Функции и графики (90

заведующий кафедрой уравнений математической физики Самарского государственного университета, профессор, доктор физико-математических наук Пулькина Л.С.

доцент Самарского государственного аэрокосмического университета, кандидат технических наук Л. В. Коломиец

3

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………… 4

1.3. Ограниченная, обратная, монотонная, четная, нечетная и периодическая

функции……………………….…………………………………..……...….........12

4.1.Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции………….........................................................................….....................25

4.2.Асимптоты графика функции. Полное исследование

4

ВВЕДЕНИЕ

. В учебном пособии «Функции и графики» рассмотрены следующие вопросы: элементарные функции одной переменной, аналитический метод изучения функций с помощью предела, базовые понятия непрерывности и производной функции. Большое внимание в пособии уделено технике построения графиков функций с параметрами и их исследованию.

В пособии для иллюстрации материала используются только алгебраические функции, широко применяемые при моделировании и аппроксимации в менеджменте, а также представлении функций в виде степенных рядов. Это позволяет, во-первых, не отвлекаться на изучение свойств остальных элементарных функций, а, во-вторых, усваивать изложенные в пособии вопросы еще до знакомства, например, с показательными и логарифмическими функциями и изучать последние после усвоения понятий функции и ее графика как таковых.

Учебное пособие «Функции и графики» является естественным дополнением и промежуточным звеном к методическим указаниям «Введение в анализ» и «Решение задач по дифференциальному исчислению», активно используемым в учебном процессе на первом курсе Института энергетики и транспорта.

Удачным образом работа вписывается и в ряд методических указаний «Числовые множества» и «Применение производной. Тригонометрические функции, тождества и уравнения», а содержащиеся в ней контрольные задания могут быть использованы при организации и проведении очных и заочных подготовительных курсов для поступления в ИЭТ по специальности 061100, требующей углубленного изучения школьного курса математики.

Материал пособия базируется на программе школьной математики и не требует привлечения университетских учебников. Это дает возможность подготовиться к изучению математического анализа самостоятельно еще до поступления в высшее учебное заведение и более уверенно решать задачи из последнего раздела единого государственного экзамена.

Материал изложен в соответствии с терминами и определениями «Математической энциклопедии», соответствует требованиям по подготовке рукописей РИО СГАУ.

5

1.ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1.Функция. Область определения и множество значений функции. Сложная и элементарная функции

Площадь квадрата Sкв. и прямоугольника Sпр. задаются формулами:

Sкв. = a2, Sпр. = ab,

где: a, b - длины сторон данных фигур.

Из определения 2.6 /1/ многочлен задается выражением:

Pn(x) = aоxn + a1xn-1 + ... + an-1x + an,

где: a0, a1, ..., an - постоянные коэффициенты.

Если во всех этих формулах a, b и x будут переменными величинами, то каждому значению этих величин будут соответствовать вполне определенные

значения Sкв., Sпр., Pn(x). В этом случае говорят, что Sкв., Sпр., Pn(x) - есть функции, a, b, x - их аргументы. Причем, Sкв. и Pn(x) - функции одной

переменной, а Sпр.- функция двух переменных.

В данном учебном пособии мы будем рассматривать только функции одной переменной. Дадим точное математическое определение функции одной переменной с помощью символов математической логики и использованием элементов теории множеств /1/.

Определение 1.1. Пусть заданы два множества X и Y (Рис.1), такие, что любому элементу х из множества X ( x X) поставлен в соответствие единственный элемент y из множества Y (! у Y), который обозначен через y

=f(x). Тогда говорят, что на множестве X задана функция одной переменной y

=f(x) или в другом обозначении f: X → Y. При этом множество X называется областью определения функции f, а Y – областью или множеством ее значений, y называется образом элемента x, а x - прообразом элемента y.

Первое обозначение функции y = f(x) используется в аналитических преобразованиях математических формул, а второе показывает, что между

множествами X и Y установлено соответствие Х → Y, по которому множество Х отображается на множество Y.

Рис. 1

6

В дальнейшем мы будем рассматривать только числовые функции одной переменной, заданные на множестве действительных чисел R.

Определение 1.2. Действительной функцией называется f: Х → Y, где Х R, Y R (Х и Y являются подмножествами множества действительных чисел

R).

Пример 1.1. Функции y1 = x2 = f(x), X = R, Y = R0 = [0;+∞] и y2 = х4 =

Φ(х), X = R, Y = R0 различны, но устанавливают соответствия между одними и теми же числовыми множествами f: R → R0 и Φ: R → R0.

