Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями (110
..pdfпосле того как поршень отпустили. Длина недеформированной пружины 21. Потерями энергий пренебречь.
Дано: |
Решение |
Решение основывается на четырех пунктах: |
|
1. |
Уравнение состояния газа в 1-ом случае. |
2. |
Закон сохранения энергии. |
3. |
Условие механического равновесия поршня |
во втором состоянии. |
|
4. |
Уравнение 2-го состояния. |
Раскроем каждый из пунктов.
pxVx=NkTx, pxSl = NkTx.
Отсюда находим число молекул газа
ЛГ-^.
кТх
Запишем закон сохранения энергии
X ? + и х = гП + и ,
и х2- внутренняя энергия газа в соответствующих состояниях
Ux= N —kTx, |
U, = N —kTi |
1 2 1
Из условия равновесия поршня имеем
=P i S .
Уравнение для второго состояния дает связь между р2 и Т2:
p2Sl = NkT2.
Выразим из (4) р2 и подставим в (5), тогда получим
( 1 )
(2)
(3)
(4)
(5)
|
хк =Ш Т2, |
или |
_ 1 |
|
|
= -NkTL |
|||
Подставляя этот результат в (2), получим ответ Т2 = Тг |
3 + х/ |
|||
|
|
|
|
P iS , |
3 .3 . |
В закрытом с обоих концов цилиндре находится газ при давлении |
|||
р = 103 Па, разделенный на два |
одинаковых |
объема |
тонким поршнем, |
|
10
|
|
|
|
который может перемещаться без трения. |
|||||||
|
p25v2 |
a |
|
Цилиндр |
начинает |
д в и г а т ь с я п о |
|||||
Pi,Vi |
|
горизонтальной |
плоскости |
с |
ускорением |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
а —5м/с2, |
|
|
направленным |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
А |
перпендикулярно |
торцам. |
Определите |
|||||
^ИС' ^ |
|
отношение объемов по обе стороны поршня. |
|||||||||
Площадь |
сечения |
цилиндра |
S '= 1 0 см 2, |
масса поршня |
/и = 0,1кг, |
||||||
температура газа постоянна, |
|
|
|
Решение |
|
|
|||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
р = Ю3 Па |
|
При движении в неинерциальной системе отсчета, |
|||||||||
т = 0,1кг |
|
связанной с цилиндром, поршень покоится, |
|||||||||
|
поэтому в проекции на ось х имеем |
|
|||||||||
,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а = 5 м/с2 |
|
|
|
P\S- p2S - |
та = 0. |
|
( 1) |
||||
S = 10см2 =10-3л*2 |
|
|
|
||||||||
Запишем закон Бойля-Мариотта для газа в каждой |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
из половин |
г/ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
V |
|
|
|
pV |
|||
|
|
|
Р |
2 |
= Р' Г' |
|
|
Рх = 2V, |
|||
V = Vx+V2, поэтому |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ р { ^ + У 2) _ Р |
|
|
„ Д |
|
(2) |
||||||
Р\ = |
2К |
|
1+ - |
|
|
|
|||||
|
|
Пу |
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
„ |
|
|
|
|
P i |
=(и+1)у- |
|
(3) |
||
Р у = PlV2 |
|
|
|
|
|||||||
Подставляя (2), (3) в (1)^получим |
|
|
, |
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
2та |
- |
л |
|
|
|
|
||
|
|
п +------ п |
1 = 0. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
pS |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подходящее решение этого уравнения |
|
|
|
|
|
||||||
|
та |
( |
|
pS' |
|
|
|
|
|
||
|
-1 + ,/1 + i |
= 0,62. |
|
|
|
||||||
|
п = |
та, |
|
|
|
||||||
|
pS |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ух |
= 0,62 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11
3 .4 . Открытую стеклянную трубку длиной / = 0,5л* вертикально
погружают в воду наполовину. Затем,верхний конец трубки закрывают и вынимают ее из воды. После того, как вся трубка окажется в воздухе, не открывая верхнего конца,,ее осторожно переворачивают в горизонтальное положение. Определите расстояние от открытого конца трубки до столбика
воды. Атмосферное давление |
10 5П а . Капиллярными эффектами можно |
|||||||
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: х = 6Дм м . |
|
|
|
|
|
|||
3 .5 . |
Насос имеет объем засасывающей камеры и . За сколько циклов |
|||||||
работы насоса можно откачать воздух |
из баллона объема V , |
снизив |
||||||
давление в нем от значения р до р п? Температуру считать постоянной. |
||||||||
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|||
u,F |
В конце первого засасывания объем воздуха складывается |
|||||||
Р> Рп |
из |
объема |
баллона |
и |
засасывающей камеры: |
F + o , |
||
давление его |
становится равным р х. Используя закон |
|||||||
п - 1 |
||||||||
Бойля-Мариотга, найдем |
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p V |
|
|
(1) |
|
|
|
Рх |
|
F+ U |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
При втором цикле роль начального давления будет играть р х, поэтому |
||||||||
|
_ _ РгУ |
|
|
,, |
\ 2 |
|
||
|
_ J |
f |
, |
(2) |
||||
|
Pz |
F+u P { v + u ) ' |
|
|||||
Таким образом, после п циклов давление будет равно |
|
|||||||
|
|
Р п = Р |
( |
у |
V |
|
(3) |
|
|
|
|
F+ u) |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
Отсюда ответ
h(p„/p) lg(V/(F + v))
12
4.ПРОЦЕССЫ И ЦИКЛЫ
4.1.Процесс, изображенный на рис. 4.1 а, изобразить в координатах
V , T n p , V .
