Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Использование системы MathCAD при решении задач электротехники и электромеханики (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

556.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Продолжение таблицы 3

γ	E1	E2	E3	R1	R2	R3		R4	R5	R6
γ		В					Ом
		В					Ом
5	10	20	80	10	4	20		8	3	11
6	70	60	100	4	15	12		3	10	20
7	40	20	115	15	20	11		2	7	12
8	125	10	95	20	35	10		12	5	19
9	110	15	120	14	12	6		4	9	15
10	60	65	40	10	5	3		2	8	12
11	55	15	65	3	6	3		9	22	18
12	34	25	50	5	8	10		11	8	13
13	95	35	40	10	23	2		8	25	20
14	75	15	90	23	8	11		6	11	21
15	85	25	46	12	10	12		23	4	14
16	65	22	55	11	2	20		2	9	13
17	115	32	25	6	7	8		15	14	9
18	110	45	15	3	5	15		34	18	7
19	120	54	60	22	9	2		6	25	3
20	130	23	30	15	8	25		9	10	23

	2.2.2 Методические указания к решению задачи № 2
	Рассмотрим пример решение этой задачи. На рисунке 2 дана электриче-
			I3			ская цепь постоянного тока.
			R3				В схеме дано: E1=30 В,
						Е4=100 В, R1=2 Ом, R2=6
	R6		R4	E4		Ом, R3=2,5 Ом, R4=10			Ом,
		1		E4	2	R5=4Ом.
		1			2	R5=4Ом.
							Для решения этой за-
E1			I4			дачи необходимо задать ус-
						ловно	положительные		на-
		R2			R5	правления токов. Затем ука-
		R2			R5	зать	направления	обхода
R1			I2		I5	зать	направления	обхода
R1	I1		I2		I5	контуров. После того как
						был определен порядок сис-
			3			темы уравнений, записыва-
			3			ется система уравнений, со-
						ставленная на основе зако-
	Рисунок 2 – Схема цепи постоянного тока					нов Кирхгофа. Расчет цепи
	Рисунок 2 – Схема цепи постоянного тока					постоянного тока в матрич-
ной форме и с помощью блока решений Given в системе MathCAD показан на
Рисунках 3 и 4 соответственно.				При составлении системы уравнений следу-
ет придерживаться ряда принципов:

–направления искомых токов целесообразно выбирать одинаковым с направлением ЭДС;

–уравнения Кирхгофа записывать в виде, близком к матричному (номера столбцов должны совпадать с номерами токов ветвей; индексы токов нарастают слева направо; при отсутствии элемента ставится ноль).

Вводим исходные данные:

ORIGIN := 1

E1 := 30	В	E4 := 100	B	R1 := 2	Ом	R2 := 6 Ом	R3 := 2.5 Ом
R4 := 10	Ом	R5 := 4	Ом	R6 := 1	Ом

Запишем уравнения по законам Кирхгофа

I1-I2-I3-I4=0

I3+I4-I5=0

I1*(R1+R6)+I2*R2=E1

I3*R3-I4*R4=-E4

I4*R4+I5*R5-I2*R2=E4

В матричной форме уравнения выглядят так:

	1	−1 −1 −1			0			0
	0	0	1	1	−1			0
	0	0	1	1	−1			0
A := ( R1 + R6)		R2	0	0	0		B :=	E1
	0	0 R3 −R4			0			−E4

	0	−R2	0	R4	R5			E4
Рассчитаем токи в цепи:
							6.667
							1.667
	I := A− 1 B						1.667
	I := A− 1 B					I =	−4
							9

							5

Рисунок 3 – Пример решения задачи № 2

Последующий переход к чисто матричной форме (матрицы А и В) и его использование для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) очевиден и как показывает практика, выполняется безошибочно.

Известно из матричной алгебры, что вектор решения СЛАУ определяется по следующему выражению:

X = A−1 B ,

где A−1 – инвертированная матрица коэффициентов системы;

B – вектор свободных членов системы уравнений; X – вектор решения.

