Приводимые косы (90

сюда, учитывая, что n−2s принадлежит центру группы Bn, с по-

мощью теоремы 3 работы [2] заключаем, что коса b является плюс-приводимой.

2. Минус-приводимые косы

Коса β Bn называется минус-приводимой, если она сопряжена косе вида β 'σ n−−11 , где β ' – слово в образующих σ1 ,...,σ n−2 и обратных к ним.

Pm} – множество всех кос, равных на круге в π n косе 2 P . Тогда

коса b является минус-приводимой, если и только если в полугруппе π n выполняется равенство

Piσ n−1 = (σ n−1...σ12...σ n−1 )s+1φn (Pi ) .

Доказательство этой теоремы содержится в доказательстве теоремы 1 из работы [2]. Отличие формулировки теоремы 2.1 от теоремы 1.1 объясняется следующим. Представим косу b в виде

β = n−2s P = n−2(s+1) 2 P . Предположим, что если Q произвольная положительная коса, равная на круге в π n косе P, то в π n не выполняется равенство

Qσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s φn (Q).

Существуют примеры, которые показывают, что несмотря на это предположение, существует j, 1 ≤ j ≤ m такое, что

Piσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1φn (Pi ).

Так как для n=2 множество всех минус-приводимых кос состоит из одного элементаσ1−1 , то будем считать, что n ≥ 3. Пред-

41

положим, что s Ν , а w – произвольное слово из π n−1. Введем следующие обозначения:

λ (n, s, w) = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2 , Λ(n, s, w) = {P π n | PΘλ (n, s, w)},

L (n, s) = Λ(n, s, w),

w π n−1

R− (n, s) = { −n2s P | P L (n, s − 1)},

R− (n) = R− (n, s) .

s Ν

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2. Множество всех минус-приводимых кос на n нитях совпадает с множеством R-(n).

Доказательство вполне аналогично доказательству теоре-

мы 1.2.

3. Приводимые косы

Коса β Bn является приводимой, если она плюс-приводима или минус-приводима.

Тогда коса b является приводимой, если и только если в полугруппе π n выполняется равенство

Pi = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s φn (Pi )σ n−1

для некоторого i, 1 ≤ i ≤ m, либо в π n выполняется равенство

42

Qjσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1φn (Qj )

для некоторого j, 1 ≤ j ≤ r .

Доказательство вытекает из теоремы 1.1 и 2.1.

Теорема 3.2. Множество всех приводимых кос совпадает с множеством R+ (n) R− (n) .

Доказательство следует из теорем 1.2 и 2.2.

Литература

[1] Birman, J. Braids, Lnks, Mapping Class Groups / J. Birman

//Ann. Math. Stud. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1975. – V. 82.

[2]Шалашов, В.К. Приводимые косы / В.К. Шалашов // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. – Яросл. гос. ун-т. – Яро-

славль: ЯрГУ, 2003. – С. 1–12.

43

Научное издание

В.К. Шалашов

Приводимые косы

Редактор, корректор Л.Н. Селиванова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Подписано в печать 30.01.2007 г. Формат 60х84/16. Бумага тип. Усл. печ. л. 2,32. Уч.-изд. л. 1,34.

Тираж 50 экз. Заказ

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.

Отпечатано на ризографе.

Ярославский государственный университет. 150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

44