Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Материалы по дисциплине «Методы оптимизации» (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

505.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

66.Нелинейное программирование. Методы минимизации функций одной переменной. Методы безусловной минимизации выпуклых функций многих переменных. Теорема Куна-Таккера.

67.Задачи вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Изопериметрическая задача.

Некоторые примеры заданий из письменной части государственного экзамена по дисциплине «Методы оптимизации»:

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f в заданной области P , где

f = x2 + y2 − 12x + 16 y, P = {(x, y) x2 + y2 ≤ 25}

2. Решить задачу линейного программирования

max(3x1		−	x2	+	4x3	− x4 )
при ограничениях
x1	+ 3x2			+ 2x3		+ 2x4	= 7
2x1	+	4x2		+	x3	+ 3x4	= 10,
xi	≥ 0,	i	=	1,2,3,4.
3. Среди			дважды			непрерывно-дифференцируемых функций

y = y(x) , заданных на отрезке [a,b] и удовлетворяющих условиям

y(a) = α , y(b) = β ,

существует функция, на которой достигает минимума функционал F(y). Найти эту функцию, если

a = 0, b = 2, α = 1, β = 1,

2
F(y) = ( y′2	− y) dx.
0
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f в
заданной области P , где		{(x, y)	− 5 ≤ x ≤ 0, − 5 ≤ y ≤ 0 }.
f = x2 + y2 + 4x + 3y, P =
f = x2 + y2 + 4x + 3y, P =
5. Решить задачу линейного программирования
max( x1 − 2x2	− 3x3 + 8x4	)

при ограничениях

x1	+	2x2	+ 4x3	− x4	= 3,
x1	+	3x2	+ 2x3	+ x4	=	2,
	xi ≥		0, i = 1, 2, 3,			4.
6. Среди			дважды непрерывно-дифференцируемых функций

y = y(x) , заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих условиям

y(a) = α , y(b) = β ,

существует функция, на которой достигает минимума функционал F(y). Найти эту функцию, если

a = − 1, b = 1, α = 0, β = e−2 ,

F(y)	1
	= ( y′2 + 4 y 2 ) dx.

−1

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f в заданной области P , где

f = x3 + 3y2 − 3xy + 27,	y ≤ 1 }.
P = {(x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤

8. Решить задачу линейного программирования при ограничениях

max	(3x1	+ 4x2		+	3x3 +	2x4 ),
при ограничениях
x1	+ 2x2		+ 3x3		+ 2x4	= 6,
2x1	+ x2		+ 3x3		+ 3x4	= 8,
xi	≥	0,	i	= 1,	2, 3,	4.
9. Среди		дважды			непрерывно-дифференцируемых функций

y = y(x) , заданных на отрезке [a,b] и удовлетворяющих условиям

y(a) = α , y(b) = β ,

существует функция, на которой достигает минимума функционал F(y). Найти эту функцию, если

a = 0, b = 1,		α =	1	, β	= 1,
			2
F(y)	1
F(y)	= (0.5 y′2	+ y )		dx.
	0

11. Варианты расчетно-графической работы

Работа выполняется в конце восьмого семестра и служит (в случае положительной оценки) допуском к семестровому экзамену.

Вариант 1

1. Решить задачу линейного программирования:

x1	+ x2	+ x3	+ x4 + x5 → max
x1	+ x2	+ x3	= 2
x3 + x4 + x5 = 2
xi	≥ 0,	i = 1, ,5.

2. Решить задачу линейного программирования:

x1	−	2x2	+	3x3		→	min
− 2x1		+ x2		+	3x3		= 2
2x1		+ 3x2		+	4x3		= 1
xi	≥	0, i	=		1,	2,	3.

3. Найти экстремумы функции:

u = y 2 +	x2	+	z 2	+	1	(x > 0, y > 0, z > 0) .
	y		x		z

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2	+	x	2	+	x2	−	x −	x	2	→ min
1			2		3		1		2
2x1	+ x2			+ x3		≤ 4
x1				+	x3	≥	− 2
xi	≥	0,	i	=	1,	2,	3

5. Найти экстремали функционала:

x2
(xy	+	y2	− 2 y2 y′) dx → min
x1			.
y(x1 )	=	y1	.
y(x2 )	=	y2

6. Решить задачу оптимального управления:

x′	=	u
1				< 1.
x′	=	x ,	u
x′	=	x ,	u
2		1

Вариант 2

1. Решить задачу линейного программирования:

x1	+	x3	→	max
2x1	+ 7x2		+ 22x3		≤ 2
2x1	− x2		+ 6x3		≤ 6
2x1	− 5x2		+ 2x3		≤ 2
− 4x1	+ x2			+ x3	≤ 1
xi ≥	0,	i	=	1, 2,	3

