Расчет нелинейных магнитных цепей (96

Магнитный поток Φ′ в этом случае заведомо больше действи-

тельного, поскольку в выражении (6) Rм определяется только воздушным зазором, а магнитное сопротивление стали не учитывается.

Согласно выражению (6)

Данные для расчета и результаты расчета для удобства сводим в табл. 1. По данным расчета строим магнитную характеристику цепи, показанную на рис. 3.

Таблица 1

Рис. 3

11

При помощи этой характеристики по заданной намагничиваю-

щей силе IW =1,25 · 300 = 375 А определяем искомый магнитный поток Ф = 1,36 · 10–4 Вб.

3.РАЗВЕТВЛЕННАЯ МАГНИТНАЯ ЦЕПЬ

Вразветвленной магнитной цепи могут существовать несколько магнитных потоков, которые складываются или вычитаются на некоторых участках.

Различают симметричные и несимметричные разветвленные магнитные цепи.

Симметричные магнитные цепи. Если разветвленную маг-

нитную цепь (рис. 4) представить разделенной по оси симметрии

ААна две независимые части, то это не изменит условий работы цепи и магнитные потоки на всех ее участках сохранят свою величину. В связи с этим достаточно провести расчет одной половины симметричной магнитной цепи. Поскольку эта цепь является неразветвленной, к ее расчету применима методика, рассмотренная в примерах 1 и 2.

Магнитный поток Ф3 в среднем стержне магнитопровода (см. рис. 4) равен сумме магнитных потоков Ф1 и Ф2, замыкающихся по двум крайним стержням. Учитывая симметрию магнитной цепи, т. е. одинаковое магнитное сопротивление ее участков, по

которым замыкаются потоки Ф1 и Ф2, запишем Ф1 = Ф2 = Ф/2. Таким образом, разрезая магнитопровод вдоль оси симметрии АА, получаем две одинаковые неразветвленные магнитные цепи.

Для симметричной разветвленной магнитной цепи (см. рис. 4) намагничивающую силу катушки можно вычислить как сумму магнитных напряжений по одному из контуров, например левому.

Несимметричные магнитные цепи. Среди разветвленных магнитных цепей наиболее часто встречаются трехстержневые устройства, аналогом которых является двухконтурная нелинейная

электрическая цепь. По аналогии с разветвленной электрической цепью такая цепь может быть разбита на ветви и узлы1.

____________

1 Под узлом разветвленной магнитной цепи подразумевается точка, в которой сходятся три или большее число средних линий магнитной индукции. Это понятие является условным, так как размеры поперечных сечений ветвей магнитной цепи соизмеримы с длинами ветвей. При этом под длинами ветвей магнитной цепи понимаются расстояния между соседними узлами вдоль средней линии магнитной индукции.

12

Рис. 4

Разветвленные магнитные цепи, так же, как и неразветвленные, обычно являются нелинейными и расчет их приходится проводить с помощью вебер-амперных характеристик ветвей Ф = f (Uм), ко-

торые строятся на основе известных кривых намагничивания. Однократный расчет без построения вебер-амперных характе-

ристик возможен лишь в некоторых частных случаях. Так, однократный расчет проводится: а) для цепи, в которой каждая ветвь имеет одинаковые сечение и магнитную проницаемость по всей длине, соединение ветвей последовательно-параллельное, магнит-

ный поток задан в одном из крайних стержней (например Ф1, рис. 5), а единственная обмотка находится на другом; б) для некоторых цепей, обладающих симметрией.

Рис. 5

13

Во всех остальных случаях расчета несимметричных магнитных цепей придерживаются следующего порядка.

1. Подготавливают магнитную цепь к расчету, т. е. задаются направлениями магнитодвижущей силы IW, потоков Ф, магнитных

напряжений Uм.

2.Разбивают магнитную цепь на участки с одинаковым сечением, выполненные из однородного материала.

3.Определяют геометрические размеры участков – среднюю

длину l и сечение S. В случае неферромагнитного материала может быть подсчитано магнитное сопротивление Rм= l/µ0S.