Пример 1.2. Числовая последовательность {xn} устанавливает соответствие между множествами N → R, то есть xn = f(n), где n N, xn R.

Таким образом, по определению 1.1 кроме функциональной зависимости f(x) необходимо задать и область определения Х, так как функции, имеющие разные области определения, при прочих равных условиях являются различными.

Р е ш е н и е.

/1/).

Решим систему неравенств

Определение 1.3. Пусть заданы функции y = f(x) и z = F(y), причем область определения функции F (XF) содержит область значений функции f (Yf XF), тогда x Xf соответствует z, такое, что z = F(y), где y = f(x). Эта функция, определенная соответствием z = F[f(x)], называется сложной функцией или композицией функций f и F.

Например, всякая рациональная функция является композицией четырех арифметических действий, то есть композицией функций F + f, F - f, F f, F/f (f ≠ 0), и может быть представлена в виде отношения: у = Pn(x)/Pm(x), где: Pn и Pm - многочлены /1/:

состоящих из многочленов, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и получающихся из перечисленных

7

выше с помощью четырех арифметических действий и композиции (образования сложной функции), примененных конечное число раз.

Заметим, что функции y = x и y = x x x... не являются

элементарными, так как первая состоит из двух аналитических выражений:

x, если x ≥ 0, y = x =

− x, если x < 0;

а вторая содержит бесконечное число операций извлечения корня.

1.2. График и способы задания функции

Определение 1.5. Множество упорядоченных пар чисел {(x,f(x)} называется графиком функции f: X → Y, где x X, y Y.

График функции наглядно представляют (строят) в виде рисунка в декартовой или другой системах координат /2/.

Функция может быть задана двумя способами: аналитическим и табличным.

Определение 1.6. Аналитическим называется способ задания функции с помощью формул или, что то же самое, словесного описания через некоторый запас изученных и специально обозначенных функций с использованием алгебраических действий, композиции и предельных переходов (Гл. 2).

Аналитическим способом функция может быть задана:

часть кривой на рис. 3). Точки нижней части кривой также удовлетворяют уравнению, но отбрасываются в силу требования однозначности функции по определению 1.1, так как задают уже другую функцию.

8

Определение 1.7. Табличным называется способ задания функции с помощью таблицы значений или массива в памяти ЭВМ.

Важным классом элементарных функций являются рациональные, которые включают в себя подкласс степенных функций y = xn/m, где n/m R. В задачах вступительных экзаменов встречаются частные случаи степенных функций:

а) при n/m = 2k, где k N, область определения функции Xf = (-∞,+∞), множество значений функции Yf = [0, +∞) (Рис. 4);

б) при n/m = 2k-1 Xf = Yf = (-∞,+∞) (Рис. 5);

в) при n/m = -2k Xf = (-∞,0)U(0,+∞), Yf = (0,+∞) (Рис. 6); г) при n/m = -(2k - 1) Xf = Yf = (-∞,0)U(0,+∞) (Рис. 7).

Рассмотренные графики степенных функций необходимо запомнить наизусть и воспроизводить при решении экзаменационных задач быстро и без ошибок.

9

Рациональные функции и иррациональные, содержащие возведение рациональной функции аргумента х в нецелую степень (Пр. 1.3), относятся к алгебраическим.

Определение 1.8. Алгебраической называется функция у(х),

удовлетворяющая уравнению вида:

P0(x)yn + P1(x)yn-1 +...+ Pn(x) = 0,

где: Pi(x) - многочлены степени i от x, i = 1, 2, ..., n.

Заметим, что функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Пример 1.4. Построить график функции

y = (x +3)2 + 4 (2x −1)4 + 3 x3 .

Р е ш е н и е. Используя определение арифметического корня и корня n-й степени /1/, можно записать:

y = x +3 + 2x −1 + x, x R .

Разобьем числовую ось на интервалы, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют постоянный знак (-∞;-3], (-3;1/2], (1/2;+∞):

График функции y = x +3 + 2x −1 + x показан на рис. 8. Заметим, что графики подобных функций всегда непрерывны.

10

При x < -3 график данной функции совпадает с графиком параболы y = - x2 -

3x - 4. При x ≥ -3 график данной функции совпадает с графиком параболы y = x2 + 3x - 4.

График всей функции будет иметь вид, представленный на рис. 9.

1.3.Ограниченная, обратная, монотонная, четная, нечетная

ипериодическая функции

Определение 1.9. Функция называется ограниченной сверху (снизу), если

x X выполняется f(x) ≤ С = const|x (f(x) ≥ С = const|x).

