Функции и графики (90

21

3.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

3.1.Производная, ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к графику функции

Определение 3.1. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой

Пример 3.1. Пользуясь определением 3.1, найти производную функции y = x2 + 2x + 3.

Р е ш е н и е. Чтобы найти производную, дадим аргументу х приращение

Таким образом, (x2 + 2x + 3)' = 2x + 2.

По методике примера 3.1 могут быть найдены производные основных элементарных функций, например, (xn)' = nxn-1.

Определение 3.2. Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Механический смысл производной.

Пусть точка М движется прямолинейно по закону s = f(t), s - путь, t -

Пример 3.3. Закон s = gt2/2 описывает равноускоренное движение, например, по закону свободного падения с ускорением g = const ≈ 9,81 м/с2. Средняя скорость движения vср = s/ t возрастает с увеличением времени t,

22

поэтому за один и тот же период времени t точка проходит все большее расстояние s.

Определение 3.3. Мгновенной скоростью в момент t называется предел отношения приращения пути к приращению времени, то есть производная

Геометрический смысл производной.

Пусть С - кривая, заданная уравнением y = f(x), M(x0,y0) - фиксированная точка, P(x,y) - произвольная точка кривой (Рис.13).

Рис.13

Пусть в точке М ! (! - единственная) касательная МТ с угловым коэффициентом к = tgα. Если положить x = x0 + x, y = f(x0 + x), y = f(x0 + x) - f(x0), то для угла между секущей МР и положительным направлением

То есть производная функции y = f(x) в данной точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке (т.е. угловому коэффициенту к = tgα).

Очевидно, производная может быть отрицательной ( y < 0, α - тупой), положительной (α - острый), равной нулю (α = 0) и бесконечной (α = π/2).

так как в силу теоремы 3.1 первый множитель в последнем слагаемом равен нулю, а второй конечен для дифференцируемых U и V.

Следствие 1. Производная произведения 3-х функций равна y' = (UVW)' = U'(VW) + U(VW)' = U'VW + UV'W + UVW', а конечного числа n функций -

y' = (U1·U2·...·Un)' = U1'U2·...·Un + U1U2'U3·...·Un + ... + U1·...·Un-1Un'.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: [Сu(x)]' = Сu'(x), где С = const.

Доказательство следует из теорем 3.2 и 3.4 (убедитесь самостоятельно). Теорема 3.5. Производная частного дифференцируемых функций

Для доказательства нужно представить U/V = U·1/V = U·V-1, воспользоваться теоремой 3.4 и формулой (un)' = nun-1 (попробуйте свои силы еще раз!).

Теорема 3.6. Если функция y = f(u) дифференцируема в точке uо, а функция u = ϕ(x) дифференцируема в точке x0, причем uо = ϕ(x0), то сложная функция y =f[u(x)] дифференцируема в точке x0 и yx' = fu'(u)·ϕ'(x0) или yx' = yu'·u'x, где х - независимая переменная, а u - промежуточный аргумент.

Таким образом, по теореме 3.6 производная сложной функции по независимой переменной равна произведению этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

Пример 3.4. Найти производную функции y = x2 +1 .

Здесь y = u , где u = x2 + 1. Значит, производная равна:

25

4.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

4.1.Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции

Теорема 4.1. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) возрастала (строго возрастала) на отрезке [a,b] необходимо и достаточно, чтобы ее производная на [a,b] была неотрицательной: f'(x) ≥ 0 (положительной: f'(x) > 0).

Теорема 4.2. f(x), f'(x) <=> f '(x) ≤ 0.

[a,b]

(Прочитайте символьную запись теоремы 4.2 вслух по образцу теоремы

4.1).

Геометрический смысл теорем 4.1 и 4.2 состоит в том, что на участках возрастания функции касательная к ее графику образует острый угол с осью Ох (Рис.13), а на участках убывания - тупой.

