Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями (110

дуп=-й—=~е-

(5)

с.

5

По определению

AU23= c vv(T3- T 2).

(6)

Для нахождения

AU23 по этой формуле

воспользуемся тем, что известна

А23. Ее можно выразить как площадь под прямой 2 - 3 .

А , = \ ( Л + Р

Ж - У

, )

= \ р г Г г

Ръ_ "Ь1

- 1

(7)

Запишем уравнения состояний 2 и 3.

Рг

^ 2

Рг V2 = VRT2,

р 3V3 =vRT3.

(8)

Ръ

К

Учитывая, что —

= — найдем

Рг

V2

P b __Y ±

(9)

Рг

К

Равенства (7), (8), (9) дают

^23 —--4 ~

1

i

^2)•

( 10)

2

5.8.

Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.8. В изобарическом

процессе 1—>-2

газ

совершает работу А12. В процессе

2—>3 над газом

совершается работа

Л23 (А?3 > 0 ) . Найти работу газа в адиабатическом

процессе A3J.

Ответ: А31

ЗА23.

5 .9.

Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.9. При расширении в

адиабатическом процессе 2—<•3 газом совершается работа

А . При сжатии в

изотермическом

процессе от него отводится теплота Q

(Q > 0). Какую

6 .1. Сосуд разделен на две

части поршнем, который может

перемещаться без трения. В левой части сосуда

содержится

моль

одноатомного идеального

х а-|

газа, в правой вакуум и

сжатая пружина,

которая в свободном состоянии имеет длину,

равную длине сосуда (рис. 6.1). Определить

теплоемкость

системы,

считая,

что

Рис. 6.1

теплопроводностью и теплоемкостью

сосуда,

поршня и пружины можно пренебречь.

Решение

По определению теплоемкость равна

с = 0 _

( 1)

АТ

Q = AU + A,

(2)

3

одноатомного

газа. Работа газа равна

изменению

AU = — RAT —для

2

потенциальной энергии пружины, то есть

кх2

Л

Условие равновесия поршня

2

PS = \Fynp\.

Отсюда

кх

С другой стороны

V = xS. Тогда pV = кх2 = RT —по

уравнению

Менделеева-Клапейрона. Следовательно

he2 кх7

1

А = - 22- ^ 2- = -2R A T .

(3)

Используя равенства (1), (2) и (3), находим

c = -0 - = 2R.

АТ

Ответ: с = 2R.

зависит

от

ее сжатия

(растяжения)

х

по

формуле

\рупр|= к*а,

а = const'll.

6.3.

Моль гелия сжимают в процессе с

постоянным давлением 1-2 (рис. 6.3) так,что

Г ,= 8 Г 2 . Затем газ расширяется в процессе

2-3 с постоянной

теплоемкостью

до

первоначального

объема.

Найти

эту

теплоемкость,

если

конечная

температура

Т

газа

Т3 = — , а отношение модулей работ

16

14

при сжатии и расширении равно

3 '

Дано:

Решение

т

По определению работы

~ т2>=IRT2.

И»1 ■=л (И - угу= а д

(1)

т3=—

Согласно первому закону термодинамики

3

16

А23 = Q23 —AU23 = (с —Су)(Т3 —Т2)~

^12 _14

А23

3

1

СУ^2 •

(2)

г= 3

—2 (cv

По условию

V = 1

Г, 4,

К,

14

■^23

3 ‘

Дано:

Решение

По определению

pV 2 = const

с =

v = 1моль

( 1)

AT ,с - ?

АТ

По первому закону термодинамики

(2)

Q = AU + A,

AU = cyAT.

Для нахождения с надо работу выразить через разность температур. Если

изменение объема невелико, то

(3)

A = pAV.

С другой уравнение состояние одного моля идеального газа

и условие

pV = RT,

(4)

совместно дают:

pV2 = const

(5)

(6)

RTV = const

или

RTAV + RVAT = 0.

Отсюда

AV = - — AT.

