Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями (110

..pdf
Скачиваний:
114
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
1.05 Mб
Скачать

Так как Qn ~Q ( Q > 0) по условию, то

дуп=-й—=~е-

 

(5)

 

 

 

с.

5

 

 

 

По определению

 

 

 

 

 

 

 

 

AU23= c vv(T3- T 2).

 

(6)

Для нахождения

AU23 по этой формуле

воспользуемся тем, что известна

А23. Ее можно выразить как площадь под прямой 2 - 3 .

 

А , = \ ( Л + Р

Ж - У

, )

= \ р г Г г

Ръ_ 1

- 1

(7)

Запишем уравнения состояний 2 и 3.

Рг

^ 2

 

 

 

 

 

Рг V2 = VRT2,

 

 

р 3V3 =vRT3.

(8)

Ръ

К

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что —

= — найдем

 

 

 

 

Рг

V2

 

 

 

 

 

 

 

P b __Y ±

 

 

 

 

(9)

 

Рг

К

 

 

 

 

 

Равенства (7), (8), (9) дают

 

 

 

 

 

 

^23 --4 ~

1

i

^2)•

 

( 10)

2

 

Теперь, объединяя (6) и (10),находим

AU23 = 3А.

Ответ: А31 = ЗА —— Q.

20

5.8.

Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.8. В изобарическом

процессе 1—>-2

газ

совершает работу А12. В процессе

2—>3 над газом

совершается работа

Л23 (А?3 > 0 ) . Найти работу газа в адиабатическом

процессе A3J.

 

 

 

Ответ: А31

ЗА23.

 

5 .9.

Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.9. При расширении в

адиабатическом процессе 2—<•3 газом совершается работа

А . При сжатии в

изотермическом

процессе от него отводится теплота Q

(Q > 0). Какую

работу совершает газ за весь цикл 1 - 2 - 3 - 1 ?

Ответ: А0 = А Q .

5.10. Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль переводится из начального состояния с температурой 300 К в состояние, в котором его температура увеличилась в три раза, а объем уменьшился в два раза. Найдите подведенное к газу количество теплоты. Известно, что из врех -путей перевода газа из начального состояния в конечное, на которых давление не падает ниже начального, был выбран путь, соответствующий минимальной работе.

Ответ: Q = 6225 Дж.

5 .11 . Идеальный двухатомный газ в количестве 1 моль переводится из начального состояния с температурой 30Q К в . состояние, в котором его температура уменьшилась в три раза, а объем увеличился в два раза. Найдите подведенное к газу количество теплоты. Известно, что из всех путей' перевода газа из начального состояния в конечное, на которых давление не падает ниже начального, был выбран путь, соответствующий максимальной работе.

Ответ: Q = 1690 Дж.

21

6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ

6 .1. Сосуд разделен на две

части поршнем, который может

 

перемещаться без трения. В левой части сосуда

 

содержится

моль

одноатомного идеального

х а-|

газа, в правой вакуум и

сжатая пружина,

 

которая в свободном состоянии имеет длину,

 

равную длине сосуда (рис. 6.1). Определить

 

теплоемкость

системы,

считая,

что

Рис. 6.1

теплопроводностью и теплоемкостью

сосуда,

поршня и пружины можно пренебречь.

 

 

Решение

 

По определению теплоемкость равна

 

 

с = 0 _

( 1)

 

АТ

 

Q переданное газу количество тепла, AT*—изменение его температуры. Согласно первому началу термодинамики имеем

 

Q = AU + A,

(2)

3

одноатомного

газа. Работа газа равна

изменению

AU = — RAT для

2

 

 

 

потенциальной энергии пружины, то есть

 

 

кх2

Л

 

Условие равновесия поршня

2

 

 

 

 

PS = \Fynp\.

 

Отсюда

 

 

 

 

кх

 

 

С другой стороны

V = xS. Тогда pV = кх2 = RT по

уравнению

Менделеева-Клапейрона. Следовательно

 

 

he2 кх7

1

 

А = - 22- ^ 2- = -2R A T .

(3)

 

Используя равенства (1), (2) и (3), находим

 

c = -0 - = 2R.

 

АТ

 

Ответ: с = 2R.

 

22

6.2.Решите задачу 6.1. при условии, что сила упругости пружины

зависит

от

ее сжатия

(растяжения)

х

по

формуле

\рупр|= к*а,

а = const'll.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3.

Моль гелия сжимают в процессе с

 

 

 

 

постоянным давлением 1-2 (рис. 6.3) так,что

 

 

 

 

Г ,= 8 Г 2 . Затем газ расширяется в процессе

 

 

 

 

2-3 с постоянной

теплоемкостью

до

 

 

 

 

первоначального

объема.

