5.2.2. Интегральная теория пограничного слоя

Консервативные законы трения, тепло- и массообмена, полученные для стандартных условий безградиентного несжимаемого течения на не­проницаемой гладкой некаталитической пластине, можно распростра­нять на более сложные условия (течение с градиентом давления, прони­цаемость стенки, сжимаемость, неизотермичность, шероховатость и каталитичность стенки и др.) с помощью поправок к законам переноса [15].

Интегрированием по толщине уравнений пограничного слоя получе­ны обыкновенные дифференциальные уравнения стационарного переноса импульса, энергии и массы при отсутствии химических реакций:

;

;

(5.3)

.

в системе (5.3) - относительный закон трения приRe**=idem; - относительный закон теплообмена приRe**=idem; - относительный закон диффузии приRe**=idem:

; ;

; ;

;

; ;;

; ;

L— характерный размер.

Законы трения и тепломассообмена установлены по эксперимен­тальным данным для эталонных условий несжимаемого обтекания непроницаемой гладкой пластины. Закон трения аппроксимирован степенной зависимостью

.

Для Re_x=5,5•10⁵...1•10⁷ В=0,0256, т=0,25. Законы тепло­массообмена выражены по аналогии Рейнольдса

;

(5.4)

,

и при Re_x=5•10⁵...1•10⁷ В=0,0128, т=0,25

При моделировании переноса в сжимаемом неизотермическом тур­булентном пограничном слое с положительным градиентом давления на проницаемой гладкой поверхности применен принцип суперпозиции к возмущающим факторам, и относительный закон переноса определен в виде[15]

,

где — поправка на неизотермичность; _м — поправка на сжимае­мость; — поправка на положительный градиент давления; — поправка на вдув.

Такое определение относительного закона вытекает из принятой Однослойной модели турбулентного пограничного слоя при вырож­дающемся ламинарном подслое с ростом числа Рейнольдса.

Модель С.С. Кутателадзе — А.И. Леонтьева. Для расчетов конвектив­ного теплообмена на гладкой проницаемой поверхности сопла РДТТ из (5.3) и (5.4) вытекают зависимости:

плотность теплового потока в сечениях

q_w(s) = St_eU_eH;

число Стантона в расчетном сечении

;

число Рейнольдса по толщине потери энергии

,

где — координата перехода ламинарного пограничного слоя в турбу­лентный;

относительный закон теплообмена

;

поправка на неизотермичность пограничного слоя

; ;

поправка на сжимаемость

$

поправка на вдув однородного газа

;

критическое значение параметра вдува

.

Модели на основе интегральной теории обладают существенным преимуществом по сравнению с критериальными формулами, так как поправки на возмущающие факторы введены в уравнение переноса, а не для коррекции рассчитанных значений коэффициентов теплообмена.

Учет шероховатости обтекаемой поверхности в моделях на основе интегральной теории выполняют введением эмпирических поправок

и .Многообразие форм, размеров и способов расположения элементов шероховатости не позволяет создать универсальную модель переноса для любой шеро­ховатой стенки.

Режим без проявления шероховатости отвечает значениям Re=<5 [24], и коэффициент трения есть обычная функция числа Рейнольдса Re_x. При 5<Re<70 реализуется переходный режим, и коэффициент трения зависит от Re_x и отношения значения к толщине ламинарного подслоя _Л. Режим полного проявления шерохова­тости наступает при Re>70, коэффициент трения уже не зависит от Re, а определяется значением элементы шероховатости пол­ностью выступают из ламинарного подслоя.

В работе Дирлинга предложены зависимости для вычисления эквивалентной величины

; ;

(5.5)

; ,

где; ;s — расстояние между вершинами соседних элементов шероховатости высотой к; F_s — площадь наветренной поверх­ности элементов; F_p — площадь поперечного сечения элемента.

Расчеты по (5.5) хорошо подтверждаются опытными данными для различных форм и значений параметров шероховатости, что показано на рис. 5.4.

Эквивалентную высоту k_s целесообразно определять эксперимен­тально (путем измерений потерь давления или профилей скорости на образцах материалов с натурной шероховатостью).

Характерным для РДТТ является одновременное действие двух противоположных факторов: вдува газа в пограничный слой и шерохо­ватости поверхности.

Установлено, что вдув уменьшает число Стантона так же, как и на гладкой поверхности*; в этих опытах при наличии и отсутствии вдува режим полного проявления шероховатости наступал при Re>14. В экспериментах по теплообмену на проницаемой поверхности с песочной шероховатостью k_s=0,4 мм установлено, что шероховатость не влияет на теплообмен при В_Т>4, а при В_Т0 происходит увеличение теплообмена примерно в два раза по сравнению с гладкой поверхностью (по данным В.П. Мугалева).

Учитывая невысокие значения В_Т по тракту РДТТ, для практических расчетов следует принять независимость действия друг от друга шеро­ховатости и вдува.

Шероховатость в относительных законах трения и теплообмена можно учесть только через распределение скорости в пограничном слое как наиболее изученного параметра (данные по профилям темпе­ратуры на шероховатой поверхности практически отсутствуют). Поправ­ку в законе трения определяют профили скорости, а вследствие более слабого влияния шероховатости на теплообмен по данным Г.Ф. Сивых можно принять .

В общем случае определение профилей скорости в пограничном слое сопла с гладкой или шероховатой стенкой требует более сложной модели, чем модель асимптотически вырождающегося ламинарного подслоя, ввиду падения плотности газа по мере приближения к срезу сопла.

Динамическая функция шероховатости на режиме к=Re>70 имеет вид

и не зависит от массообмена на стенке. Из уравнения профиля скорости [15]

,

где ;- распределение плотности при вдуве однородного газа;Н=H_w /Н_е; Н*=1+М;Н=Н-Н*; k — константа в модели пути смешения, следует выражение для поправки на шероховатость в законе трения

,

_________________

*Моффет, Хилзер, Кейс. Экспериментальное исследование теплообмена в турбулентном пограничном слое на шероховатой поверхности при наличии вдува / Теплопередача, 1978, № 1. С. 145-155.

где ;;;_r - толщины пограничных слоев на гладкой и шероховатой стенке. Значение константы соответст­вует дефекту скорости в пограничном слое на гладкой поверхности, согласно Г. Шлихтингу =5,5.

Рис 5.4. Эквивалентная песочная шеро­ховатость (значки - данные разных авторов)

Реализация такой модели теплообмена на шероховатой поверхности требует решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с итерационным циклом вычислений: сначала ина гладкой стенке,потом значения Re и установление режима проявления шероховатости (при Rе_к<70 приняты =1), затем, и Фопределение_r, затем значения сна шероховатой стенке, потом новых значений и т.д. Процесс заканчивается при достижении заданного значения.

В интегральных теориях пограничного слоя используют аналогии между переносом импульса, тепла и массы

, (5.6)

и (5.6) строго выполняется при безградиентном обтекании нереагирующим газом некаталитической стенки при Pr=Sc=Le=1. В интеграль­ных теориях аналогию Рейнольдса модифицируют введением коэффи­циента аналогии s:

Для трехслойной схемы пограничного слоя (ламинарный подслой, буферная зона и область развитой турбулентности) выражение для рас­чета коэффициента аналогии примет вид

.