(7)

Тогда:

Т

А = - ^ - А Т

= -RAT,

Q = (cv -R)AT,

Т

ср = —R,

с = су - R = - R - R = - .

2

2

Ответ: 1) В соответствии с формулой (7) газ охлаждается.

2) с = —.

2

6 .5.

Найдите величину теплоемкости и работу,

которую соверша

моль гелия в

процессе

p 2V = const. Известны начальная и

конечная

температуры Г,

и Т2.

Тд

Pi

Ръ

f t

71

Рх

Рх

(8)

V

3 _

5 „

Так как cv = —К, С п= — л , то (6) дает

к

2

р 2

P j 1

2

^

3

Pi 12

3

4

аР0

3Ро

2Ро

1

5

ро —_ —

1

1

Ро

L

6

0

7 _____ —fe-

0

V0

pV0 v

V0

2V0

3V0 3

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Р* 1

7.3.

Найти отношение КПД циклов 1 - 2

3 - 4 — 5 и 3 — 4 -

5 — 6 -

7, изображенных на рис.

7.3.

д,

9

Ответ: —

= — ,

О

Л2

11

---------------------------- ►

7 .4. КПД тепловой машины, цикл которой

Рис 7 4

V

изображен

на рис. 7.4

и состоит

из изотермы,

изобары и

адиабаты,

равен Д

КПД второй

газа U . Сорт газа считать известным.

Дано:

Решение

л*

поэтому запишем выражение для КПД цикла в виде

а

Q\i +бгз + Q31

и , i

Л :

2i

0 )

Л,2~?

Е йтопученпых

Qn

Далее имеем

623 = v c p (^3 ~ ^2)~Vcp(^3 —^г)-

Q\2 ~ А и ,

(2)

Подставляя все в (1) получим

Ахг +vcp(T3—7j)

Л =

А,12

(3)

Отсюда

(

«у/,

1 - -

(4)

VC,T'

А\2 —

1-Г)

1—Т)

С другой стороны КПД машины Карно равен

Л*

тх-тг

1 -^-

(5)

=

Для нахождения 7J запишем выражение для внутренней энергий газа

U = VCvTx.

(6)

i + 2

(6) находим ответ

Учитывая, что Ср

: cv из (4) -

1

7 .6.

Цикл,

совершаемый молем одноатомного идеального газа,

состоит из изотермы, изобары, изохоры. Изотермический процесс

происходит при максимальной температуре цикла Т =400^Г. В пределах

цикла а = Vmsx /Vmm =

2 . Вычислить работу газа за цикл и КПД цикла.

(

\

8.1.

В

сосуде объемом

F, = 3 1л находится

воздух, вода и

насыщенный

пар.

Температура

в

сосуде

Т = 373К,

давление

Р\ — 2,5 •105Па. При постоянной температуре объем сосуда уменьшают,

пока давление не станет равным р 2 = 4,0 •105Па. Определить массу воды

в сосуде в конце опыта, если общее количество воды и пара 22 г.

Дано:

Решение

Будем пренебрегать объемом воды в сосуде по

сравнению с его объемом. Поскольку температура

постоянна и равна

100°С , то давление пара всегда

одинаково и равно

р и —105 Па. Поэтому в конце

опыта можем записать

р Л

/и,

о)

=—

V?

Рп

Объем

в конце

опыта можем

найти из

закона Бойля-Мариотта для воздуха:

PeiK=Pe2^:2.

Рв2 = Р\

Рн’

Ре2 =Р2 ~Рн>

у

„ у

(Р\ ~Ри)

(2)

' (Р2~Рн)

Тогда масса паров в воздухе в конце опыта

ж - Р »(Р ' - P H) V№n

(3)

2

RT(p2 - р п)

Масса воды в сосуде

m = m0 - m2 = mi

P,XPi ~Ри)У^п

(22—9)-10"3 =13-10 '3(кг)

RT(P 2 - P I!)