На рис. 2 показан график функции, ограниченной как сверху (C1 = 1), так и снизу (С2 = -1). Функции, показанные на рис. 4 и рис. 6 ограничены только снизу (С = 0), а на рис. 5 и рис. 7 - неограниченные.

Определение 1.1О. Совокупность всевозможных упорядоченных пар вида (y,f--1(y)), y Y называется обратной функцией для f и обозначается f--1. Таким образом, f--1 ставит в соответствие каждому элементу y Y его единственный прообраз f--1(y) = х Х (Рис. 1).

Определение 1.11. Функция f(x) называется возрастающей, если x1, x2 X, x2 > x1 => f(x2) ≥ f(x1), и строго возрастающей, если f(x2) > f(x1). На рис. 5 показаны графики строго возрастающих функций, на рис. 7 - строго убывающих.

Свойство 1. Монотонная на Х функция (только убывающая или только возрастающая) имеет однозначную обратную функцию, то есть является обратимой на множестве Х.

Пример 1.6. Найдите функцию, обратную данной y = 3x2 (x ≥ 0).

Р е ш е н и е. Так как y = 3x2 при x ≥ 0 является монотонно возрастающей

Свойство 2. Графики прямой и обратной функций симметричны относительно линии y = x (проверьте на примере 1.6).

Определение 1.12. Функция f : R → R называется четной, если для x R: f(-x) = f(x).

Определение 1.13. Функция f : R → R является нечетной, если x R: f(- x) = -f(x).

где "ч" - четная функция, "н/ч" - нечетная функция.

Пример 1.7. Какие из приведенных ниже функций являются четными и

11

какие нечетными:

а) f(x) = x2 + 2 x - 3, f(-x) = (-x)2 + 2 − x - 3 = x2 + 2 x - 3.

Значит, f(x) = f(-x), т.е. данная функция четная.

б) f(x) = x2 + 2x - 3, f(-x) = (-x)2 + 2(-x) - 3 = x2 - 2x - 3.

При сравнении с f(x) видим, что f(x) ≠ f(-x), f(x) ≠ -f(-x), т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной. Такую функцию будем называть функцией общего вида.

Свойство 3. График четной функции симметричен относительно оси Оу

(Рис. 4, рис. 6).

Свойство 4. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (Рис. 2, рис. 5, рис. 7).

Определение 1.14. Функция f: X → Y называется периодической, если (

Т > 0), ( х Х): f(x + T) = f(x).

Определение 1.15. Периодом функции f называется наименьшее из чисел Т, указанных в определении 1.14.

Пример 1.8. Найдите период функции

f(x) = {х} = x - [x],

где: {x} - дробная часть числа,

[x]- целая часть числа, и постройте ее график.

Ре ш е н и е. Периодом этой функции является Т = 1. График функции показан на рис.10.

Свойство 5. Если y = f(x) имеет период Т, то функция y = f(kx), k N имеет период Т/k.

Рис. 10

12

2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

2.1Предел функции. Бесконечно большая, малая

иограниченная функции

Рассмотрим определение предела функции y = f(x) при x → x0. Пусть дана функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0 (то есть в интервале (x0 - δ;x0 + δ), где δ > 0), кроме, быть может, самой точки x0.

Определение 2.1. Число y0 называется пределом функции у = f(x) при х →

y0 , то пишут lim f (x) = y0 .

x→x0

Из определения 2.1. следует, что как только x (x0 - δ,x0 + δ) то функция, имеющая предел в точке x0, должна попасть в интервал y (y0 - ε,y0 + ε), то есть внутрь полосы шириной 2ε (Рис.11).

Рис. 11 Рис. 12 Число ε > 0 задается совершенно произвольно, оно может быть сколь

угодно малым, а δ чаще всего зависит от ε: δ = δ(ε). Как видно из рис.11, при ε = 1 число δ = 0,5, и, как только аргумент попадает в интервал х (0,5;1,5), сразу функция не может выйти за пределы интервала у (2;4).

13

Пример 2.1. Пользуясь определением предела, доказать, что lim (2x - 1)

x→x0

= 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано f(x) = 2x + 1, y0 = 3, x0 = 1. Зададим произвольное ε > 0. Будем искать δ = δ(ε), такое, что как только x −1 < δ,

то сразу f (x) −3 < ε:

f (x) −3 = 2x +1−3 = 2x −2 = 2 x −1 <ε x −1 = x − x0 <ε / 2 =δ

(Рис.11). Откуда найдется δ = ε/2, то есть lim (2x - 1) = 3.

x→x0

Рассмотрим предел функции у = f(x) при х → ∞.

