Функции и графики (90
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
а) f (x) = |
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) f (x) = x − |
1 |
; |
|
|||||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− x, |
|
x < 0, |
||||||
|
f (x) = |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) f (x) = 0, 0 |
≤ x <1, |
||||||
x2 |
+5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥1; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|||
|
|
x, |
|
x |
|
>1, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
f (x) = x |
|
|
, |
|
|
|
x |
|
≤1. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30.Дайте определение производной функции в точке.
31.Дайте определение касательной к кривой.
32.Каков геометрический смысл производной функции?
33.Как записывается уравнение касательной к графику функции?
34.Каков механический смысл производной функции?
35.Составьте уравнение касательной:
а) к параболе у = 8х2 - 5х + 6: 1) в точке х = 1, 2) в точке пересечения
еес осью Оу, 3) в точках пересечения ее с осью Ох;
б) к гиперболе |
y =1 − |
2 |
в точке пересечения ее с осью Ох. |
|
x |
||||
|
|
|
36.Найдите координаты точки, в которой касательная к параболе у = х2 -
х- 12 образует угол 45о с осью Ох.
37.На параболе у = х2 - 7х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой 5х + у = 3. Запишите уравнение касательной в этой точке.
38. В каких точках касательная к графику функции |
y = |
x + 2 |
образует |
|
x − 2 |
||||
|
|
|
сосью Ох угол 135о?
39.Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела S =
t . Найдите скорость и ускорение в конце 4-ой секунды.
40. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S = 3t2 + t + 4.
Найдите кинетическую энергию тела mv2 2 через 4 секунды после начала движения.
41.Сформулируйте определение точки максимума и минимума функции.
42.Какая функция называется возрастающей (убывающей) на (a,b)?
43.Какие функции называются монотонными на (а,b)?
44.Как по первой производной судить о монотонности функции
(достаточное условие монотонности)?
42
45.Сформулируйте необходимое условие существования экстремума непрерывной функции.
46.Сформулируйте достаточное условие существования экстремума непрерывной функции.
47.Если функция задана на [а,b], может ли она иметь экстремум на концах отрезка? Если нет, то почему?
48.Может ли максимум функции быть меньше минимума? Если да, то
почему?
49.Найдите интервалы монотонности функций:
а) |
y =1 − 4x − x2 ; |
б) y = (x − 2)2 ; |
||
в) |
y = (x + 4)3 ; |
г) y = |
x |
; |
|
|
x − 2 |
||
д) y = x(1 + 
x).
50. Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функций:
а) y = 2x3 −3x2 ; |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
б) |
y = x + |
|
|
; |
|
|
|
|
|
x |
||||
в) y = 5 x4 (2x −1). |
|
|
|
|
|
||||
51. В каких точках имеют экстремум функции: |
|
|
|
|
|
||||
а) f (x) = |
|
x |
|
; |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) |
f (x) = x 3 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
в) y = 1 +1x2 .
Какие из экстремумов "круглые", какие "острые"?
52.Может ли непрерывная функция иметь вертикальные асимптоты?
53.Найдите асимптоты функций и постройте их:
а) |
y = |
1 |
|
|
|
|
|
(x − 2)2 ; |
|
||||||
в) |
y = |
3 |
|
; |
|
|
|
x2 − |
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
д) |
y = |
|
x |
|
|
; |
|
|
x2 |
+1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
ж) |
y = |
|
x3 |
|
. |
|
|
|
x2 +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
б) |
y = |
2x −3 |
; |
||||
x +5 |
|||||||
|
|
|
|
||||
г) |
y = |
|
x2 |
|
; |
|
|
|
x −1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
е) |
y = |
x2 −1; |
|||||
54. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) y = 2x3 - 6x2 - 18x + 7 на [-2;2];
43
б) y = x2 |
+ |
128 |
на [1;6]; |
|
|
x |
|||
в) y = |
x(10 − x) на Ху. |
|||
55. Проведя полное исследование функции по схеме, постройте графики функций:
а) y = |
x2 |
|
; |
б) y = |
(x +1) |
3 |
. |
x − |
3 |
x2 |
|
||||
|
|
|
|
|
56.Исследуйте по схеме и постройте графики функций:
а) y = аx + b; б) y = kx ; в) y = аx2; 4) y = аx2 + bx + c.