Найдем токи в ветвях с помощью блока решений Given Зададим начальные условия:

I1 := 2	I2 := 1 I3 := −1 I4 := 3 I5 := 2 Начало блока
Given

−I1 + I2 + I3 + I4 0

−I3 − I4 + I5 0

I1	( R1 + R6) + R2 I2					E1	Тело блока


I3	R3 − R4 I4		−E4


I4	R4 + I5 R5	− I2 R2				E4


Ig := Find ( I1		, I2 , I3		, I4 , I5)
Конец блока					Получим результат:

Выполним проверку баланса мощности:

6.667		6.667
	1.667		1.667
	1.667		1.667
Ig = −4		I = −4
	9		9

	5		5

Pist := E1 I1 + E4 I4			Pist = 1100 Вт
Ppot := (I )2	( R1 + R6) + (I )2	R2 + (I	)2 R3 + (I )2 R4 +	(I )2 R5
1	2	3	4	5
Ppot = 1100	Вт
Выполним проверку решения:
I1 − I2 − I3 − I4 = 0
I3 + I4 − I5 = 0
I1 ( R1 + R6) + I2 R2 = 30
I3 R3 − I4 R4 = −100
−I2 R2 + I4 R4 + I5 R5 = 100
Найденные токи запишем в файл:
WRITEPRN ( "Otvet.prn" ) := I		( - форма записи для MCAD под Windows)
WRITEPRN ( Otvet ) := I		( - форма записи для MCAD под DOS)

Рисунок 4 – Продолжение примера решения задачи № 2

Для решения системы уравнений с помощью блока решений Given необходимо задать блок уравнений, который имеет следующую структуру:

1)начало блока (задается с помощью ключевого слова Given);

2)тело блока (сюда входят все уравнения и ограничения);

3)конец блока (заканчивается с помощью выражения Find).

Перед началом блока решений обязательно задаются начальные условия,

т.е. начальные значения искомых величин, т.к. решение находится с помощью итераций. При записи уравнений вместо строгого равенства используется знак приближенно равно ≈. Если поставить строгое равенство, то уравнения разрешены не будут. Как видно из примера расчета токи в цепи, полученные прямым решением уравнений и полученные с помощью блока решений Given равны.

2.3 Задача № 3

2.3.1 Условие задачи № 3

Требуется:

- задать две функции. Одна функция линейная и в общем виде описывается уравнением y1 = axk +b , вторая нелинейная и в общем виде описывается уравнением y2 = f (x);

-построить график второй функции и произвести ее сглаживание экспоненциальным методом;

-построить обе функции на одном графике, узловые точки второй функции пометить (произвольно на выбор студента);

-построить касательную и перпендикуляр ко второй функции в любой точке;

-найти точку пересечения первой и сглаженной функций с помощью функции root. Выполнить проверку;

-вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками первой и сглаженной функций;

-найти минимальное и максимальное значение функции y2 = f (x), отве-

ты дописать в существующий файл; - вычислить производные первого, второго и третьего порядка от функции

y2 = f (x), на отдельном графике показать график исходной функции и ее первой производной.

Необходимые данные помещены в таблицы 4 – 7.

	Таблица 4 – Данные для задания первой функции														y = axk				+b
γ	1	2	3	4	5	6	7	8	9						1
γ	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14		15	16		17	18	19	20
a	1	3	5	2	13	5	1	0	6	7	11	41	3	7		3	4		8	9	10	23
k	3	2	0	-1	1	0	4	0	1	2	2	1	0	3		5	-1	2		1	2	3
b	1	2	7	4	9	6	1	5	0	1	-1	-3	9	-6		2	2	4		6	7	0

	Вторая функция сложная: при															0 ≤ x <1 описывается функцией													f1(x)
(таблица 5), при 1 ≤ x <π - функцией f2 (x) (таблица 6) и при π ≤ x <10 за-
дается по точкам (таблица 7).
	Таблица 5 – Данные для задания функции при 0 ≤ x <1
α										6				x		α
										6				x
	1.5		cos x					+			tan				+1				4	arccos(2x)+1
	1.5		cos x					+		x	tan			0.9	+1				4	arccos(2x)+1
1																13



2				10 x3 sin(x−2 )												14	40 (sin(1.5 x) cos(x) ln(x +1))
3				x3 30 tan(x2 )												15		arcsin(x) arctan(x) 10
					1		ln(sin(e−x ))															x +1
4					1											16						x−0.5
4																16						x−0.5
					x

																					sin		5
																							5
		1									5																x
		1									5																x

5							x	log								17		log(x +0.2) arctan										−2	50
							x				e														(x +4)

