
Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями (110
..pdfТак как Qn —~Q ( Q > 0) по условию, то
дуп=-й—=~е- |
|
(5) |
|||||
|
|
|
с. |
5 |
|
|
|
По определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
AU23= c vv(T3- T 2). |
|
(6) |
||||
Для нахождения |
AU23 по этой формуле |
воспользуемся тем, что известна |
|||||
А23. Ее можно выразить как площадь под прямой 2 - 3 . |
|
||||||
А , = \ ( Л + Р |
Ж - У |
, ) |
= \ р г Г г |
Ръ_ "Ь1 |
- 1 |
(7) |
|
Запишем уравнения состояний 2 и 3. |
Рг |
^ 2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
Рг V2 = VRT2, |
|
|
р 3V3 =vRT3. |
(8) |
|||
Ръ |
К |
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что — |
= — найдем |
|
|
|
|
||
Рг |
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
P b __Y ± |
|
|
|
|
(9) |
|
|
Рг |
К |
|
|
|
|
|
Равенства (7), (8), (9) дают |
|
|
|
|
|
|
|
^23 —--4 ~ |
1 |
i |
^2)• |
|
( 10) |
||
2 |
|
Теперь, объединяя (6) и (10),находим
AU23 = 3А.
Ответ: А31 = ЗА —— Q.
20
5.8. |
Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.8. В изобарическом |
||
процессе 1—>-2 |
газ |
совершает работу А12. В процессе |
2—>3 над газом |
совершается работа |
Л23 (А?3 > 0 ) . Найти работу газа в адиабатическом |
||
процессе A3J. |
|
|
|
Ответ: А31 |
ЗА23. |
|
|
5 .9. |
Гелий совершает цикл, показанный на рис. 5.9. При расширении в |
||
адиабатическом процессе 2—<•3 газом совершается работа |
А . При сжатии в |
||
изотермическом |
процессе от него отводится теплота Q |
(Q > 0). Какую |
работу совершает газ за весь цикл 1 - 2 - 3 - 1 ?
Ответ: А0 = —А — Q .
5.10. Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль переводится из начального состояния с температурой 300 К в состояние, в котором его температура увеличилась в три раза, а объем уменьшился в два раза. Найдите подведенное к газу количество теплоты. Известно, что из врех -путей перевода газа из начального состояния в конечное, на которых давление не падает ниже начального, был выбран путь, соответствующий минимальной работе.
Ответ: Q = 6225 Дж.
5 .11 . Идеальный двухатомный газ в количестве 1 моль переводится из начального состояния с температурой 30Q К в . состояние, в котором его температура уменьшилась в три раза, а объем увеличился в два раза. Найдите подведенное к газу количество теплоты. Известно, что из всех путей' перевода газа из начального состояния в конечное, на которых давление не падает ниже начального, был выбран путь, соответствующий максимальной работе.
Ответ: Q = —1690 Дж.