Пример 4.1. Определить участки монотонности функции y = x4 (Рис.4 ). Р е ш е н и е. Исследуем знак производной:

( знак ↓↓ означает: строго убывает ).

Участки возрастания и убывания непрерывной функции разделяются точкой максимума.

Определение 4.1. Функция f(x) имеет максимум в точке xм, если можно найти такую окрестность точки хм, что для всех точек этой окрестности, отличных от хм, выполняется неравенство: f(хм) > f(x).

Определение 4.2. Функция f(x) имеет минимум в точке хm, если для х ≠ x0, х (x0 - δ;x0 - δ): f(хm) < f(x) (прочитайте это определение вслух по образцу определения 4.1).

В примере 4.1 функция f(x) = x4 имеет минимум в точке x = 0, так как f(0) = 0 < f(x) при x ≠ 0 (Рис. 4).

Определение 4.3. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами.

Определение 4.4. Значение функции в точке максимума y(хм) называется максимальным значением функции, а в точке минимума y(хm) - минимальным значением функции.

Определение 4.5. Наибольшим значением функции y = f(x) на отрезке

[a,b] yнаиб называется наибольшее из чисел {M1, M2, ..., Mn, f(a), f(b)}, где M1, M2,.., Mn - все максимальные значения функции в интервале (a,b), f(a), f(b) -

значения функции на концах отрезка.

Определение 4.6. yнаим равно наименьшему из чисел {m1, m2, .., mn, f(a), f(b)} (сформулируйте самостоятельно ).

26

Теорема 4.3 (Необходимое условие существования экстремума). В точках экстремума функции f(x) на [a,b] производная обращается в нуль: f'(xм) = f'(xm) = 0 или не существует.

Из теоремы в частности следует, что в точках (xм;M), (xm;m) графика функции касательная параллельна оси абсцисс (tgα = 0) или не существует.

Следствие 1. Дифференцируемая функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках x0 (a,b), в которых f'(x0) = 0.

Следствие 2. Из того факта, что f'(x0) = 0 не всегда следует, что x0 - точка экстремума функции, то есть необходимое условие не является достаточным.

Пример 4.2. Производная функции f(x) = x3: f'(x) = 3x2 в точке х = 0 обращается в нуль, но в этой точке не существует экстремума (Рис. 5).

Определение 4.7. Критическими точками функции f(x) называются такие точки хк, в которых первая производная обращается в нуль или не существует:

0, f '(xk ) = .

Пример 4.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y =

=x5 - 5x4 + 5x3 + 1 на отрезке [-1;2].

Ре ш е н и е. Для нахождения унаиб и унаим достаточно найти критические точки, вычислить в них значения функции и сравнить со значениями функции

на концах отрезка.

Найдем производную: y' = 5x4 - 20x3 + 15x2 = 5x2(x2 - 4x + 3) и

приравняем ее к нулю: 5x2(x2 - 4x + 3) = 0 => критические точки x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3, f(x1) = 1, f(x2) = 2, f(x3) = -26, f(a) = f(-1) = -10, f(b) = f(2) = -7. Откуда

унаиб = 2, yнаим = -26.

0 т в е т: На отрезке [-1;2] функция принимает наибольшее значение унаиб

= 2 и наименьшее значение унаим = -26.

Теорема 4.4. (Достаточное условие существования экстремума) Если при переходе слева направо через критическую точку хк дифференцируемой функции f(x) производная меняет знак:

а) с плюса на минус, то хк - точка максимума, б) с минуса на плюс, то хк - точка минимума.

Замечание. В теореме 4.4. рассматриваются только дифференцируемые, кроме, быть может, точки хк, и всюду непрерывные функции. Требование непрерывности функции f(x) в точке х0 является существенным. Это подтверждается на примере функции:

которая в точке х0 = 0 терпит разрыв первого рода (убедитесь в этом самостоятельно и постройте график). Точка х0 = 0 является граничной между интервалом возрастания (-∞;0) и интервалом убывания (0;+∞) функции, т.е. при переходе через x0 = 0 производная меняет свой знак с плюса на минус, а

27

максимума в этой точке нет.

