость" элемента. Количество отказов уменьшается, отказы носят случайный характер. Интенсивность отказов практически постоянная.
3)"Старость" элемента. Интенсивность отказов растет за счет износа,
идальнейшая эксплуатация системы без замены элементов становится нерациональной.
19
λ-характеристики системы иногда имеют и другой вид (рис. 6)
λ |
λ |
t1 |
t2 |
t |
t |
Рис. 6. Различный вид λ-характеристик системы
На λ-характеристике может появиться "горб" – резкое увеличение интенсивности отказов в период от t1 до t2, как следствие суммирования λ- характеристик элементов системы.
На λ-характеристике может появиться несколько "горбов".
На разрабатываемую аппаратуру желательно задавать предельную интенсивность отказов λпр.
На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:
1)Системы, предназначенные для длительной работы без тренировки, желательно составлять из разнородных элементов, так как при сложении λ-характеристик однородных элементов может получиться "горб".
2)Системы, предназначенные для работы с предварительной тренировкой, желательно составлять из однородных элементов.
3)Замена элементов системы при падающей интенсивности отказов ведет к увеличению интенсивности отказов системы.
4)В качестве закона распределения можно выбирать экспоненциальный закон (с постоянной интенсивностью отказов), если экспериментальные данные резко ему не противоречат.
1.4.Расчет надежности невосстанавливаемых систем с резервиро-
ванием
1.4.1. Пути повышения надежности
Мероприятия по повышению надежности могут и должны производиться на всех этапах жизни системы при проектировании, производстве и эксплуатации.
Основные меры для повышения надежности должны приниматься на этапе проектирования. Выгоднее направить усилия на создание надежных
20