2. Решить задачу линейного программирования:

x1	+	x2	+	x3	+	x4	→	max
4x1	+ 2x2		+ 5x3			− x4		=	5
5x1	+ 3x2		+ 6x3			− 2x4		= 5
3x1	+ 2x2		+ 4x3			− x4		=	4
xi	≥	0, i	=	1,	2,	3,	4

3. Найти экстремумы функции:

z = x4 + y4 − z 2 .

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2	+	x2	+		2x2	+	2x	2	x	3	→ min
1		2			3			2		3
x22	+ x32		+	x2 x3		≤ 10
x1	+	x2	+		x3	≤	9
x2	≥ 0,	x3	≥ 0

5. Решить вариационную задачу:

1
( y2	+	y2 ) dx		→	min
0
y(0)	=	0,	y(1)	=	sh1
y(0)	=	1,	y(1)	=	ch1

6. Решить задачу оптимального управления:

x′	= x	2	+		u
1		2
x′	= − x ,			u	≤ 1
x′	= − x ,			u	≤ 1
2		1

Вариант 3

1. Решить задачу линейного программирования:

x1 − 10x2 + 100x3					→ max
x1	+ x2	+	x3	≤ 1
x1	− x2	−	x3	≤ 2
x1		+ 2x3		≤ 0
x1		+ 2x3		≥ 5,	xi ≥ 0,i = 1,2,3

2. Решить задачу линейного программирования симплексметодом:

x1 + 2x2	+ x3 + x4 + x5		→ max
x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4		+ x5 = 8
x1 − 2x2	+ 2x3 − 2x4	− x5	= −6
x1 + 2x2	+ 2x4	− x5	= −2
xi ≥ 0,	i = 1,2,3,4,5

3. Найти экстремумы функции:

z = x4 + y4 − x2 + 2xy − y2 .

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2	+ x2	+ 4x2	− 4x → min
1	2	3	1

3x1 + x2 + 2x3 ≤ 8

−x1 − x2 + 2x3 ≥ −4

x1	+ x2	≥ 0
x1	− x2	≥ 0
	x3	≥ 0

5. Найти экстремали функционала:

(x2 + y2 + yy′)dx → min

y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2

6. Решить задачу оптимального управления:

x′	= −u
1
x′	= u,	u	≤ 1
x′	= u,	u	≤ 1
2

Вариант 4

1. Решить задачу линейного программирования:

x1	+ 2x6	→ max
x1	+ x2		+ x6	= 1
	x2	+ x5	+ x6	= 1
		x3 + x4	+ x6	= 1
		x4 − x5 − x6		= 2
xi	≥ 0,	i = 1 − 6

2. Решить задачу линейного программирования симплексметодом:

x1 + x2 + x3 + x4 − 2x5 → max 3x1 + x2 + x3 + x4 − 2x5 = 10 6x1 + x2 + 2x3 + 3x4 − 4x5 = 20 10x1 + x2 + 3x3 + 6x4 − 7x5 = 30 xi ≥ 0, i = 1 − 5

3. Найти экстремумы функции:

z = x4 + y4 + 2xy .

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2	+ 4x2	+ x2		− 4x → min
1	2		3	1
3x1 + 2x2			+ x3 ≤ 8
− x1 + 2x2			− x3 ≥ −4
x1			+ x3	≥ 0
x1			− x3	≥ 0
	x2			≥ 0

5. Решить задачу вариационного исчисления:

π y′2 dx → min

π y2 dx = 0, y(0) = y(π ) = 0

6. Решить задачу на быстродействие:

x′	= x	2	+ u
1		2
x′	= x		,	u	≤ 1
x′	= x		,	u	≤ 1
2		1

Вариант 5

1. Решить задачу линейного программирования:

2x1 + 2x3 + x4 → max x1 + x2 + x3 + x4 = 1

xi ≥ 0, i = 1,2,3,4

2. Решить задачу линейного программирования симплексметодом:

x1	+ 2x2	+ 3x3 + 4x4 + 5x5 → max
	x2 + x3 − 2x4 + 7x5 = 2
x1		+ x3 − 2x4 − 6x5 = 2
x1 + x2		− 2x4 + 7x5 = 2
xi	≥ 0,	i = 1 − 5