Рассмотрим пример оформления исследования функции с помощью таблицы.

Пример 4.4. Найти экстремум и интервалы монотонности функции:

f(x) = 3 x2 (x −5).

Ре ш е н и е. Хf = (-∞,+∞),

В данном случае f'(x) = 0 при х = 2; f'(x) не существует при х = 0. Имеем две критические точки: х1 = 0 и х2 = 2.Составим таблицу 1, которая является ответом на поставленную задачу.

Обратите внимание при построении графика:

а) если в точке экстремума y' = 0, то экстремум "круглый" (касательная параллельна оси Ох);

б) если в точке экстремума y' не существует, то экстремум "острый".

Эскиз графика функции f (x) = 3 x2 (x −5) представлен на рис.14.

Рис. 14 Рис. 15 В практике большое значение имеют экстремальные задачи: получение

максимальных доходов предприятия, раскрой материала с минимумом отходов, обеспечение максимума дальности полета при минимальном расходе топлива и т.п. При решении таких задач требуется найти наибольшее или наименьшее значения функции, то есть провести оптимизацию процесса.

Пример 4.5. Найти наибольшее значение функции y = 18x2 + 8x3 - 3x4 на множестве R.

28

Р е ш е н и е. Этот пример отличается от примера 4.3 тем, что функция рассматривается не на конечном промежутке, а на всей числовой оси, так как Хf = (-∞;+∞). Здесь мы не можем найти значения функции на концах промежутка и сравнить их со значениями функции в критических точках. Решить задачу поможет нам нахождение интервалов возрастания и убывания функции: y′= 0, => y' = 36x + 24x2 - 12x3 = -12x(x - 3)(x + 1) = 0.

Критические точки: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 3. Составим таблицу 2.

Из таблицы 2 видно, что функция имеет два максимума: ymax(-1) = 7; ymax(3) = = 135.

Кроме того, на (-∞;-1) функция возрастает до ymax = 7, а на (3;+∞) функция убывает от ymax = 135. Отсюда делаем вывод, что наибольшего

значения функция достигает в точке х = 3: унаиб(3) = 135.

На экзаменах могут быть комбинированные задачи следующего типа: Пример 4.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х +

х-1 на отрезке [0,5;1,5]. Записать уравнение касательной к кривой в точке х = 0,5. Построить график функции на интервале (0;+∞) и показать на нем касательную.

Р е ш е н и е. 1) Функция f(x) на [0,5;1,5] определена и непрерывна. Найдем критические точки, для чего найдем производную:

Производная существует на [0,5;1,5]: y' = 0 => (x2 - 1)/x2 = 0 => x2 - 1 = 0 => x = ±1, x1 = 1 [0,5;1,5], x2 = -1 [0,5;1,5]. Производная не существует при х3= 0 [0,5;1,5]. Вычислим f(1) = 2, f(1/2) = 5/2, f(3/2) = 13/6. Откуда

2)Уравнение касательной имеет вид y - y0 = f'(x0)(x - x0), где x0 = 0,5; y0 =

=2,5; f'(0,5) = 1 – 4 = -3. Получим у - 0,5 = -3(х - 0,5) => у = -3х + 4

(касательная).

3)Строим график функции по трем точкам, учитывая, что при х → 0, у → х - 1, при x → ∞ х – 1 → 0 и у → х (Рис. 15). Касательную строим по двум точкам (x0;y0) = (0,5;2,5) и (1,1) (Рис. 15).

4.2. Асимптоты графика функции. Полное исследование функции

График функции по нескольким точкам трудно построить без качественных погрешностей, если не учитывать поведение функции на бесконечной ветви (Пр. 4.6, Рис. 15).

29

Определение 4.8. Асимптотой графика кривой y = f(x) называется такая прямая, расстояние до которой от переменной точки, движущейся по бесконечной ветви кривой, стремится к нулю.