6							x−0.2				−1					18		15 cos(x) x 3								sin(x)
																											2x
7					ln(x2 )−10 x											19			cos(x)					x + 2
7					ln(x2 )−10 x											19			cos(x)					x−3
																								x−3
				tan(x					−0.5		)														3
				tan(x							)										sin(x					+ 3)
8												− 2 x				20		5 tan
																							3
						10x
						10x
9			10 log(5 x + 3)													21					1 + 3 x3

									x2 +1												cos(0.5 x)
									x2 +1												cos(0.5 x)
10				sin(x + 6)									− 0.5			22		x3 5 cos(9 + x−2 0.3)
10				sin(x + 6)									− 0.5			22		x3 5 cos(9 + x−2 0.3)

11				sin(x2 )+									cos(x)			23					x3 + x
																					cos(x − 3)
							x−2 0.25
							x−2 0.25
12		2		sin(x) cos(x + 0.1)												24			ln(x +3)+ tan(x)
12		2						x + 5 x2								24			0.25
								x + 5 x2											0.25

Таблица 6 – Данные для задания функции при 1 ≤ x <π

β								4.5							β	3
1														13
																							x
									x														x
2							1.5							14								5 + x
2								x−3						14								x1.5
								x−3														x1.5
3				15					− 3.5					15							5 + x3
						x
						x																x3
4					15x2 −15									16							3 + x5
4					15x2 −15									16								x3
																						x3
5						x2 −1								17									5
5						x2 −1								17									x
																							x
																								x
6						x1.5 −1								18					2 tan
6						x1.5 −1								18					2 tan						5
																									5
				1						−11												3x
7														19					cos(x−3 )
7						x−x								19					cos(x−3 )
8						x7 x−x								20							x +15
8						x7 x−x								20								x5
																						x5
9				x sin(x2 + 3)										21						5 x1.5
9				x sin(x2 + 3)										21								x +1
																						x +1
10					x2				cos(x)					22				10 log(x3 )
10					x2				10					22				10 log(x3 )
									10
11				x cos(x +1)										23					x5 sin(x)
11				x cos(x +1)										23						2 + x2
																				2 + x2
				x 5 + cos(x)																					1
12														24			x cos

									x
									x														3			x
γ	Таблица 7 – Данные для задания функции при π ≤ x <10
γ		x	π		5						6	7	8		9		10
1			7		3						6	10	7		7		-
2			1		15						-	2	6		-2		-
3		y	9		15						3	2	-1		-5		-1
4		y	11		2						-	8	15		5		5
5			25		50						12	45	-		1		1
6			9		7						2	7	6		-		4
7			12		65						56	45	12		40		41

γ	Продолжение таблицы 7
γ		x	π	5	6	7	8	9	10
8			30	15	5	56	52	-	40
9			12	15	18	-	5	20	1
10			1	-1	-5	-2	1	4	-
11			10	15	25	5	-	10	30
12			23	45	23	34	23	-	12
13		y	12	-4	-5	-	65	89	45
14		y	13	14	13	10	-	10	12
15			23	-	10	54	12	9	34
16			5	7	3	2	5	-	10
17			1	12	12	-	56	45	5
18			44	43	12	11	-	5	4
19			76	-	23	11	-	65	54-
20			34	54	-	32	23	-	54

Примечание: если в таблице 7 для координаты y стоит прочерк, то данная точка функции отсутствует.

2.3.2 Методические указания к решению задачи № 3

Рассмотрим решение задачи № 3 на примере. Первая функция описывает-

ся уравнением				y1 = x −3,			вторая функция сложная ее необходимо задавать
при помощи оператора if .							Если 0 ≤ x <1 функция описывается уравнением
		6			x		а на отрезке 1 ≤ x < π уравнением	4.5

5	cos x +	x	tan			+1,		x	. После за-
					0.9

дания второй функции ее необходимо аппроксимировать одной из встроенных функций аппроксимации (линейной, квадратичной, кубической).