3. Найти экстремумы функции:

z = e− x2 − y2 (2x2 + y 2 )

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2	+ 4x2	+ x	2	− 2x	− 4x	2	+ 2x	3	→ min
1	2		3	1		2		3
3x1 + x2 − x3			≤ 8
		x3	≥ 2
x1		− x3	≥ 0
	x2			≥ 0
x1		+ x3		≥ 0

5. Решить изопериметрическую задачу:

π y′′2 dx → min

π y′2 dx = 1, y(0) = y(π ) = 0, y′(0) = y′(π ) = 0

6. Решить задачу на быстродействие:

x′	= u
1
x′	= − x ,	u	≤ 1
x′	= − x ,	u	≤ 1
2	1

Вариант 6

1. Решить задачу линейного программирования:

x1 − x2	+ x3 − x4 → min
x1 + x2	+ x3 + x4 = 1
xi ≥ 0,	i = 1 − 4

2. Решить задачу линейного программирования симплексметодом:

x1	+ x2	+ x3 → min
x1		− x4	− 2x6 = 5
	x2	+ 2x4 + 3x5 − x6 = 3
		x3 + 2x4 − 5x5 + 6x6 = 5
xi	≥ 0,	i = 1 − 6

3. Найти экстремумы функции:

z = e− x2 − y2 (x2 + y 2 )

4. Решить задачу выпуклого программирования:

ex1	− x2 − x − x		2	→ min
		1	2
x1	+ x2	≤ 1
x1	≥ 0,	x2 ≥ 0

5. Решить изопериметрическую задачу:

1
y′2 dx		→ min
0
1				1
( y − y		′2 )dx =		1
( y − y		′2 )dx =
0			12
y(0),		y(1) =	1
			4
6. Решить задачу на быстродействие:
x′	= − x	2
1		2
x′	= − x + u,			u	≤ 1
x′	= − x + u,			u	≤ 1
2		1
						Вариант 7

1. Решить задачу линейного программирования:

x1	− x2	+ 2x3 − x4	→ max
x1	+ x2		= 1
	x2	+ x3 − x4	= 1
xi	≥ 0,	i = 1 − 4

2. Решить задачу линейного программирования симплексметодом:

x1 − x2 + x3 − x4 + x5 − x6			+ x7	→ max
2x1 − x2	+ 2x3 − 3x4 + x5		− x6 + x7 = 0
2x2 − x3 + 2x4 − 3x5 + x6 − x7					= 0
	− x3	+ 2x5		+ 4x7	= 2
2x1 + x2	− x4			+ 4x7 = 4
xi ≥ 0,	i = 1 − 7

3. Найти экстремумы функции:

u = x +	y	+	y	(x > 0, y > 0, z > 0)
	x		z

4. Решить задачу выпуклого программирования:

5x2	+ x2		+ x2	− 2x x	2	→ min
1		2	3	1	2
x2	+ 3x		2	≤ 10
1			2
2x1			+ x3	≤ 9
x1 −		x2		≥ 0
x1 +		x2		≥ 0

5. Решить задачу вариационного исчисления:

( y′2

+ z′2 + 2 y)dx

→ min

y(0) = 1,

y(1) = 3

z(0) = 0,

z(1) = 1

6. Решить задачу на быстродействие:

x′

+ u

x′

= − x

+ u

≤ 1,

≤ 1

Вариант 8

1. Решить задачу линейного программирования:

x1	+	x4	→ max
x1	+ x2		= 1
	x2	− x4	= 2
xi	≥ 0,	i = 1 − 4

2. Решить		задачу		линейного программирования симплекс-
методом:
− 2x1	− 3x2 +	2x4	+ 3x5	→ max
2x1	− x2 + x3			≤ 12
x1			+ x4	≤ 5
2x1 + 2x2 + x3			− 2x5 ≤ 20

x1 − x2 − 2x3 + 2x4 − 2x5 ≤ 10

− 2x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 + x5 ≤ 24

3. Найти экстремумы функции:

u = x2 +	y2	+	z 2	+	1	(x > 0, y > 0, z > 0)
	x		y		z

4. Решить задачу выпуклого программирования:

x2 + 5x2		+ x2	− 2x x	2	→ min
1	2	3	1	2
3x2 + x2			≤ 10
1	2
2x2 + x3			≤ 9
x1 −	x2		≤ 0
x1 +	x2		≥ 0

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]