Сначала найдем объемы газа в узловых точках. В точке 3:
Р.Г, =vRT„ |
— ■ |
(1) |
|
Ро |
|
В точке 1:
p„F„ = vM T,, |
V, = |
= 4К„. |
(2) |
Ра
В точке 2:
4p QV2 =vR4T0, |
V2 = ^ = VQ. |
(3) |
|
Ро |
|
13
В точке 4: |
|
|
|
|
|
4paV ,= VR2T,t |
V , = |
^ |
= |
-lV t . |
(4) |
|
2 |
^о ■ |
|
2 |
|
Отметим также, что процесс 1 - 2 - изотермический, процесс 2 - 3 - изохорический, процесс 2 - 4 не является изопроцессом. Для того, чтобы
изобразить этот процесс в координатах T,V и р, V , запишем уравнение процесса в виде
Р = <*1+ 617\ |
(5) |
С учетом уравнения состояния получаем
|
(6 ) |
С другой стороны, этот же процесс можно представить в виде |
|
Т = а2 +Ь2р . |
(7) |
Тогда |
|
v _ VR(.a2+b2p)
Графики процессов в других координатах удобно изображать так, как показано на рис. 4.1 б и в. То есть проводятся горизонтальные и вертикальные линии, находятся точки их пересечения и соединяются. При этом изогнутость линий 3 - 4 диктуется асимптотиками (6) и (8): при
vR
Т —>оо в (6) получаем Vm ----- , а при р —» оо в (8) получаем
Ьх
К, = м ь 2.
4.2. Процесс, изображенный на рис. 4.2, изобразить в координатах
р ,Т ъУ ,Т .
Рис. 4.2
Приведем решение без комментариев.
14
Рисунки к решению задачи 4.2.
4.3.Процесс, представленный на рис. 4.3, изобразить в координатах
р,Т и p,V.
4.4.Процесс, представленный на рис. 4.4, изобразить в координатах
р,Т и V,T (3 —»4 - изотерма).
15
5. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ
Р4 |
1 |
|
5.1. Моль; одноатомного идеального газа |
||||
|
переводится |
из Достояния 1 |
в состояние 3 |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
(рис. 5.1). На участке 1-2 газ совершает работу |
||||
|
|
|
А = 1250Дж. В |
процессе |
всего |
перехода |
|
|
|
|
1—>2—>3 |
'газ |
получает |
суммарное |
|
|
|
|
(алгебраическая сумма) количество |
.теплоты |
|||
|
Рис, 5.1 |
V |
Q = 750Дж. Найти разность температур Т2 |
||||
|
и Т3. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
Полное количество тепла, полученное газом, |
|||||
Ап = А = 1250Дж |
|
||||||
|
равно |
|
|
|
|
||
Q = 750Дж |
|
Q ~ cp (Т2 —Тх) + су(Т3 —Т2), |
(1) |
||||
V = 1моль |
|
||||||
|
ср и Су-молярные теплоемкости. |
|
|||||
i = 3 |
|
|
|
||||
(Г2 -Г3)-? |
|
По определению работы в изобарическом процессе |
|||||
|
|
|
A;=P(V2-V x). |
|
|
(2) |
|
Используя дважды (для состояний 1 и 2) уравнение Менделеева-
Клапейрона, вместо (2) можем получить |
|
|
A = R(T2-1\). |
|
(3) |
Подставим это в (1). Получим |
|
|
в==^ А + Су(Г3-Т 2). |
|
|
3 п |
5 |
К, находим |
Учитывая, что для гелия су = —К, с |
= — |
|
Т —Т = Q 2 A . _ 2Q - 5A |
||
1 * |
3R |
|
2
Расчет дает: Т3—Т2 = —190АГ. Ответ: Т2 —Т3 = 190АГ,
16
5.2. Моль одноатомного идеального газа переводится из состояния 1 в состояние 3 (рис. 5.2). На участке 1-2 температура газа уменьшается на
Д Г = 100АГ, а в процессе 1 >р >3 газ получает суммарное количество
тепла Q = 1870Дж. Какую по величине работу совершил газ в процессе
изобарического нагрева?