57.Постройте графики функций:
а) y = |
3x +3 |
|
|
|
|
x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
в) y = 2x2 + 4x −1; |
г) y = 2x2 − 4 |
|
|
x |
|
|
|
−8; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
д) y = |
|
|
|
x2 +5x + 6 |
|
; |
е) y = |
|
− x2 − x −1; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ж) y = |
2 − 4x |
; |
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
з) y = |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и) y = x2 + 2x +1; |
к) y = −x2 + 2 |
|
x |
|
+1; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
л) y = |
|
x2 + x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
44
6.ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
10.а) [-4;4]; б) (-∞;-8]U[8;+∞ ); в) R\±7; г) (-2;+∞).
11.а) [0;+∞); б) [0;1]; в) R+.
18. |
а) y = |
1 − x |
; б) y = 3 x −1; |
в) y = − |
x +3 ; г) |
y = |
x −3 |
. |
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
x |
||
20. |
а) четная; б) общего вида; в) общего вида; |
г) нечетная. |
||||||
22. |
а) Т - любое положительное число; б) Т=1/3. |
|
|
|
|
|||
25. |
а) -1/2; б) 2; в) 1/3. Указание: разделите числитель на знаменатель |
|||||||
и разложите трехчлены на множители /1/; |
г) 2/5; д) ∞; е) 0; |
ж) 4/3; з) 4/3; |
||||||
и) 12; к) 3/2. |
|
|
|
|
|
|||
29.а) х = 1 - точка разрыва 2-го рода; б) х = 0 – точка разрыва 2-го рода; в) функция непрерывна на R; г) х = 1 - точка разрыва 1-го рода, скачок равен
1;
д) х = 0 – точка разрыва 1-го рода, скачок равен 2.
35.1) а) у = 11х - 2; б) у = -5х + 6; в) у = 27х - 54, у= 43х – 129. 2) у = 1/2х - 1.
36.M0(1;-12).
37.(1;-3), y = 2 - 5x.
38.(0;-1), (4;3).
39.− 321 м/c2.
40.3125 Дж.
49.а) на (-∞;-2) возрастает, на (-2;+∞) убывает; б) на (-∞;2) убывает, на (2;+∞) возрастает; в) на (-∞;+∞) возрастает; г) на (-∞;2) и (2;+∞) убывает; д) на (0;+∞) возрастает;
50.а) max f(x) = f(0) = 0, min f(x) = f(1) = -1, на (-∞;0) и (1;+∞) функция возрастает, на (0;1) убывает;
б) max f(x) = f(-2) = -4, min f(x) = f(2) = 4, на (-∞;-2) и (2;+∞) функция возрастает, на (-2;0) и (0;2) убывает;
|
|
в) max f(x) = f(0) = 0, min f(x) = f( |
2 |
) = − |
5 |
5 16 / 27 |
, на (-∞;2) и |
||
|
|
9 |
27 |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
( |
;+∞) функция возрастает, на (0; |
) - убывает. |
|
|
|
||||
9 |
9 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
51.а) min f(x) = f(0) = 0 - "острый" экстремум; б) min f(x) = f(0) = 0 - "острый" экстремум; в) max f(x) = f(0) = 1 - "круглый" экстремум.
52.Нет.
53.а) вертикальная асимптота х = 2, горизонтальная: у = 0; б) вертикальная: х = -5, горизонтальная: у = 2; в) вертикальные: х = ±2, горизонтальная: у = 0;
г) вертикальная: х = 1, наклонная: у = х + 1; д) у = 1; е) у = -х при х → -∞ ; у =
45
хпри х → +∞; ж) у = х при x → ±∞.
54.а) унаиб(х) = у(-1) = 17; унаим(х) = у(2) = -37. б) унаиб(x) = у(1) = 129; унаим(x) = у(4) = 48. в) унаиб(x) =уf(5) = 5.
46
7.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1.Найдите область определения функций:
а) |
y = x2 − x + |
|
|
1 |
; |
б) y = |
|
|
x |
; |
|||||||
9 |
− x2 |
x2 |
−6x +8 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
y = |
x2 |
− 4 |
+ |
|
|
3x −1 |
г) y = 4 2 − |
|
x |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
|
|
|
x + 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Найдите область значений функций:
а) y = 4 - x2; б) y = [x]2,
где [x] - целая часть х /1/.