В примере 4.6. вертикальной асимптотой является прямая х = 0, так как

поведение функции вблизи вертикальной асимптоты, находят левый и правый пределы f(1 - 0) и f(1 + 0):

где: (- 0) и (+ 0) - символические записи соответственно отрицательной и положительной бесконечно малых величин.

Кроме вертикальных асимптот, функция может иметь наклонные асимптоты (Рис. 15), а в частном случае - горизонтальные. Эти асимптоты

находят по уравнению прямой с угловым коэффициентом y = kx + b при х →

±∞ .

Пусть функция y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx +b при х →

Далее, переходя к пределу в равенстве (1), получим: b = lim [f(x) - kx],

x→+∞

причем наклонная асимптота при х → +∞ существует тогда и только тогда, когда оба эти предела существуют и конечны, в противном случае кривая f(x) не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично находится уравнение наклонной асимптоты при х → -∞. Если k = 0, то асимптота будет горизонтальной и ее уравнение имеет вид: y =

b, где b = lim f(x).

x→±∞

Пример 4.8. Найти асимптоты кривой y = x2/(x - 1).

Р е ш е н и е. Х = (-∞;1)U(1;+∞); x = 1 - точка бесконечного разрыва функции (2-го рода).

Вертикальная асимптота х = 1:

Наклонная асимптота y = kx + b:

Наклонная асимптота: y = x + 1 (Рис. 16).

Рис. 16 Рис. 17 Способ построения графика функции по "точкам" даже с

использованием асимптот не является совершенным. Применение аппарата дифференцирования при построении графика функции значительно облегчает задачу.

При исследовании функций и построении их графиков можно использовать следующую схему. Обратите на нее особое внимание, так как с ее помощью мы будем в дальнейшем изучать свойства и строить графики основных элементарных функций.

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.

3.Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции (если это не вызывает затруднений).

4.Исследовать функцию на непрерывность, найти и исследовать точки разрыва.

5.Найти асимптоты графика функции.

31

6.Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

7.Построить график функции, используя полученные результаты исследования. Для уточнения графика можно найти несколько дополнительных точек, составив таблицу значений функции.

Примечание. Рекомендуется результаты исследований наносить на чертеж постепенно, по ходу работы по схеме. В этом случае ошибка, которую можно допустить при исследовании, обнаружится сразу, как только данный

пункт схемы придет в противоречие с предыдущими результатами. Пример 4.9. Построить график функции y = 5(x - 2)/x2.

Р е ш е н и е.

1.Область определения функции Х = (-∞;0)U(0;+∞).

2.Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида), так как f(-

x)= -5(x + 2)/x2 и f(-x) ≠ f(x), f(-x) ≠ -f(x). Поэтому график функции не симметричен относительно оси Оу и начала координат. Функция непериодическая.

3.Точки пересечения с осью Ох:

y = 0 => 5(x-2)/x2 = 0 => x = 2 => A(2;0).

Кривая с осью Оу не пересекается, так как точка х = 0 Х. Интервалы знакопостоянства укажем в таблице 3.

Знаки функции легко определить, если взять по одной пробной точке в каждом интервале. Например, х = -1, у = -15, т.е. у < 0 и т.д.

4. Функция элементарная, следовательно непрерывна в области определения; х = 0 - точка разрыва функции. Исследуем ее:

откуда х = 0 - точка разрыва 2-го рода.

5. Асимптоты. Из п.4 следует, что х = 0 - уравнение вертикальной

Горизонтальная асимптота у = 0.

6. Для нахождения промежутков монотонности функции и ее экстремумов найдем производную:

y' = 0 при х = 4 Х.

Имеем одну критическую точку х = 4. Составим таблицу 4, разбив Х на интервалы.

В точке х = 4 максимальное значение функции ymax(4) ≈ 0,6; максимум находится в точке Cmax(4;0,6).