1
2 3
0 |
V |
|
|
|
Рис. 5.2 |
5 3 # На рис. 5.3 для v молей гелия показан цикл 1_>2-»3. На изобаре газ совершил работу А , и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны.
1)
2)
Дано:
Л12 = А
Т
— = 4
Т =Т
1\ 1з i = 3 v
Определить температуру _ Определить работу газа за цикл.
Решение:
Работа в изобарическом процессе равна |
|
A = P (V2-V,) |
(!) |
Используя уравнения состояний идеального газа в 1 и 2, можем
получить
Л
pVt-pV^vRiTt-TJ^vR It |
(2) |
Г.,Л -? Из (1) и (2) получим |
|
т , - А |
(3 ) |
3vR ‘ |
р ) V . В |
Работа газа за цикл равна площади фигуры цикла в координатах |
|
нашем случае это треугольник, поэтому |
|
2 |
2 |
у |
i |
W
17
(Запомните этот прием: запись выражении, содержащих Несколько неизвестных, через их отношения). В выражении (4) надо все отношения выразить через отношения температур. Для этого заметим, что для участка 3- 2 справедливо
Рз_=^3_ |
или |
£ L |
v., |
(5) |
Pi V2 |
|
Ps |
v2 |
|
Для 1-3:
Та |
*53 |
или |
ELи |
! |
II W |
|
P\ |
j^ TL |
|
Перемножим (5) и (6), получим |
|
|
||
|
( |
у |
Vx |
|
|
— 1 = |
|
||
|
1 |
Рх) |
V2 |
|
Для изобарического процесса 1-2 имеем
Подставляя (7) и (8) в (4) и учитывая, что р хVx= vRTx получим
31
A. = —vRTj = - А .
^ 4 1 4
Ответ: Тх — А |
. |
_ А |
J v R ’ |
40 |
_Т |
(6)
(7)
(8)
5.4; Цикл для V молей гелия показан на рис. 5.4. В процессе 1-2 газу сообщили количество теплоты Q, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 иЗ равны.
1)Найти температуру Тх.
2)Найти работу газа за цикл.
18
5 .5. Цикл для V молей гелия состоит из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (рис. 5.5). В процессе 1-2 от газа отведено количество теплоты Q (Q > 0 ), и его температура уменьшилась в
4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны.
1)Найти температуру T j. 2) Определить работу газа за цикл.
Ответ: Т, |
. . « б . |
А |
— |
||
|
9 vR |
6 |
5 .6. |
Придумайте и решите подобную задачу с циклом, изображенном |
|
на рис. 5.6.
|
Рис. 5.6 |
|
|
|
5 .7. |
Гелий совершает цикл, изображенный на рис. 5.7. Сначала от |
|||
него отводится количество |
теплоты |
Q (Q > 0 ), в |
результате он |
|
изобарически сжимается 1—>2. Затем газ расширяется 2—*3, совершая работу |
||||
А . Наконец газ расширяется адиабатически 3—>1. Найти |
работу А31 в |
|||
адиабатическом процессе. |
|
|
|
|
Дано: |
|
Решение |
|
|
г = 3 |
Работа в адиабатическом процессе |
|
||
Q |
|
А31 — A U31. |
( 1) |
|
А |
Сдругой стороны для любого замкнутого цикла |
|
||
А31 - ? |
|
|||
Отсюда |
AUUч- A t /23 Н" A U3j = |
0 . |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
A3i — A U3i — A t/,2 + Д U23- |
(3) |
||
Далее имеем |
Q\2 —CpV(7 2 ^l)• |
|
||
A f/,2 = |
cyv(T2- |
(4) |
||
19