Определение 2.2. Число y0 называется пределом функции у = f(x) при х → ∞, если для ε>0 найдется такое число А(ε) > 0, что для всех х,

удовлетворяющих условию x > А, выполняется неравенство y − y0 <ε.

Если y0 существует, то пишут lim y = y0.

x→∞

Пример 2.2. Доказать, что lim (2x + 3)/x = 2.

x→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано f(x) = (2x + 3)/x, y0 = 2, х → ∞. Зададим произвольное ε > 0, рассмотрим

число А = 3, то есть как только аргумент превышает по модулю число 3, так функция попадает в интервал у (1;3) с центром в точке y0 = 2. Заметим, что при увеличении числа А интервал (y0 - ε,y0 + ε) сужается вокруг предела функции. Так, при А ≥ 6 y (1,5;2,5).

Бесконечно большие значения может принимать не только аргумент, но и сама функция. Бесконечно большая функция (ББФ) - функция f(x), которая в данном процессе изменения аргумента х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа.

Определение 2.3. Функция f(x), определенная в окрестности точки x0, называется бесконечно большой функцией при x → x0, если для числа М >

0 такое δ = δ(M) > 0, что для x ≠ x0 и таких, что x − x0 < δ, выполняется f (x) > M.

Этот факт записывается так: lim f(x) = ∞.

x→x0

14

Пример 2.3. Пользуясь определением ББФ, доказать, что f(x) = (2x + 3)/x при x → x0 = 0 является ББФ (Рис.12).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное М > 0 и по нему будем искать δ > 0 такое, что f (x) > M при x − x0 < δ:

Замечание 2. Во всех рассмотренных случаях определение предела дается с помощью двух неравенств. Одно из них характеризует меру приближения функции к своему пределу. Другое неравенство является условием для аргумента, при котором выполняется данное приближение.

Рассмотрим ограниченные и бесконечно малые функции, их свойства. Определение 2.4. Функция f(x) называется ограниченной на множестве Х,

если M> 0, такое, что для x X выполняется неравенство f (x) ≤ M. В

противном случае f(x) называется неограниченной на множестве X.

Пример 2.4. f(x) = x3 неограничена на X = (-∞;+∞), но ограничена на X = [-2,2] (Рис.5).

Определение 2.5. Функция α(x) называется, бесконечно малой (БМФ)

при x → x0, если lim α(x) = 0.

x→x0

Теорема 2.1. Если α(x) → 0 при x → x0 и не обращается в нуль, то f(x) = 1/α(x) → ∞.

2.2. Свойства пределов и их вычисление

Рассмотренные в разделе 2.1 бесконечно большие, малые и ограниченные функции используются при вычислении пределов.

Теорема 2.2. Если f(x) - элементарная функция, то lim f(x) = f(x0), где x0

x→x0

X.

Перед вычислением пределов изучим их свойства.

Свойство 1. Если f(x) = C = const при x → x0, то lim f(x) = С, то есть

x→x0

15

предел постоянной равен самой постоянной.

Свойство 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме их пределов, если каждый из них :

i=1

различающихся индексом i = 1, 2, ..., n.

Свойство 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению этих пределов, если они существуют в окрестности точки x0:

n

где знак ∏ означает произведение n сомножителей одинакового вида, i=1

различающихся индексом i = 1, 2, ..., n.

Из свойства 3 следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Свойство 4. Предел частного двух функций равен частному пределов, если они и предел знаменателя отличен от нуля:

Пример 2.6. Вычислить lim x/(x2 + 1).

x→−1

Р е ш е н и е. При вычислении предела элементарной функции используем все рассмотренные свойства:

Часто в точке х = x0 функция бывает неопределена, тогда используют теорему 2.1.

Р е ш е н и е. Рассмотрим предел обратной величины:

16

тогда (x - 1)/x - БМФ, а обратная величина x/(x - 1) – ББФ, и ее предел равен

Если при вычислении предела частного при x → x0 пределы числителя и знаменателя равны нулю, то есть числитель и знаменатель - бесконечно малые функции при x → x0, то говорят, что это неопределенность, которую записывают в виде 0/0.

Существуют неопределенности вида ∞/∞, ∞ - ∞, 0 ∞ и т.п. Для раскрытия этих неопределенностей применяют различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.