21
6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ
6 .1. Сосуд разделен на две |
части поршнем, который может |
||||
|
перемещаться без трения. В левой части сосуда |
||||
|
содержится |
моль |
одноатомного идеального |
||
х а-| |
газа, в правой вакуум и |
сжатая пружина, |
|||
|
которая в свободном состоянии имеет длину, |
||||
|
равную длине сосуда (рис. 6.1). Определить |
||||
|
теплоемкость |
системы, |
считая, |
что |
Рис. 6.1 |
теплопроводностью и теплоемкостью |
сосуда, |
поршня и пружины можно пренебречь. |
|
|
|
Решение |
|
По определению теплоемкость равна |
|
|
|
с = 0 _ |
( 1) |
|
АТ |
|
Q —переданное газу количество тепла, AT*—изменение его температуры. Согласно первому началу термодинамики имеем
|
Q = AU + A, |
(2) |
|
3 |
одноатомного |
газа. Работа газа равна |
изменению |
AU = — RAT —для |
|||
2 |
|
|
|
потенциальной энергии пружины, то есть |
|
||
|
кх2 |
Л |
|
Условие равновесия поршня |
2 |
|
|
|
|
||
|
PS = \Fynp\. |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
кх |
|
|
С другой стороны |
V = xS. Тогда pV = кх2 = RT —по |
уравнению |
|
Менделеева-Клапейрона. Следовательно |
|
||
|
he2 кх7 |
1 |
|
А = - 22- ^ 2- = -2R A T . |
(3) |
|
|
Используя равенства (1), (2) и (3), находим |
|
c = -0 - = 2R. |
|
АТ |
|
Ответ: с = 2R. |
|
22
6.2.Решите задачу 6.1. при условии, что сила упругости пружины
зависит |
от |
ее сжатия |
(растяжения) |
х |
по |
формуле |
\рупр|= к*а, |
||
а = const'll. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6.3. |
Моль гелия сжимают в процессе с |
||||
|
|
|
|
постоянным давлением 1-2 (рис. 6.3) так,что |
|||||
|
|
|
|
Г ,= 8 Г 2 . Затем газ расширяется в процессе |
|||||
|
|
|
|
2-3 с постоянной |
теплоемкостью |
до |
|||
|
|
|
|
первоначального |
объема. |
Найти |
эту |
||
|
|
|
|
теплоемкость, |
если |
конечная |
температура |
||
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
газа |
|
|
|
|
Т3 = — , а отношение модулей работ |
|||||
|
|
|
|
16 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
при сжатии и расширении равно |
|
||||
|
|
|
|
3 ' |
|
||||
Дано: |
|
|
Решение |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
т |
По определению работы |
~ т2>=IRT2. |
|
|
||||
|
И»1 ■=л (И - угу= а д |
(1) |
|
||||||
т3=— |
Согласно первому закону термодинамики |
|
|
||||||
3 |
16 |
А23 = Q23 —AU23 = (с —Су)(Т3 —Т2)~ |
|
|
|||||
^12 _14 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
А23 |
|
3 |
1 |
СУ^2 • |
|
|
|
(2) |
|
г= 3 |
|
|
—2 (cv |
|
|
|
|
||
|
|
По условию |
|
|
|
|
|
||
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Г, 4, |
|
|
|
К, |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
■^23 |
3 ‘ |
|
|
|
|
Используя (1) и (2);получим
c = cv
Ответ: с = — R .
2
6.4. Нагревается или охлаждается одноатомный газ, расширяющийся
по закону pV2 = const 1 Найти его молярную теплоемкость.
23
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
По определению |
|
||
pV 2 = const |
|
|
||
|
|
с = |
|
|
v = 1моль |
|
|
( 1) |
|
AT ,с - ? |
|
|
АТ |
|
|
По первому закону термодинамики |
(2) |
||
|
Q = AU + A, |
AU = cyAT. |
||
Для нахождения с надо работу выразить через разность температур. Если |
||||
изменение объема невелико, то |
|
(3) |
||
|
|
A = pAV. |
||
С другой уравнение состояние одного моля идеального газа |
|
|||
и условие |
|
pV = RT, |
(4) |
|
|
|
|
|
|
совместно дают: |
pV2 = const |
(5) |
||
|
|
(6) |
||
RTV = const |
или |
RTAV + RVAT = 0. |
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
AV = - — AT. |
(7) |
|
Тогда: |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
А = - ^ - А Т |
= -RAT, |
|
|
Q = (cv -R)AT, |
Т |
|
|
|
|
ср = —R, |
|
||
|
|
|
|
|
|
с = су - R = - R - R = - . |
|
||
|
|
2 |
2 |
|
Ответ: 1) В соответствии с формулой (7) газ охлаждается. |
|
|||
2) с = —. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 .5. |
Найдите величину теплоемкости и работу, |
которую соверша |
||
моль гелия в |
процессе |
p 2V = const. Известны начальная и |
конечная |
|
температуры Г, |
и Т2. |
|
|
|
24
7. КПД ЦИКЛОВ
7 J Одноатомный идеальный газ совершает цикл, показанный на рис. 7 j
Известны температуры Тх и Т2. Найти работу газа за цикл и КПД цикла.
