лекция_5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ СИНТЕЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ

Постановка задач параметрического синтеза Место процедур синтеза в проектировании

Сущность проектирования заключается в принятии проектных реше­ний, обеспечивающих выполнение будущим объектом предъявляемых к нему требований. Синтез проектных решений — основа проектирования; от успешного выполнения процедуры синтеза в определяющей мере зависят потребительские свойства будущей продукции. Конечно, анализ — необходимая составная часть проектирования, служащая для верификации прини­маемых проектных решений. Именно анализ позволяет получить необхо­димую информацию для целенаправленного выполнения процедур синтеза в итерационном процессе проектирования. Поэтому синтез и анализ нераз­рывно связаны.

Как отмечено в главе 1, синтез подразделяют на параметрический и структурный. Проектирование начинается со структурного синтеза, при ко­тором генерируется принципиальное решение. Таким решением может быть облик будущего летательного аппарата, или физический принцип действия датчика, или одна из типовых конструкций двигателя, или функциональная схема микропроцессора. Но эти конструкции и схемы выбирают в парамет­рическом виде, т. е. без указания числовых значений параметров элементов. Поэтому прежде чем приступить к верификации проектного решения, нужно задать или рассчитать значения этих параметров, т. е. выполнить параметри­ческий синтез. Примерами результатов параметрического синтеза могут служить геометрические размеры деталей в механическом узле или в оптиче­ском приборе, параметры электрорадиоэлементов в электронной схеме, па­раметры режимов резания в технологической операции и т. п.

В случае если по результатам анализа проектное решение признается неокончательным, то начинается процесс последовательных приближений к приемлемому варианту проекта. Во многих приложениях для улучшения проекта удобнее варьировать значения параметров элементов, т. е. использо­вать параметрический синтез на базе многовариантного анализа. При этом задача параметрического синтеза может быть сформулирована как задача оп­ределения значений параметров элементов, наилучших с позиций удовлетво­рения требований технического задания при неизменной структуре проекти­руемого объекта. Тогда параметрический синтез называют параметрической оптимизацией или просто оптимизацией. Если параметрический синтез не приводит к успеху, то повторяют процедуры структурного синтеза, т. е. на очередных итерациях корректируют или перевыбирают структуру объекта.

Критерии оптимальности и целевые функции.

В САПР процедуры параметрического синтеза выполняются либо че­ловеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автомати­ческом режиме). В последнем случае находят применение несколько по­становок задач оптимизации.

Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров X, к которым отно­сятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. На­зовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности.

Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производст­ва, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выпол­нение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых до­пусками параметров элементов. Поэтому целью оптимизации становится максимизация процента выхода годных, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных пара­метров, но и их допуски.

Базовая задача оптимизации ставится как задача математического про­граммирования

extr F(X), (1.1)

XD,

D_х={Х|(Х)>0,ψ(Х)=0}, где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) па­раметров, (Х) и ψ(Х) —функции-ограничения; D_x —допустимая об­ласть в пространстве управляемых параметров. Запись (1.1) интерпретиру­ется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области.

Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений пара-' метров необходимо, во-первых, сформулировать задачу в виде (1.1), во-; вторых, решить задачу поиска экстремума F(X).

Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловле­на наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (1.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериаль­ной задачи к однокритериальной.

Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности.

В частном критерии среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных вы­ходных параметров относят к ограничениям задачи (1.1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается не­достаток частного критерия (рис. 1.1).

На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных па­раметров у₁ и у₂, для которых заданы условия работоспособности у₁ < Т₁ и у₂ < Т₂ . Кривая АВ является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с сущест­вующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называ­ют областью работоспособности. Множест­во точек пространства выходных параметров, из которых невозможно перемещение, приво­дящее к улучшению всех выходных парамет­ров, называют областью компромиссов, или областью Парето. Участок кривой АВ (см. рис. 1.1) относится к области Парето.

Рисунок 1.1. Области Парето и работоспособности

Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 1.1. выбрать пара­метр у₁, то результатом оптимизации будут параметры X, соответствую­щие точке В. Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты мож­но улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скоррек­тированной нормой в виде

у₂<Т₂+Δ,

где Δ — уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т. е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран пара­метр у₂, — оптимизация приведет в точку А.

Аддитивный критерий объединяет (свертывает) все выходные пара­метры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую со­бой взвешенную сумму частных критериев

(1.2)

где _j — весовой коэффициент, т — число выходных параметров.

Функция (1.2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспо­собности имеет вид у_j > T_j, то _j < 0.

Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к. выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (1.2) не входят нормы выходных параметров.

Аналогичные недостатки присущи и мультипликативному критерию, целевая функция которого имеет вид

(1.3)

Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (1.3), то мультипликатив­ный критерий превращается в аддитивный.

Более предпочтительным является максиминный критерий, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее не­благополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-ro выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра S_j, и этот за-

пас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. На­пример (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспо­собности становятся неравенствами в форме у_j < T_j):

или

где у_номj — номинальное значение, а δ_j — некоторая характеристика

рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. То­гда целевая функция в максиминном критерии есть

Здесь запись [1: т] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т. Задачу (1.1) при максиминном критерии конкретизируют следующим об­разом:

где допустимая область D_x определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры х_j:

x_imin < x_i < x_imax

Задачи оптимизации с учетом допусков

Содержательную сторону оптимизации с учетом допусков поясняет рис. 1.2, на котором представлены области работоспособности и допусковая в двумерном пространстве управ­ляемых параметров. Если собственно допуски заданы и не относятся к управляемым пара­метрам, то цель оптимизации — максималь­ным образом совместить эти области так, что­бы вероятность выхода за пределы области работоспособности была минимальной.

Рис. 1.2. Области допусковая и работоспособности

Решение этой задачи исключительно трудоемко, так как на каждом шаге оптимизации нужно выполнять оценку упомянутой вероятности мето­дами статистического анализа, а для сложных моделей объектов таким ме­тодом является метод статистических испытаний. Поэтому на практике по­добные задачи решают, принимая те или иные допущения.

Например, если допустить, что цель оптимизации достигается при со­вмещении центров областей работоспособности Э и допусковой Х_ном, то оптимизация сводится к задаче центрирования, т. е. к определению центра Э. Задачу центрирования обычно решают путем предварительного норми­рования управляемых параметров Х_j с последующим вписыванием гипер­куба с максимально возможными размерами в нормированную область ра­ботоспособности.

Примечание. Нормирование проводят таким образом, что допусковая область приобретает форму гиперкуба, полученного в результате нормирования.

Очевидно, что решение задачи центрирования позволяет не только оптимизировать номинальные значения проектных параметров, но и их до­пуски, если последние относятся к управляемым параметрам.