Найти

эту

 

 

 

 

теплоемкость,

если

конечная

температура

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

газа

 

 

 

 

Т3 = — , а отношение модулей работ

 

 

 

 

16

 

 

 

14

 

 

 

 

 

при сжатии и расширении равно

 

 

 

 

 

3 '

 

Дано:

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

т

По определению работы

~ т2>=IRT2.

 

 

 

И»1 ■=л (И - угу= а д

(1)

 

т3=—

Согласно первому закону термодинамики

 

 

3

16

А23 = Q23 —AU23 = Су)(Т3 —Т2)~

 

 

^12 _14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А23

 

3

1

СУ^2

 

 

 

(2)

 

г= 3

 

 

2 (cv

 

 

 

 

 

 

По условию

 

 

 

 

 

V = 1

 

 

 

 

 

 

Г, 4,

 

 

 

К,

14

 

 

 

 

 

 

 

 

■^23

3

 

 

 

 

Используя (1) и (2);получим

c = cv

Ответ: с = — R .

2

6.4. Нагревается или охлаждается одноатомный газ, расширяющийся

по закону pV2 = const 1 Найти его молярную теплоемкость.

23

Дано:

 

 

Решение

 

 

По определению

 

pV 2 = const

 

 

 

 

с =

 

v = 1моль

 

 

( 1)

AT ,с - ?

 

 

АТ

 

 

По первому закону термодинамики

(2)

 

Q = AU + A,

AU = cyAT.

Для нахождения с надо работу выразить через разность температур. Если

изменение объема невелико, то

 

(3)

 

 

A = pAV.

С другой уравнение состояние одного моля идеального газа

 

и условие

 

pV = RT,

(4)

 

 

 

 

совместно дают:

pV2 = const

(5)

 

 

(6)

RTV = const

или

RTAV + RVAT = 0.

Отсюда

 

 

 

 

 

 

AV = - — AT.

(7)

Тогда:

 

Т

 

 

 

 

 

 

А = - ^ - А Т

= -RAT,

 

Q = (cv -R)AT,

Т

 

 

 

ср = —R,

 

 

 

 

 

 

с = су - R = - R - R = - .

 

 

 

2

2

 

Ответ: 1) В соответствии с формулой (7) газ охлаждается.

 

2) с = —.

 

 

 

 

2

 

 

 

6 .5.

Найдите величину теплоемкости и работу,

которую соверша

моль гелия в

процессе

p 2V = const. Известны начальная и

конечная

температуры Г,

и Т2.

 

 

 

24

7. КПД ЦИКЛОВ

7 J Одноатомный идеальный газ совершает цикл, показанный на рис. 7 j

Известны температуры Тх и Т2. Найти работу газа за цикл и КПД цикла.

Дано:

/ = 3

Решение Работа за цикл равна площади, ограниченной

циклом:

А , Г ] ~ ?

А = \ (Р 2- р Ж - У 2) = ~ (р г - Р Ж - V t) =

(1)

\Pi A v i

На прямопропорциональной прямой

Л =5 .

p i 7 ,

-

Уравнения состояния в 1 и 3 дают

 

P ^ = v R T u

p3V3 = vRT31

Поделив одно на другое, находим

 

Pi V{ К

Подставив это в (1) с учетом первого уравнения (3), ползшим

КПД можно вычислить так:

Т) = -------- -------

Q n +Q n'

Найдем подведенные теплоты

в а = с ку(Г2-Т ,),

Q23= CPV(T3-T 2)'

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

25

Температуру Т2 можно найти из цепочки равенств

Тд

Pi

Ръ

f t

71

Рх

Рх

(8)

V

 

 

3 _

5 „

Так как cv = —К, С п= — л , то (6) дает

 

к

2

р 2

Л=i J w - x )

3 + 5JrJj\ '

Ответ: А0

Т1=

З + 5-JfjT,

7 .2 . Найти КПД цикла, изображенного на рис. 7.2

P j 1

2

^

3

Pi 12

3

4

аР0

 

 

 

3Ро

 

 

 

 

 

 

 

2Ро

1

 

5

ро —_ —

 

 

 

 

1

1

Ро

L

 

6

 

 

 

 

0

 

7 _____ —fe-

0

V0

pV0 v

V0

2V0

3V0 3

 

 

Рис. 7.2

 

 

 

Рис. 7.3

Р* 1

 

7.3.

 

Найти отношение КПД циклов 1 - 2

 

 

 

3 - 4 — 5 и 3 — 4 -

5 — 6 -

7, изображенных на рис.

 

 

 

7.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

д,

9

 

 

 

 

 

Ответ: —

= — ,

 

О

 

 

 

Л2

11

 

 

---------------------------- ►

7 .4. КПД тепловой машины, цикл которой

Рис 7 4

V

изображен

на рис. 7.4

и состоит

из изотермы,

 

 

 

 

изобары и

адиабаты,

равен Д

КПД второй

26

машины, работающей по циклу Карно с теми же нагревателем и холодильником, имеющим ту же максимальную и минимальную

температуру рабочего газа, что и в первой машине, равен Г|А. Найти работу газа в первой машине на участке 1- 2, если в состоянии 1 внутренняя энергия

газа U . Сорт газа считать известным.