Дано:
/ = 3
Решение Работа за цикл равна площади, ограниченной
циклом:
А , Г ] ~ ?
А = \ (Р 2- р Ж - У 2) = ~ (р г - Р Ж - V t) =
(1)
\Pi A v i
На прямопропорциональной прямой
Л =5 .
p i 7 , |
- |
Уравнения состояния в 1 и 3 дают |
|
P ^ = v R T u |
p3V3 = vRT31 |
Поделив одно на другое, находим |
|
Pi V{ К
Подставив это в (1) с учетом первого уравнения (3), ползшим
КПД можно вычислить так:
Т) = -------- -------
Q n +Q n'
Найдем подведенные теплоты
в а = с ку(Г2-Т ,), |
Q23= CPV(T3-T 2)' |
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
25
Температуру Т2 можно найти из цепочки равенств
Тд |
Pi |
Ръ |
f t |
71 |
Рх |
Рх |
(8) |
V |
|||
|
|
3 _ |
5 „ |
Так как cv = —К, С п= — л , то (6) дает |
|||
|
к |
2 |
р 2 |
Л=i J w - x )
3 + 5JrJj\ '
Ответ: А0
Т1=
З + 5-JfjT,
7 .2 . Найти КПД цикла, изображенного на рис. 7.2
P j 1 |
2 |
^ |
3 |
Pi 12 |
3 |
4 |
|
аР0 |
|
|
|
3Ро |
|
|
|
|
|
|
|
2Ро |
1 |
|
5 |
ро —_ — |
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
Ро |
L |
|
6 |
||
|
|
|
|
0 |
|
7 _____ —fe- |
|
0 |
V0 |
pV0 v |
V0 |
2V0 |
3V0 3 |
||
|
|
Рис. 7.2 |
|
|
|
Рис. 7.3 |
Р* 1 |
|
7.3. |
|
Найти отношение КПД циклов 1 - 2 |
||||
|
|
|
3 - 4 — 5 и 3 — 4 - |
5 — 6 - |
7, изображенных на рис. |
|||
|
|
|
7.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д, |
9 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: — |
= — , |
|
|||
О |
|
|
|
Л2 |
11 |
|
|
|
---------------------------- ► |
7 .4. КПД тепловой машины, цикл которой |
|||||||
Рис 7 4 |
V |
изображен |
на рис. 7.4 |
и состоит |
из изотермы, |
|||
|
||||||||
|
|
|
изобары и |
адиабаты, |
равен Д |
КПД второй |
26
машины, работающей по циклу Карно с теми же нагревателем и холодильником, имеющим ту же максимальную и минимальную
температуру рабочего газа, что и в первой машине, равен Г|А. Найти работу газа в первой машине на участке 1- 2, если в состоянии 1 внутренняя энергия
газа U . Сорт газа считать известным. |
|
Дано: |
Решение |
ЛВ этой задаче площадь цикла непосредственно вычислить нельзя,
л* |
поэтому запишем выражение для КПД цикла в виде |
|
||||
|
|
а |
Q\i +бгз + Q31 |
|
||
и , i |
Л : |
2i |
0 ) |
|||
Л,2~? |
Е йтопученпых |
Qn |
||||
|
|
|
||||
Далее имеем |
623 = v c p (^3 ~ ^2)~Vcp(^3 —^г)- |
|
||||
Q\2 ~ А и , |
|
(2) |
||||
Подставляя все в (1) получим |
|
|
|
|
||
|
|
Ахг +vcp(T3—7j) |
|
|
||
|
Л = |
А,12 |
|
|
(3) |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
«у/, |
|
1 - - |
|
(4) |
|
|
VC,T' |
|
||||
|
А\2 — |
1-Г) |
|
1—Т) |
|
|
С другой стороны КПД машины Карно равен |
|
|
||||
|
Л* |
тх-тг |
1 -^- |
|
(5) |
|
|
= |
|
|
|||
Для нахождения 7J запишем выражение для внутренней энергий газа |
||||||
|
|
U = VCvTx. |
|
|
(6) |
|
|
i + 2 |
|
(6) находим ответ |
|
||
Учитывая, что Ср |
: cv из (4) - |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
МХ/г), Ап — г(1-Л)
27
7.5. Моль идеального одноатомного газа совершает цикл, состоящий из изохоры, изотермы и изобары (рис. 7.5). Известны
объемы Vx, V3. Найти КПД цикла.
