Кинематический анализ плоского механизма (90
..pdf
Вектор VA перпендикулярен ОА и направлен соответственно вращению звена
ОА.
Учитывая, что точка D принадлежит одновременно звену СD, вращающемуся вокруг С, найдем направление вектора скорости точки D: вектор VD
перпендикулярен СD.
Мгновенный центр скоростей (МЦС) Р звена АD находится на пересечении перпендикуляров, проведенных из точек А и D к их скоростям.
Угловая скорость звена АD
|
|
ωАD = |
VA |
|
|
|
(11) |
|||
AP |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Скорости точек D и Е звена АD |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
VD =ωAD DP; |
|
|
VE =ωAD PE; |
(12) |
||||
Расстояния АР, DP, РЕ измеряем на чертеже (рисунок 14) с учетом масштаба |
||||||||||
или вычисляем аналитически: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
АРD – равнобедренный; АР=АD=0,46 м; |
|
|||||||||
DР = АР2 + АD 2 − 2 AP AD cos 120 o = |
|
|||||||||
= 0,46 2 + 0,46 2 − 2 0,46 0,46 cos 120 o = 0,8 м |
|
|||||||||
РЕ=0,6 м (измеряем по чертежу с учетом масштаба). |
|
|||||||||
По формулам (11), (12) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ωАD = |
0,5 |
|
=1,09 рад/ с; |
|
||||
0,46 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
VD =1,09 0,8 =0,87 |
м/ с; VE =1,09 0,6 =0,65 |
м/ с. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
По направлению VA определяем направление поворота стержня АD вокруг |
||||||||||
|
|
|
перпендикулярен |
|||||||
МЦС звена AD (точки Р) – по ходу часовой стрелки. Вектор VE |
||||||||||
отрезку ЕР и направлен в сторону этого поворота. Угловая скорость звена СD
ω CD = CDV D = 00 ,,8746 = 1,86 рад/с.
21
По направлению VD определяем направление поворота стержня СD вокруг центра вращения С – по часовой стрелке.
3. Определяем ускорения точек и угловые ускорения звеньев.
По данным задачи можно определить ускорение точки А звена ОА. Точка А движется по окружности, поэтому
аА = аАτ + аАn .
Численно
аτА = εОА ОА = 2 0,25 = 0,5 |
м/ с |
2 ; |
аАn =ωОА2 ОА = 4 0,25 =1 |
м/ с2 . |
|
Вектор аАn направлен вдоль АО, от точки А к центру вращения О звена ОА;
вектор аАτ перпендикулярен АО и совпадает с вектором VA (рисунок 15), так как вращение звена ОА – ускоренное.
εCD
Рисунок 15
22
Примем точку А за полюс. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры ускорение точки D:
аD = аАn +аАτ +аDτА +аDnА |
(13) |
Так как точка D одновременно принадлежит звену СD, вращающемуся вокруг точки С, то
аD = аDn + аDτ
Следовательно, выражение (13) примет вид
аDn +аDτ = аАn +аτА +аDnА +аDτ А |
(14) |
Вектор аDn направлен вдоль DС от точки D к центру вращения С звена СD, вектор
аDτ - перпендикулярно DС. Числовое значение
aDn =ωCD2 СD = |
V 2 |
0,872 |
=1,65 |
м/ с2 . |
|
D |
= |
|
|||
|
0,46 |
||||
|
СD |
|
|
||
Нормальное ускорение точки D во вращательном движении стержня АD |
|||||
вокруг полюса А: |
|
|
|
|
|
аDn А =ωА2D DА=1,092 0,46 =0,55 |
м/ с2 . |
||||
Вектор аDnА направлен от точки D к полюсу А.
Для ускорения аDτА известна только линия действия – перпендикулярно DА.
Зададимся направлениями аDτ и аDτА по указанным линиям (рисунок 15).
Значения этих ускорений найдем из проекций векторного равенства (14) на оси координат.