 

Дано:

Решение

ЛВ этой задаче площадь цикла непосредственно вычислить нельзя,

л*

поэтому запишем выражение для КПД цикла в виде

 

 

 

а

Q\i +бгз + Q31

 

и , i

Л :

2i

0 )

Л,2~?

Е йтопученпых

Qn

 

 

 

Далее имеем

623 = v c p (^3 ~ ^2)~Vcp(^3 —^г)-

 

Q\2 ~ А и ,

 

(2)

Подставляя все в (1) получим

 

 

 

 

 

 

Ахг +vcp(T3—7j)

 

 

 

Л =

А,12

 

 

(3)

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

«у/,

 

1 - -

 

(4)

 

VC,T'

 

 

А\2

1-Г)

 

1—Т)

 

 

С другой стороны КПД машины Карно равен

 

 

 

Л*

тх-тг

1 -^-

 

(5)

 

=

 

 

Для нахождения 7J запишем выражение для внутренней энергий газа

 

 

U = VCvTx.

 

 

(6)

 

i + 2

 

(6) находим ответ

 

Учитывая, что Ср

: cv из (4) -

 

 

 

1

 

 

 

 

МХ/г), Ап — г(1-Л)

27

7.5. Моль идеального одноатомного газа совершает цикл, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (рис. 7.5). Известны

объемы Vx, V3. Найти КПД цикла.

Дано:

 

Решение

/=3

Для расчета

КПД

применим

у,

формулу

 

 

к,

 

 

 

Л -?

 

 

Q23+ бз!

 

Л

QM

 

 

бз!

 

 

 

(газ получал тепло только на участке 3 - 1 ) . Далее имеем

 

Q \ 2 CV ( ^ 2

) ~ CV ( T l ^ 2 ) ’

 

623 = ^ 2 3

> Qi\ ~ср(Ти“ ^з) = с р (^i ~Тг)■

Работа в изотермическом процессе равна

= JpOTrfK = яг, }^ - = ВТг 1п-А= -ЯГ21п£-.

К2 К2 ' *2 V3 Далее, используя уравнения процессов можно прийти к ответу

(1)

(2)

(3)

2 ( 1пГ,/П'

Ч

7 .6.

Цикл,

совершаемый молем одноатомного идеального газа,

состоит из изотермы, изобары, изохоры. Изотермический процесс

происходит при максимальной температуре цикла Т =400^Г. В пределах

цикла а = Vmsx /Vmm =

2 . Вычислить работу газа за цикл и КПД цикла.

 

(

\

Ответ: Ап= RT 1па + —-1

а

1

1па + -----1

а

Лг

1 - 1 + 1пд

а ;

28

8. ВОДЯНЫЕ ПАРЫ. ВЛАЖНОСТЬ

8.1.

В

сосуде объемом

 

F, = 3 1л находится

воздух, вода и

насыщенный

пар.

Температура

в

 

сосуде

Т = 373К,

давление

Р\ — 2,5 •105Па. При постоянной температуре объем сосуда уменьшают,

пока давление не станет равным р 2 = 4,0 •105Па. Определить массу воды

в сосуде в конце опыта, если общее количество воды и пара 22 г.

 

Дано:

 

 

 

 

Решение

 

 

Будем пренебрегать объемом воды в сосуде по

 

сравнению с его объемом. Поскольку температура

 

постоянна и равна

 

100°С , то давление пара всегда

 

одинаково и равно

р и 105 Па. Поэтому в конце

 

опыта можем записать

 

 

 

 

р Л

 

/и,

 

о)

 

 

=—

 

 

 

 

V?

 

Рп

 

 

 

 

Объем

в конце

опыта можем

найти из

закона Бойля-Мариотта для воздуха:

 

 

 

 

 

PeiK=Pe2^:2.

 

Рв2 = Р\

Рн’

 

Ре2 =Р2 ~Рн>

у

у

(Р\ ~Ри)

(2)

 

 

 

 

 

' (Р2~Рн)

Тогда масса паров в воздухе в конце опыта

 

 

 

 

 

ж - Р »(Р ' - P H) V№n

 

 

(3)

 

2

RT(p2 - р п)

 

 

 

 

Масса воды в сосуде

 

 

 

 

 

 

m = m0 - m2 = mi

P,XPi ~Ри)У^п

(22—9)-10"3 =13-10 '3(кг)

 

 

RT(P 2 - P I!)

 

 

 

 

Ответ: m 1 З г .

8.2. В сосуд объемом V = 10л, наполненный сухим воздухом при температуре 0°С и давлением р0^вводят некоторое количество воды m .

Затем сосуд нагревают до 100°С и отключают нагреватель. Определить давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре.

29

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]