Дано: |
|
Решение |
||
/=3 |
Для расчета |
КПД |
применим |
|
у, |
||||
формулу |
|
|
||
к, |
|
|
|
|
Л -? |
|
|
Q23+ бз! |
|
|
Л |
QM |
||
|
|
бз! |
||
|
|
|
||
(газ получал тепло только на участке 3 - 1 ) . Далее имеем |
||||
|
Q \ 2 “ CV ( ^ 2 |
) ~ CV ( T l ^ 2 ) ’ |
||
|
623 = ^ 2 3 |
> Qi\ ~ср(Ти“ ^з) = с р (^i ~Тг)■ |
Работа в изотермическом процессе равна
= JpOTrfK = яг, }^ - = ВТг 1п-А= -ЯГ21п£-.
К2 К2 ' *2 V3 Далее, используя уравнения процессов можно прийти к ответу
(1)
(2)
(3)
2 ( 1пГ,/П'
Ч
7 .6. |
Цикл, |
совершаемый молем одноатомного идеального газа, |
состоит из изотермы, изобары, изохоры. Изотермический процесс |
||
происходит при максимальной температуре цикла Т =400^Г. В пределах |
||
цикла а = Vmsx /Vmm = |
2 . Вычислить работу газа за цикл и КПД цикла. |
|
|
( |
\ |
Ответ: Ап= RT 1па + —-1
а
1
1па + -----1
а
Лг
1 - 1 + 1пд
а ;
28
8. ВОДЯНЫЕ ПАРЫ. ВЛАЖНОСТЬ
8.1. |
В |
сосуде объемом |
|
F, = 3 1л находится |
воздух, вода и |
||
насыщенный |
пар. |
Температура |
в |
|
сосуде |
Т = 373К, |
давление |
Р\ — 2,5 •105Па. При постоянной температуре объем сосуда уменьшают, |
|||||||
пока давление не станет равным р 2 = 4,0 •105Па. Определить массу воды |
|||||||
в сосуде в конце опыта, если общее количество воды и пара 22 г. |
|
||||||
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
Будем пренебрегать объемом воды в сосуде по |
||||||
|
сравнению с его объемом. Поскольку температура |
||||||
|
постоянна и равна |
|
100°С , то давление пара всегда |
||||
|
одинаково и равно |
р и —105 Па. Поэтому в конце |
|||||
|
опыта можем записать |
|
|
||||
|
|
р Л |
|
/и, |
|
о) |
|
|
|
=— |
|
||||
|
|
|
V? |
|
Рп |
|
|
|
|
Объем |
в конце |
опыта можем |
найти из |
||
закона Бойля-Мариотта для воздуха: |
|
|
|
|
|
||
PeiK=Pe2^:2. |
|
Рв2 = Р\ |
Рн’ |
|
|||
Ре2 =Р2 ~Рн> |
у |
„ у |
(Р\ ~Ри) |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
' (Р2~Рн) |
||
Тогда масса паров в воздухе в конце опыта |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
ж - Р »(Р ' - P H) V№n |
|
|
(3) |
|||
|
2 |
RT(p2 - р п) |
|
|
|
|
|
Масса воды в сосуде |
|
|
|
|
|
|
|
m = m0 - m2 = mi |
P,XPi ~Ри)У^п |
(22—9)-10"3 =13-10 '3(кг) |
|||||
|
|
RT(P 2 - P I!) |
|
|
|
|
Ответ: m —1 З г .
8.2. В сосуд объемом V = 10л, наполненный сухим воздухом при температуре 0°С и давлением р0^вводят некоторое количество воды m .
Затем сосуд нагревают до 100°С и отключают нагреватель. Определить давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре.
29