4.Составляют схему замещения магнитной цепи, аналогичную схеме нелинейной электрической цепи.

5.Составляют для каждой ветви уравнение, связывающее магнитное напряжение на ее зажимах с магнитным потоком.

6.Строят в соответствии с уравнениями из п. 5 вебер-амперные характеристики ветвей Ф = f (Uм) на основании известной кривой

намагничивания (вспомогательные вычисления сводят в таблицы). 7. Выполняют дальнейший расчет аналогично расчету двухконтурной нелинейной электрической цепи, используя графоана-

литический метод.

В общем случае для двухконтурной схемы с тремя ветвями составляют три таблицы вспомогательных вычислений для построения трех вебер-амперных характеристик Фk = f (Uмab ), где Uмab –

магнитное напряжение между двумя узлами. Пример составления таблицы для одной ветви представлен в табл. 2.

Пример 3. Сердечник, изображенный на рис. 6, а, собран из листовой электротехнической стали Э-31; площади сечений всех

участков одинаковы: S = 20 см2; длины участков указаны на рисунке в миллиметрах.

14

При каком токе I в обмотке с числом витков W = 2000 магнитная индукция в воздушном зазоре составит Вδ= 0,05 Тл?

Решение. Задача допускает однократный расчет, причем в силу равенства сечений всех участков цепи первый закон Кирхгофа для

узла данной магнитной цепи ∑Φk = 0 можно переписать в виде

∑Bk = 0.

Схема замещения магнитной цепи показана на рис. 6, б. В расчете используется кривая намагничивания листовой стали Э-31 (см. рис. 2).

а

б

Рис. 6

Напряженность магнитного поля в правом стержне H5 =

= f (Bδ) = 20 А/ м, а напряженность магнитного поля в зазоре

15

Тогда

магничивания значение В4 = 0,7 Тл. Затем находим В3 = В6 = = В4 + В5 = 0,7 + 0,05 = 0,75 Тл и H3 = H6 = 133 A/м, тогда Uмab =Uмcd + H3l3 + Hδlδ = 30 + 2 · 133 · 0,15 = 70 А.

Далее получаем H2 = Uмab /l2 = 70/0,25 = 280 A/м, В2 = = f (H2 ) = 1,05 Тл, В1 = В2 + В3 = 1,05 + 0,75 = 1,8 Тл. При этом H1 = 12000 А/м и IW = Uмab + H1l1 = 70 + 12000 · 0,5 = 6070 А.

Пример 4. Обмотки W1 и W2 (рис. 7) размещены на двух стержнях магнитопровода, в каждом из которых магнитная индукция равна 0,9 Тл. Вычислить магнитодвижущие силы обмоток, если в местах стыка ярма Я с каждым стержнем сердечника С, выполненного из электротехнической стали Э-42, образуется зазор δ = 0,1 мм; толщина магнитопровода 20 мм.

Решение. Рассматриваемую магнитную цепь, как это показано на рис. 7, б, можно разделить на три ветви: ОАБВ, ОВ и ОДГВ с

магнитными потоками соответственно Ф1, Ф2 и Ф3.

Учитывая, что в пределах одной ветви магнитный поток не изменяется, составим эквивалентную электрическую схему (рис. 7, в),

на которой Rм1, Rм2 и Rм3 – полные магнитные сопротивления соответствующих ветвей. Всю магнитную цепь разделим на участки

с l1,…, l5 и δ1 = δ2 = δ3 = δ (см. рис. 7, б), каждый из которых характеризуется одним значением напряженности поля. По размерам магнитопровода (на рис.7, а они указаны в миллиметрах) находим

l1 = l2 = 70 мм = 7 см; l3 = 18 см; l4 = l5 = 6 см;

16

S1 = S2 = 4 · 10–4м2; S3 = S4 = 6 · 10–4м2.

