Пример решения задачи

Дано: ; Вт/м³; . ₁ = 0,02 м; ₂ = 0,03 м; ₃ =0,05 м;

₁ = 80 Вт/мК; ₂ = 15 Вт/мК; ₃ = 3 Вт/мК.

Граничные условия 1-го рода: ; .

Решение. Дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для одномерной задачи при постоянных теплофизических свойствах имеет вид: ; решение этого уравнения находится непосредственным интегрированием. Общие интегралы этого уравнения: для 1-го слоя стенки ; для 2-го слоя ; для 3-го слоя .

Примечание. В интеграле дифференциального уравнения для слоя с внутренним тепловыделением выражение является одним из частных решений и поэтому имеет размерность [К].

Заданные граничные условия и граничные условия 4-го рода приводят к уравнениям:

; ; ; ; ;

.

После подстановки исходных данных получим систему линейных уравнений:

;

Данная система уравнений в матричной форме представлена таблицей 3. Решение системы: C₁ = 3359,471; C₂ = 600; C₃ = 364717,2; C₄ = 111284,8; C₅ =  13914,1; C₆ = 1591,41.

Уравнения температурных полей. !-й слой:

2-й слой: 3-й слой: .

Исследование температурного поля 2-го слоя на максимум:

С.

Плотности теплового потока в соответствии с уравнением (3). 1-й слой: 2-й слой: ; 3-й слой: .

Значения температур и плотностей теплового потока в зависимости от координаты x представлены таблицей 4. По данным этой таблицы следует построить графики и .

При подготовке к защите задания использовать конспект лекций, рекомендованную литературу и данные методические указания.

Контрольные вопросы

1. При каком условии сплошная среда называется однородной?

2. При каком условии среда называется изотропной?

3. Каким процессом осуществляется распространение теплоты в твердом теле?

4. Что называется температурным полем тела?

5. Что называется изотермической поверхностью?

6. Что называется градиентом температуры? Как направлен вектор градиента? Назовите единицу измерения этой величины.

7. Что называется тепловым потоком и плотностью теплового потока? Назовите единицы измерения этих величин.

8. Напишите уравнение Фурье и объясните наличие минуса в этом уравнении.

9. Что называется коэффициентом теплопроводности? Назовите единицу измерения этой величины. Каков порядок коэффициентов теплопроводности металлов, теплоизоляционных материалов, газов и жидкостей?

10. Выведите дифференциальное уравнение теплопроводности.

11. Напишите дифференциальное уравнение стационарной теплопроводности для трехмерной задачи а) в прямоугольной системе координат, б) в цилиндрических координатах , в) в сферических координах.

12. Что называется коэффициентом температуропроводности? В чем заключается его физический смысл? Назовите единицу измерения этой величины.

13. Сформулируйте условия единственности решения дифференциального уравнения теплопроводности в случаях а) нестационарного и б) стационарного процессов.

14. Какая величина называется коэффициентом теплоотдачи?

Литература.

1. Теория тепломассообмена./ Под ред. А.И. Леонтьева. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997.  683 с. (с. 5 – 19).

2. Задачник по технической термодинамике и теории тепломассообмена./ Под ред. В.И. Крутова и Г.Б. Петражицкого.  М.: Высшая школа, 1986.  383 с. (с. 318 – 320).