Выбрав направление осей Х и У, как показано на рисунке 15, получаем: |
|
аDn сos30o − aτD cos60o = −aAn cos60o + aτA cos30o + aDn А |
(15) |
23
− аDn sin 30o − aτD sin 60o = aAn sin 60o + aτA sin 30o + aτDА |
(16) |
Из уравнения (15) находим
τ |
аn |
cos30o + an |
cos60o − aτ |
cos30o − an |
|
|||||||
аD = |
D |
|
A |
|
|
A |
|
|
DA = |
|||
|
|
|
|
|
|
cos60o |
|
|
|
|
||
1,65 |
|
3 |
+1 0,5 − |
0,5 |
3 |
−0,55 |
|
|
||||
|
2 |
2 |
м/ с |
2 |
||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
=1,9 |
||||
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (16) находим
аτDА = −аDn sin 30o − aτD sin 60o − aAn sin 60o − aτA sin 30o = −1,65 0,5 −
−1,9 |
3 |
−1 |
3 |
−0,5 0,5 = −3,6 м/ с2 . |
|
2 |
|
2 |
|
Знаки показывают, что вектор аDτ направлен как указано на рисунке 15, вектор
аDτА противоположен указанному на рисунке 15.
Угловое ускорение звена АD
εАD = |
|
аτDА |
= |
3,6 |
=7,83 |
рад/ с |
2 |
|
|
|
|
||||
|
DА |
0,46 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Истинное направление аDτА относительно полюса А определяет направление углового ускорения εАD (в данном случае – против хода часовой стрелки).
Ускорение точки D
аD = 
(аDn )2 + (аτD )2 = 
1,652 +1,92 = 2,52 м/ с.
Найдем ускорение точки Е, приняв за полюс точку А:
аЕ = аАn +aτA +aEAn +aEAτ
24
Нормальное и касательное ускорения точки Е во вращательном движении
стержня АD вокруг полюса А: |
|
|
|
|
|
аЕАn =ωА2D ЕА=1,092 |
0,46 |
|
=0,27 |
м/ с2 ; |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
аτЕА =εА2D ЕА=7,83 |
|
0,46 |
=1,8 |
м/ с2 ; |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||
Вектор аЕАn направлен к полюсу А; вектор аЕАτ перпендикулярен вектору аЕАn и
направлен соответственно угловому ускорению εАD .
Ускорение точки Е находим способом проекций (рисунок 15):
аЕХ = −аАn сos60o + aτA cos30o + aEAn |
= −1 0,5 + 0,5 |
3 |
+ 0,27 =0,20 м/ с2 ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
аЕУ = аАn sin 60o + aτA sin 30o − aτEA =1 |
|
|
3 + 0,5 |
|
1 −1,8 = −0,68 м/ с2 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
aE = aEX2 + aE2У |
= 0,202 |
+ 0,682 =0,71 |
м/ с2 . |
||||||||||||||
Угловое ускорение звена СD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ε |
СD |
= |
|
|
|
аτD |
|
|
= |
1,9 |
|
= 4,13 |
|
рад/ с |
2 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
СD |
0,46 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Истинное направление аDτ относительно центра вращения C звена СD
определяет направление углового ускорения εСD (в данном случае – против хода часовой стрелки).
Ответ: |
|
VE =0,65 м/ с; аD = 2,52 м/ с2 ; |
VD =0,87 |
м/ с; |
|
аЕ =0,71 |
м/ с2 ; |
ωАD =1,09 рад/ с; εАD =7,83 рад/ с2 |
25
3 Литература, рекомендованная для изучения дисциплины
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд., стер.-М.:Высш. шк.,2010.- 416 с.
3Бутенин Н.В. Курс теоретической механики: учебное пособие для для студ. вузов по техн. спец. В 2 т. Т.2/ Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. 5-ое изд.,–
испр. СПб.:Лань.-1998. - Т.2 - 729 с.
4Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. Т.2/М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.2 - 670 с.
Помимо указанных в списке, могут быть использованы любые учебники и пособия по теоретической механике.
26
Список использованных источников
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. Т.1/М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.1 - 670 с.
3Сборник коротких задач по теоретической механике: учебное пособие для втузов / О.Э. Кепе [и др]; под ред. О.Э.Кепе. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.
4Попов М.В. Теоретическая механика: Краткий курс: учебник для втузов /
М.В. Попов. – М.: Наука, 1986. – 336 с.
27