В соответствии с первым законом Кирхгофа для узла В записываем (см. рис. 7, в) Ф3 = Ф1 + Ф2. Учитывая, что стержни I и II

(см. рис. 7, а) имеют одинаковую магнитную индукцию В1 = В2 (по условию 0,9 Тл) и одинаковую площадь поперечного сечения, получаем

Ф1 = Ф2 = В1S1 = 0,9 · 4 · 10–4 = 3,6 · 10–4 Вб; Ф3 = Ф1 + Ф2 = 7,2 · 10–4 Вб.

Определяем магнитные индукции и напряженности поля остальных участков магнитной цепи (см. рис. 7, а):

в

Рис. 7

17

По характеристике намагничивания для стали Э-42 (табл. 3) находим

H1 = H2 = 2,35 А/см; H3 = 5,4 А/см; H4 = H5 = 1,1 А/см.

В воздушных зазорах напряженности поля равны:

Hδ1 = Hδ2 =8000 B1 =8000 0,9 =7 200 А/см;

Hδ3 =8000 B3 =8000 1,2 =9600 А/см.

Вычисляем магнитодвижущие силы обмоток, применив второй закон Кирхгофа для двух любых контуров магнитной цепи (см. рис. 7, б) или ее эквивалентной электрической цепи (см. рис. 7, в).

Действительно, для контура ОВГДО

I2W2 = H2l2 + Hδ2 δ2 + H3l3 + Hδ3 δ3 =

= 2,35 7 +7 200 0,01+5,4 18 +9600 0,01 = 281 A;

для контура ОАБВО

I1W1 − I2W2 = H5l5 + H1l1 + Hδ1δ1 + H4l4 − H2l2 − Hδ2 δ2 = = H5l5 + H4l4 ,

поскольку

H1l1 = H2l2 и Hδ1δ1 = Hδ2 δ2.

18

Таким образом, получаем

I1W1 = I2W2 + H5l5 + H4l4 = 281+ (1,1 6) 2 = 294 А.

Пример 5. Определить магнитные потоки в стержнях магнитной цепи, изображенной на рис. 8, а, если I = 2,5 А, W1 = 3000,

I2 = 2 А, W2 = 500. Геометрические размеры сердечника указаны на рисунке в миллиметрах. Материал – листовая сталь Э-31, толщина пакета 50 мм.

Решение. Подготавливаем магнитную цепь к расчету. Указываем положительные направления магнитодвижущих сил, магнитных потоков (определяемых по правилу правоходового винта), а также магнитных напряжений.

Разбиваем магнитную цепь на участки и определяем геометрические размеры участков.

В левом стержне имеем один участок с площадью поперечного сечения

S1 = 40 ·10–3 · 50 · 10–3 = 2 · 10–3 м2

и средней длиной

в правом стержне – два участка: воздушный зазор δ2 = 1,5 · 10–3 м и примыкающий к зазору участок с общей длиной

(значение l2 подсчитано без учета δ2 по сравнению с l2) и с площа-

дью сечения S2 = Sδ2 = 40 · 10–3 · 5 · 10–3 = 2 · 10–3 м2.

В среднем стержне имеем два участка: воздушный зазор δ3 = 1,5 · 10–3 м и примыкающий к зазору участок с общей длиной l3 = (240 – 2 · 20) ·10–3 = 200 · 10–3 = 0,2 м (значение l3 подсчитано

19

без учета δ3 по сравнению с l3) и с площадью сечения S3 = Sδ3 = = 60 · 10–3 · 50 · 10–3 = 3 · 10–3 м2. Магнитодвижущие силы:

I1W1 = 2,5 · 3000 = 7500 А, I2W2 = 2 · 500 = 1000 А.

Магнитные сопротивления воздушных зазоров линейны и определяются по формулам

Составляем схему замещения магнитной цепи. Каждому участку соответствует магнитное сопротивление. Магнитные сопротивления, характеризующие воздушные зазоры, линейны. Каждой обмотке соответствует магнитодвижущая сила. Схема замещения показана на рис. 8, б.

Рис. 8

Схема может быть рассчитана методом двух узлов с использованием графического решения системы функциональных уравнений.

Записываем уравнения Кирхгофа для контуров и узла и получаем зависимость Uмab (Φ):

20