Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями (110
..pdf
Copyright ООО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Глазовский государственный педагогический институт
им. В.Г. Короленко Глазовский физико-математический лицей
В.А. САРАНИН, В.П. ДОКУЧАЕВ
СБОРНИК ЗАДАЧ, ПОВЬПНЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ
ИТЕРМОДИНАМИКЕ
СРЕШЕНИЯМИ
Глазов 2002
ББК 74.262.22 С 20
Саранин В.А., В.П. Докучаев. Сборник задач повышенной сложности по молекулярной физике и термодинамике с решениями. - Глазов: ГГПИ, 2002. - 44 с.
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент В.Б. Динерштейн
В сборнике приведены задачи повышенной сложности, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, МИФИ, МИЭТ и других ведущих вузах страны, а также на олимпиадах различного уровня. Большинство задач снабжены решениями.
Для школьников 10-11 классов, учителей физики и студентов педвузов.
© В.А. Саранин, 2002
© В.П. Докучаев, 2002
1. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ ТЕЛ
1.1. Стальная и латунная полоски толщиной h = 0,2 см каждая склепаны на концах так, что при
= 20°С |
они |
образуют |
плоскую |
биметаллическую пластинку. Каков будет |
средний |
||
радиус изгиба пластинки при t2 = 80°С ? Коэффициент линейного расширения стали и латуни
Дано:
tx = 20°С /2 = 80°С
ас =1,2-10~5/Г '
ал =1,9-10_5А’"1
Д- ?
равны а с = 1,2-10“5 i T 1, а л =1,9-10-5К~1.
Решение Запишем формулы для удлинения каждого из материалов
/ 2л = /0 (1 + а лД 0 , |
|
|
/2с—/0(1 + ctj.A?). |
(1) |
|
Длины дуг связаны с радиусами так: |
|
|
^2с = У*, |
~ У^2'- |
(2) |
Из рисунка видно, что |
|
|
Л, = Д-- |
J?2 —Й"Ь‘h |
(3) |
|
1 |
2 |
|
|
Равенства (1) и (2) дают |
|
|
(4> |
У*, = /0(1+ а сАО, |
|||
yi?2 = /0(1+ а лАО- |
(5) |
||
Поделим (4) на (5) и учтем равенства (3) |
|
||
R -h / 2 ( 1+ а . д Л |
(6) |
||
R + h/2 |
|
=аэ. |
|
|
vl + a JtAtj |
|
|
Разрешим равенство (6) относительно R |
|
||
Afl+ as^ |
|
2 + (a c + а л)Д£ |
|
Л = — |
|
(ас-ал)Дг |
|
1-ае |
|
|
|
- 0 1 -10- 2 +ЗД-Ю5 -80 = 5м .
0,7 -10 •80
Ответ: R = 5м .
3
1.2.В центре стального, диска имеется отверстие, диаметр которого
при О°С равен 4,99м м . До какой температуры следует нагреть диск,
чтобы в. его
а =1,2 -10 -5
Дано:
/0 =о°с
dQ= 4 ,9 9 л ш
dl = 5,00лш
отверстие начал проходить шарик диаметром 5,00лш?
Решение При решении подобных задач надо знать правило:
тела с полостями расширяются при нагревании так, как будто они сплошные и не содержат этих полостей. Другими словами: полость расширяется так же, как и окружающий материал. Тогда:
а с =1,2-10 - [ К ' 1 |
|
dx =й?0(1 + а сДГ). |
||
t - 9 |
’ |
Отсюда: |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
АТ = |
d x ~ d 0 |
|
|
|
Mo ’ |
|
|
|
AT = |
0,01 |
|
|
|
|
= 167К . |
|
|
|
|
4,99-1,2-10"s |
|
Ответ: tx =167°C .
1.3. При температуре |
=10°C железная канистра вмещает |
Vf = 20л бензина и оказывается целиком наполненной. На сколько изменится масса канистры с бензином, если ее внести в помещение с
температурой t2 = 30°С . Коэффициенты объемного расширения железа и
бензина соответственно равны |
=3,6-10-5АТ-1, Рб =10”3АГ-1. При |
0°С бензин имеет плотность 0,8 г / см3.
4
Дано: |
Решение |
|
|
|
Видно, что коэффициент объемного расширения |
||
|
бензина гораздо больше такового для железа (это |
||
|
характерно для всех жидкостей и твердых тел), |
||
|
поэтому при нагревании часть бензина выльется. |
||
|
Имеем |
|
(1) |
|
|
Ат —т2-т х, |
|
|
Щ = P7 l, т 2 = P 2V2- |
(2) |
|
|
К, v2- объемы канистры (и соответственно |
||
|
бензина): |
= ^ (1 +М^2 -А))- |
(3) |
|
V2 |
||
Плотности бензина равны |
|
|
|
Р, = 7- ^ — »Ро(1-РЛ). |
Рг =Ро(1-РЛ)- |
W |
|
1 |
+ |ЗбГ, |
|
|
Обратите внимание на то, что в таких задачах величины РД? малы, поэтому при решении задачи используют приближенные равенства типа
(1 + б)" « 1 + и е, и пренебрегают квадратами малых величин. Равенства
(1)-(4) в конечном итоге дают
Ат = р0(Р5 -РаД/,- t 2)V, « - 0 ,2 9кг.
Ответ: Вылилось 0,29кг бензина. |
|
||
1.4. |
Стеклянный сосуд |
весит |
Р0. Этот же сосуд, наполненный |
ртутью,при |
0°С весит / } . Если сосуд с ртутью внести в помещение с |
||
температурой |
t , то вес сосуда с |
ртутью |
оказывается равным Р2. |
Коэффициент объемного расширения ртути р . Каков коэффициент объемного расширения стекла?
Ответ: р с
1.5. При температуре tx стержни с коэффициентами линейного расширения а , и а 2 имеют одинаковую длину, при температуре t2
одинаковы их объемы. При какой температуре будут одинаковыми площади
поперечного сечения стержней? |
3/, -t, |
Ответ: t2 —-----------. |
5
2. ОСНОВЫ MKT. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ
|
2.1. |
Озеро со |
средней глубиной |
5 Д м |
и |
площадью |
4 ,0 к м 2 |
|||||
«посолили», бросив в него кристаллик соли NaCl массой |
10л<г. Спустя |
|||||||||||
длительное время из озера зачерпнули стакан |
вода |
объемом |
200.МЛ. |
|||||||||
Сколько ионов натрия оказалось в стакане? |
|
|
|
|
|
|
||||||
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|||
|
За длительное время (оцените |
это время) |
ионы |
натрия |
||||||||
h = 5,0 м |
||||||||||||
равномерно |
распределяется по |
объему -озера так, |
что |
|||||||||
S = 4 ,0 км2 |
концентрация их в стакане и в |
озере |
будет одинаковой. |
|||||||||
и |
(Л1 |
Найдем концентрацию ионов Na в озере. Всего ионов |
|
|||||||||
m |
о |
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = 0,2л |
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|||
N - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
М —молярная масса NaCl. Их концентрация |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Nx |
N„m |
|
|
|
|
|
|
|
Всего ионов в стакане |
V0 |
MhS |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
N = nV |
= N0mVе •109 шт |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
MhS |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: Af = 10 9 ионов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 .2 . |
В двух сосудах, заполненных одноатомным идеальньш газом с |
||||||||||
молярной массой |Д и соединенных трубкой с краном, давления равны р{, |
||||||||||||
р2, а температуры Тх, |
Т2. Объемы сосудов Vx, |
V2. Какова будет средняя |
||||||||||
квадратичная скорость молекул, если открыть кран ? |
|
|
|
|
|
|||||||
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||
|
|
По закону сохранения энергии имеем |
|
|
|
|
|
|||||
/=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ц |
|
|
NxEx+ N 2E2 =(Nl + N 2)Ea, |
|
|
( 1) |
|
|
||||
РуУ К |
где N., 2 |
число молекул в сосудах, Ехг0 — средние энергии |
||||||||||
молекул. При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
F _” 4 |
|
|
|
|
|||||
Т Т |
|
|
^ 1.2 = T^U’ |
~ |
|
|
||||||
|
|
|
"о ~ |
|
|
|
||||||
и„
6
(2)
Число молекул найдем через уравнение состояния
p,V,=N,RT„ |
N' =Sj k ’ |
( ' “ W). |
(3) |
Группа формул (1) - (3) дает ответ
|
f |
|
Л21 |
о = |
3R |
PlK + P2V2 |
|
^сив |
И |
Р\У\ , Р-Уг |
|
|
\ |
т |
т |
|
|
J2 J |
|
2.3. В герметически закрытом сосуде смешали два газа, массы молекул которых равны тх, ТПг. Каково отношение тепловых скоростей движения молекул после установления равновесия?
Ответ: —^
2.4. |
Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое |
число молекул |
азота, соединены |
краном. В первом сосуде и сга1 = 400л</с, во |
втором |
и сга2 = 500м / с . Чему будет равна средняя квадратичная скорость молекул
после открытия крана и установления равновесия?
2.5. |
Определить температуру газа^при которой средняя квадратичная |
|
скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на |
||
Ли = 400 м/с. |
Найти также среднюю скорость молекул при этой |
|
температуре. |
Решение |
|
Дано: |
||
Для средней квадратичной и наиболее вероятной |
||
Ди = 400 м/с |
||
скоростей имеем соотношения |
||
Т -1, U - ?
7
|
=, |
3RT |
и„„ |
= 2 RT |
( 1 ) |
После вычитания получим |
|
|
|
||
|
Аи =^^(л/3 -л/2 ). |
(2) |
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
р Д и 2 |
|
|
|
|
Т = Д(л/З-л/2 ) 3 |
» 3 8 5 iT . |
(3) |
||
Для средней скорости имеем |
|
|
|
||
|
o = J — |
*2000 м/с. |
(4) |
||
|
|
Я|И |
|
|
|
Ответ: Т = 385 К, |
и = 2000 м/с. |
|
|||
2.6. Плотность |
некоторого |
газа |
р = 0,082 кг/ м3 |
при давлении |
|
р = 105 Па и |
температуре |
t = 17° С . Найти среднюю |
квадратичную |
||
скорость молекул и молярную массу газа. |
|
||||
Ответ: v CKe =1,9 км/с, |
р = 2 г /моль. |
|
|||
2.7. На пути молекулярного пучка из молекул кислорода стоит зеркальная стенка. Найти давление, испытываемое стенкой, если скорость молекул в пучке 103 м/с, концентрация 1017 м'3. Рассмотреть случаи:
1) скорость молекул перпендикулярна стенке;
2)стенка движется навстречу потоку со скоростью 500 м/с;
3)скорость молекул направлена под углом 60° к неподвижной стенке. Ответ:
1)р ~ 0,011 Па;
2)р —0,024 Па-,
3)р = 0,0027 Па.
8
3. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
3 ^ Газ некоторой массы занимает объем Vj при давлении p i и
температуре 7]. Этот газ при постоянном объеме нагревают до температуры
2Г ,, после этого происходит расширение газа при постоянном давлении до
объема 4V] . |
Из получившегося состояния газ возвращают в исходное |
(/?, , У,, 7 ]) , |
причем так, что pV" = const. Определите П и изобразите |
весь цикл в координатах p V . |
|
Дано: |
Решение |
P i A > Ti |
Используем уравнение состояния идеального газа |
|
|
Т2 = 27] |
pV = vRT _ |
|
V3 = 4V2 |
Тогда имеем |
|
pVn= const |
||
|
||
«-? |
Pi = Pi = 2Pi, |
|
|
Гз=4 Г2 =4 Гь |
По условию задачи должно быть
Рз^з - Р У \ .
Подставляя в левую часть выражения (2) и (3), получим
2 /7,4 "^= Р у х\
Отсюда ответ: п = — — . График цикла изобразите самостоятельно.
0 )
(2)
(3)
(4)
(5)
|
|
|
3 2. |
В |
горизонтальном |
герметически |
||||
|
|
|
закрытом |
цилиндре длиной |
2/ |
и площадью |
||||
X |
\ |
|
сечения |
S |
находится |
невесомый тонкий |
||||
|
поршень, |
скользящий |
|
без |
трения |
и |
||||
W v \ W ^ i m |
m |
|
||||||||
прилепленный |
к пружине |
жесткостью |
у |
|||||||
|
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
Поршень удерживается в середине цилиндра. В |
|||||||
|
левой половине цилиндра - |
вакуум, а в правой |
||||||||
Рис. 3.2 |
|
|||||||||
|
идеальный |
одноатомный |
|
газ, |
давление |
и |
||||
температура которого рх и 7]. Найти установившуюся температуру газа
9