7. Строим график функции (Рис. 17).

4.3. Преобразование графика функции

Часто в исследовательских задачах достаточно только приближенно построить график функции, отразив все его характерные свойства. При необходимости экстремальные и другие точки могут быть уточнены дополнительно.

В примере 4.6 (Рис.15) функция у = х + х-1 представляет сумму двух других элементарных функций у1 = х и у2 = х-1, графики которых хорошо известны (Рис.5, Рис.7). Изобразив на одном рисунке и в одном масштабе тонкими линиями графики функций у1, у2 и сложив их ординаты в необходимом для построения плавного графика функции у количестве значений аргумента, например, х = ±3, ±2, ±1, ±1/2, ±1/3, можно легко получить достаточно точный график (на рис.18 при х = 2 у1 = 2, у2 = 0,5, у =

у1 + у2 = 2 + 0,5 = 2,5).

Рис. 18

33

Такой способ практически исключает качественные ошибки при построении графика, которые как раз и искажают информацию о поведении функции. Так, если в приведенном примере строить график, используя таблицу значений без точек х = 0; ± 1/2; ± 1/3 (что обычно многие и делают) и соединить остальные точки, то можно получить неверную непрерывную кривую (на рис. 18 - пунктир).

Методы преобразования графиков функций мы сформулируем в виде правил, которые необходимо хорошо запомнить, так как при выполнении контрольных заданий они Вам пригодятся.

Правило 1. Для построения графика функции f(x) = ф(х) + + g(x) по известным графикам функций ф(х) и g(x) достаточно сложить ординаты графиков ф(х) и g(x) в соответствующих абсциссах и провести по ним плавную кривую.

Правило 2. При построении графика f(x) = ф(х) - g(x) соответствующие ординаты вычитают.

По аналогии с правилами 1 и 2 легко сформулировать правила построения графиков произведения и частного функций.

Правило 3. Для построения графика функции f(x) = ф(х) g(x) по известным графикам функций ф(х) и g(x) достаточно перемножить ординаты исходных графиков в соответствующих точках и по полученным точкам провести плавную кривую.

Правило 4. При построении графика функции f(x) = ф(х)/g(x) соответствующие ординаты делят, а в точках g(x) = 0 проводят вертикальные асимптоты.

Проверьте свои силы и постройте график функции у = х2/(х - 1) согласно правилу 4 по исходным графикам функций у1 = х2 (Рис. 4) и у2 = х - 1. Результат сравните с рис. 16.

В частных случаях функция g(x) в правилах 1 - 4 может быть постоянной величиной.

Сформулируем правила сдвига и деформации графика функции ф(х), если по нему необходимо построить график функции, представленной в "стандартном" виде: f(x) = cф[d(x + а)] + b, где: а, b, c, d - постоянные коэффициенты.

Правило 5. Если к аргументу прибавляется число а, то график функции f(x) = ф(х + а) смешается влево (а > 0) по оси Ох на величину а относительно исходного графика функции ф(х).

На рис.19 показано применение правила 5 для построения графиков функций y1 = (x + 2)2 и y2 = (x - 2)2 по исходному графику функции y0 = x2 смещением соответственно влево и вправо на 2 единицы по оси Ох.

Правило 6. Если к функции прибавляется число b, то график функции f(x) = ф(х) + b смещается вверх (при b > 0) по оси Оy на величину b относительно исходного.

На рис.20 изображены графики функций у1 = х3 + 1 и у2 = х3 - 2, полученные из исходного y0 = ф(х) = х3 смещением вдоль оси Оy на 1 вверх и 2 вниз соответственно.

34

Заметим, что если произвести параллельный перенос осей координат, поместив начало координат в точку О'(-а;b), то относительно новой системы координат х'О'у' график функции f(x) = ф(х + а) + b занимает такое же положение, что и график функции у = ф(х) относительно системы хОу.

Сформулируем практическое правило построения функции f(x) = ф(х +

а) + b.