ORIGIN := 1		- номер первого элемента массивов
TOL := 10− 5		- точность расчета
Задаем исходные функции:				i := 1 .. 5
f1 (x) := x − 3		- график первой функции
	π	1.5
	5		2
	5		2	- значения узловых точек второй функции
X :=	6	Y :=	1	- значения узловых точек второй функции
	6.5		5

	10		2

Рисунок 5 – Пример решения задачи № 3

- выполняем аппроксимацию второй функции линейным сплайном:

P := lspline(X ,Y) f21(x) := interp(P ,X ,Y ,x)

4.5

f22(x) := if x < 1 ,1.5

cos

x +

tan

+ 1 ,

0.9

f2(x) := if (x > π ,f21(x) ,f22(x))

Задаем диапазон изменения переменной x и строим график:

x := 0 ,0.001 .. 10

10
f2(x)
0
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
					x

Произведем сглаживание функции f2(x) экспоненциальным методом.

Для этого необходимо функцию представить в виде матрицы с минимально возможным шагом:

j := 1 .. 501	zj :=	j − 0.99
		50

Ввод весового множителя (0 < w < 1): Сглаживание данных:

i := 2 .. last(M) exp1 := M1

expi := w Mi + (1 − w) expi−1

Mj := f2(zj)

w := .15

- выполняем аппроксимацию второй функции линейным сплайном:

P1 := pspline(z ,exp)						f2s(x) := interp(P1 ,z ,exp,x)
построение касательной и перпендикуляра к заданной точке функции:
x2 := 6 - заданная точка

T(x) :=	d	f2s(x2)				(x − x2)	+ f2s(x2) - Уравнение касательной к графику f2s(x) в точке x2

dx2
N(x) := f2s(x2) −				x − x2			- Уравнение перпендикуляра к графику f2s(x) в точке x2
					f2s(x2)
			d
			dx2

Рисунок 5 – Продолжение примера решения задачи № 3

	10
f2(x)
f2s(x)	5
f2s(x)
f1(x)
T(x)
N(x)
Yi	0
Yi
	5 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
						x,x,x,x,x,Xi
Найдем точку пересечения функций с помощью функции root:


f (x) := f2s(x) − f1(x)
x3	:= 5	- начальное приближение
x3	:= root(f (x3) ,x3)		x3 = 5.074
выполняем проверку:			f1(x3) = 2.074	f2s(x3) = 2.074

Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками функций f1(x) и f2s(x) при изменении x: 0<x<x3

⌠x3		S = 14.224 кв. ед.
S := (f2s(x) − f1(x)) dx		S = 14.224 кв. ед.
⌡0
Найдем экстремумы второй функции при 0<x<10.
Min := min(M)	Min = 0.279
Max := max(M)	Max = 10.061

ответы допишем в существующий файл:

	x3

Otv :=	Min	APPENDPRN ("Otvet.prn" ) := Otv
Max
		Вычисление трех производных численным методом
Дифференцируемая функция f2(x)			f2(x) := f2s(x)

Формулы дифференцирования для пяти ординат:

y'(x ,h) := −f2(x + 2 h) + 8 f2(x + h) − 8 f2(x − h) + f2(x − 2 h) 12 h

y'' (x ,h) := −f2(x + 2 h) + 16 f2(x + h) − 30 f2(x) + 16 f2(x − h) − f2(x − 2 h) 12 h2

Рисунок 6 – Продолжение примера решения задачи № 3

y''' (x,h) :=	f2(x + 2 h) − 2 f2(x + h) + 2 f2(x − h) − f2(x − 2 h)
y''' (x,h) :=
		2 h3
Примеры вычислений и их проверка:			x1 := 5.5					xx := 0 ,0.5 .. 10
y'(x1,0.05) = −2.633			g1(x1)	:=		d	f2(x1)		g1(x1) = −2.633
					dx1
y'' (x1 ,0.05) = 5.104			g2(x1)	:=		d2		f2(x1)	g2(x1) = 5.104
y'' (x1 ,0.05) = 5.104			g2(x1)	:=			2	f2(x1)	g2(x1) = 5.104
						dx1
y''' (x1 ,0.05) = 25.524			g3(x1)	:=		d3		f2(x1)	g3(x1) = 25.543
y''' (x1 ,0.05) = 25.524			g3(x1)	:=			3	f2(x1)	g3(x1) = 25.543
						dx1
Построение графиков функции и первой ее производной									h := 0.05
15
15

f2(x)

y'(x,h) 5

g1(xx)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
					x,x,xx

Рисунок 7 – Продолжение примера решения задачи № 3

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]