Р е ш е н и е. Непосредственной подстановкой х0 = 1/2 убеждаемся, что неопределенность имеет вид 0/0. То есть число x0 = 1/2 является одновременно корнем числителя и знаменателя /1/. Чтобы выделить множитель, равный нулю, применяют формулы сокращенного умножения и правила деления многочленов /1/:

8x3 - 1 = (2x - 1)(4x2 + 2x + 1),

Далее сокращают дробь на выделенный множитель:

ЗАПОМНИМ: Если при x → x0 ( x < ∞) получается неопределенность

вида 0/0, рекомендуется разделить числитель и знаменатель дроби на х - x0 = 0, так как x → x0 и х ≠ x0.

Р е ш е н и е. Чтобы освободиться от радикалов в числителе дроби, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы. Получим в числителе разность кубов этих чисел:

17

т.к. при условии х → ∞ х и х2 - ББФ, а 5/x, 3/x2, 4/x, 7/x2 - БМФ и их пределы равны нулю.

Теоремой 2.4 можно пользоваться и в тех случаях, когда в числителе или знаменателе дроби присутствуют радикалы.

знаки).

18

При раскрытии неопределенности вида ∞ - ∞ приводят разность к общему знаменателю или домножают и делят ее на сопряженное выражение.

Р е ш е н и е. Освободимся от радикалов в числителе:

так как высшая степень числителя и знаменателя совпадают, а суммарный коэффициент при х в знаменателе равен 2.

Неопределенность 0 ∞, приводится к рассмотренным видам 0/0 или ∞/∞ переводом одной из функций в знаменатель со степенью -1.

Часто вместо вычисления предела достаточно убедиться в его существовании. При этом важную роль играет следующее свойство.

Свойство 5 (Теорема Вейерштрасса). Всякая монотонная и ограниченная функция имеет предел.

2.3. Непрерывная функция и ее свойства. Односторонние пределы и точки разрыва функции.

Определение 2.6. Функция f: X → Y называется непрерывной в точке x0 X, если в этой точке ее предел, и он равен значению функции в этой точке:

19

Знак "-" в последнем выражении показывает, что положительному приращению аргумента x > 0 всегда соответствует отрицательное приращение функции (Рис.12), причем по модулю y отличается от х в 3/x02 раз.

Аналогичным образом можно показать, что все основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках их областей определения.

Теорема 2.6. Если действительные функции f: X → Y и g: X → Y непрерывны в точке x0 Х, то и их сумма f + g, произведение f g, композиция f[g], а при g(x0) ≠ 0 и частное f/g непрерывны в точке x0.

Из теоремы 2.5 следует, что не только основные, но и все элементарные функции непрерывны в областях их определения.

Определение 2.7. Односторонний предел - это предел функции в некоторой точке x0 справа (х > x0) или слева (x < x0), обозначаемый соответственно:

Если в точке x0 пределы как справа, так и слева, то двухсторонний

предел lim f (x) тогда и только тогда, когда пределы справа и слева равны

x→x0

между собой. В этом случае функция f(x) является непрерывной. Определение 2.8. Точкой разрыва функции f: X → Y называется точка x0

Х, в которой эта функция f не является непрерывной.

Иногда к точкам разрыва относят и точки x0, которые хотя и не принадлежат множеству определения функции, но в этом множестве содержатся их окрестности (x0 - δ;x0 + δ). Среди точек разрыва различают точки разрыва 1-го и 2-го рода.

Определение 2.9. Если точка x0 является точкой разрыва функции f(х), определенной в некоторой окрестности этой токи, кроме, быть может, ее самой, и существуют конечные пределы слева f(x0 - 0) и справа f(x0 + 0), то эта точка называется точкой разрыва 1-го рода. Число h = f(x0 + 0) - f(x0 - 0) называется скачком функции f(х) в точке x0, причем, если он равен нулю, то x0 называется точкой устранимого разрыва.

Пример 2.14. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = x/ x .

Р е ш е н и е. Эта функция не является элементарной, так как она не определена в точке х = 0 и задана различными аналитическими выражениями при х < 0 и при х > 0:

20

f(0) - не существует.

Точка x0 является точкой разрыва 1-го рода по определению 2.10. Скачок функции равен h = f(x0 + 0) - f(x0 - 0) = 2 (Рис.2).

Пример 2.15. f(x) = {x} - дробная часть числа х имеет бесконечное множество точек разрыва 1-го рода при всех х Z. Скачок равен -1 (Рис.10).

Определение 2.10. Если точка разрыва не является точкой разрыва 1-го рода, то она называется точкой разрыва 2-го рода.

Пример 2.16. Функция f(x) = (2x + 3)/x (Рис.12) имеет в точке x0 = 0 бесконечные пределы слева и справа:

поэтому x0 - точка разрыва 2-го рода.