1.Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало новой системы в точку О'(-а;b).

2.Построим в новой системе координат график функции y' = ф(x'). Полученный график и есть график функции f(x) = ф(х + а) + b относительно системы координат хОу.

Пример 4.10. Построить график функции y = x +1 2 −1.

Р е ш е н и е. Произведем параллельный перенос осей координат, поместив начало системы в точку О'(-2;-1). В системе координат х'О'у' построим график функции y' = 1/x', который является искомым относительно системы координат хОу (Рис. 21). Это известная Вам гипербола, у которой оси О'х' и О'у' являются асимптотами.

35

Параллельный перенос осей целесообразен, если коэффициенты c = d = 1, так как в этом случае построение в новой системе координат не вызывает затруднений в смысле сохранения масштаба (а и b часто не являются целыми числами). Поэтому при c, d = 1 необходимо перед сдвигом графика осуществить его деформацию (сжатие или растяжение) по следующим правилам.

Правило 7. Если аргумент функции умножается на величину d > 1: f(x) = ф(dx), то график ф(х) сжимается в d раз вдоль оси Ох, а в случае 0 < d < 1 - растягивается для получения графика f(x).

Правило 8. В случае d < 0 кроме деформации происходит еще и зеркальное отражение исходного графика относительно оси Оу.

Правило 9. Если исходная функция умножается на величину с: f(x) = cф(х), то при с > 0 график исходной функции растягивается вдоль оси Оу, а при 0 < c < 1 сжимается для получения графика f(x) = cф(х).

Правило 10. При с < 0 кроме деформации необходимо осуществить зеркальное отражение исходного графика функции ф(х) относительно оси Ох для получения графика функции f(x) = cф(х).

Пример 4.10. Дан график y = f(x). Построить график функции y = -f(x) (c = -1).

Ре ш е н и е. Графики функций y = f(x) и y = -f(x) симметричны относительно оси абсцисс. Значит, график функции y = -f(x) может быть

получен из графика функции y = f(x) зеркальным отражением последнего от оси Ох. На рис. 22 изображены графики функций у = х2 и у = -х2.

Правилами 5-10 можно пользоваться, если функция представлена в

стандартном виде.

Пример 4.11. Построить график функции у = 2х2 + 4х + 5.

Ре ш е н и е. Для построения можно воспользоваться правилами 1 и 3,

что потребует выполнить построение по меньшей мере 6 графиков функций: х2, 2х2, х, 4х , 2х2 + 4х, 2х2 + 4х +5 и является нерациональным. Поэтому

преобразуем функцию у к стандартному виду, выделяя полный квадрат:

y = 2x2 + 4x + 5 = 2(x2 + 2x + 5/2) = 2[(x2 + 2x + 1) + 3/2] = 2(x + 1)2 + 3,

вкотором а = 1, b = 3, c = 2.

Построим график этой функции в следующей последовательности (Рис. 23):

37

линейной функции есть гипербола с асимптотами x = -d/c, y = а/c (Рис. 24). Согласно предыдущему замечанию график функции y = к/x можно

построить в системе координат х′О′у′, а затем построить новую систему координат хОу, в которой прежняя система координат будет являться асимптотами графика дробно-линейной функции.

Обратной функцией по отношению к исходной у является y

= b − dx

cx − a

(проверьте самостоятельно!).

Функции у и y являются монотонными одновременно: если y -

возрастающая, то и y - возрастающая, если у↓, то и y ↓.

Правило 11. Для построения графика обратной функции f(x) = ф-1(х) необходимо отразить график функции ф(х) относительно прямой у = х.

Заметим, что если исходная функция ф(х) не является монотонной, например, ф(х) = х2, то в качестве графика обратной функции выбирают

только однозначную ветвь, например, ф-1(х) = + x .

Правило 12. Если исходная функция ф(х) имеет период Т, то f(x) = ф[d(x + а)] имеет период Т/d, то есть ее график сжимается в d раз вдоль оси Ох относительно исходного.