3. Постройте графики следующих функций:
а) y = x |
|
x − 2 |
|
; |
б) y = 4 (2x +1)4 −3(x −1) + 5 (2x +3)5 . |
|
|
4. Найдите функции, обратные к данным:
а) y = |
x −1 |
; |
б) |
y = 5x3 − 4. |
x +1 |
|
|
5. Какие из следующих функций являются четными, какие нечетными, а какие общего вида:
а) y = x − |
|
x |
|
; |
б) y = x2 −3 |
|
x |
|
+1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. Вычислите пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) lim |
2x2 −5x + 2 |
; |
|
|
|
б) lim |
x2 +5x + 6 |
; |
|||||||
x2 −5x + |
6 |
|
|
|
x3 + 4x2 + 4x |
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
||||||||
в) lim |
|
x + 2 − |
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→2 |
4x +1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. Найдите точки разрыва функции укажите род разрыва постройте график функции:
|
f (x) = |
|
|
x |
|
б) |
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 , |
если x < −1, |
|||
x2 |
−1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
− x, |
если −1 ≤ x <1, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x, еслиx ≥1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
, если |
|
x |
|
>1, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, если |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x )3 + |
|
|
|
||||||||||
8. Вычислите производную функции: y = ( |
x3 +8 |
; |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 4 |
||
47
11.В каких точках графика функции у = 3х2 касательная наклонена к оси Ох под углом 45о?
12.Укажите интервалы возрастания и убывания функции f(x), а также абсциссу точки, в которой эта функция достигает максимума, если известна производная функции:
f '(x) = 2 + x + 3 + x − x2 . x −1
Постройте график производной.
13.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 3х3 - 3х2 +
х+ 92 на отрезке [0;1]. Запишите уравнение касательной к кривой в точке ее
пересечения с осью Оу. Постройте график функции и касательную к нему на отрезке [0;1].
14.Тело движется по закону S(t) = 62,6 + 54t2 - 0,2t5 (S - в метрах, t - в секундах). В какой момент времени тело имеет наибольшую скорость? Каковы скорость и ускорение в этот момент времени? Какой путь пройдет тело к тому времени, когда скорость тела наибольшая?
15.Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции:
y = |
x3 |
. |
||
x2 |
+3 |
|||
|
|
|||
16. Исследуйте функции и постройте их графики:
а) |
y = |
|
1 |
; |
б) y = |
|
x |
. |
|
x2 |
+1 |
x2 |
− 4 |
||||||
|
|
|
|
|
17. Постройте графики функций с использованием правил сдвига и деформации, объясните их применение:
а) |
y = |
2x2 + 6x + 4 |
; |
б) y = x2 +3 |
|
x |
|
+ 2; |
||||
|
|
|||||||||||
|
y = |
1 − x |
; |
|
|
2x + 4 |
|
|
||||
в) |
|
г) y = |
|
. |
||||||||
2 + x |
|
|||||||||||
|
x −1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
48
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Числовые множества: Метод. указания и контрольные задания / Самар. гос. аэрокосм. ун-т; Сост. А.И.Осипов, Ф.А.Матвеева, Е.А.Вакулич,
Самара, 1996. - 46 с.
2.Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник для 9-10 кл. сред. школы. Материалы для ознакомления / Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович, В.К.Смышляев. - М.: Просвещение, 1981. - 383 с. - (Б-ка учителя математики).
3.Методические указания к решению задач по математике/ Сост.
Ф.А.Матвеева, А.И.Осипов; Куйбышевск. авиац. ин-т, Куйбышев, 1988.- 47 с.
4.Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и начала анализа для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1992.
5.Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбург. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 288 с.: ил.
6.Применение производной. Тригонометрические функции, тождества
иуравнения: Метод. указания и контрол. задания по математике (тема 2) / Куйбышев. авиац. ин-т.; Сост. Ф.А.Матвеева, А.И.Осипов, Самара, 1991.–51с.
7.Методические указания и контрольные задания по математике / Сост. Ф.А.Матвеева, А.И.Осипов; Куйбышев. авиац. ин-т. Куйбышев, 1990. – 37 с.
8.Показательные и логарифмические функции, уравнения и неравенства: Метод. указания и контрол. задания по математике (тема 3) / Куйбышев. авиац. ин-т.; Сост. Ф.А.Матвеева, А.И.Осипов. Самара, 1991.–35с.