В качестве упражнения постройте график функции f(x) = {2x} самостоятельно по исходному графику ф(х) = {x} (Рис.10).

Наибольшую сложность представляет построение графика функции, содержащей операцию модуля. В этом случае вначале выполняют все необходимые преобразования графиков по правилам 1-12, считая, что модуль в выражении функции отсутствует, затем руководствуются следующими правилами.

Правило 13. При построении графика функции f (x) = ϕ(x) части

исходного графика, соответствующего ф(х) ≥ 0, оставляют без изменения, а части графика при ф(х) < 0 отражают относительно оси Ох.

Пример 4.12. Построить график функции y = 3 − 2x − x2 .

Р е ш е н и е. Преобразуем функцию

y = 3 −2x − x2 = −(x2 +2x −3 +1−1) = −(x2 +2x +1−4) ,

то есть y = −(x +1)2 + 4 (выделили полный квадрат).

1. Строим параболу у = -(х - 1)2 + 4. Вершина ее лежит в точке О'(-1;4), ветви направлены вниз. Целесообразно найти точки пересечения с осью Ох:

2. Строим график y = 3 − 2x − x2 . Для этого участки параболы,

38

расположенные ниже оси Ох, заменяем на их зеркальное отражение от оси Ох. Построение смотрите на рис. 25.

исходного графика при х < 0 отбрасывается, а часть при х ≥ 0 повторяется зеркальным отражением относительно оси Оу. Полученные две части

(исходная при х ≥ 0 и повторенная) образуют график функции y =ϕ( x ). Пример 4.13. На рис. 26 сплошными линиями показан график функции

Построение графика в примере 4.13 по точкам вызвало бы больше трудностей, чем использование правил сдвига и деформации, поэтому изучение математики и других предметов в вузе невозможно без практических навыков построения графиков с использованием правил 1-14.

39

5.ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Дана функция f: каждому двухзначному натуральному числу, оканчивающемуся цифрой 5, ставится в соответствие его квадрат. Найдите Xf

иYf.

2.Дайте определение функции.

3.Что называется графиком функции? Всякая ли кривая на плоскости является графиком некоторой функции?

4.Какая функция называется обратной по отношению к данной функции?

5.Любая ли функция имеет обратную функцию? Как называется функция, которая имеет обратную?

6.Что собой представляют графики взаимно обратных функций?

7.Дайте определение четной функции, нечетной функции.

8.Дайте определение элементарной функции.

9.Какая функция называется сложной?

10.Укажите Хf для функций:

11. Укажите Yf для функций:

а) f (x) = x2 −1; б) f (x) = 1 − x2 ; в) f (x) =1/ x2 .

12.Представьте функции задания 11 в виде композиции нескольких функций. Можно ли назвать их элементарными?

13.Проведите анализ частных случаев и постройте графики степенных

функций у = хα, где α Q\Z.

14.Какими способами может быть задана функция?

15.Постройте графики следующих функций:

16.Приведите примеры ограниченных сверху функций.

17.Приведите примеры убывающих и строго убывающих функций.

18.Найдите функции, обратные к данным:

19.Докажите, что:

а) график четной функции симметричен относительно оси ординат; б) график нечетной функции симметричен относительно начала

координат.

20.Какие из следующих функций являются четными, какие нечетными,

акакие общего вида:

21. Докажите, что следующие функции не являются периодическими:

23.Дайте определение предела функции при х → x0.

24.Чем отличаются определения предела функции при х → x0 и х → ∞?

25.Вычислите пределы:

26.Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?

27.Какая функция называется непрерывной в точке? На множестве?

28.Чем отличаются точки разрыва 1 рода от точек разрыва 2 рода?

29.Найдите точки разрыва функции f(x). Найдите односторонние пределы в точках разрыва. Укажите вид разрыва. Постройте схематично график функции вблизи точек разрыва: