Приводимые косы (90.

УДК 519.4

Минус-приводимые косы

В.К. Шалашов

Введение

Пусть Bn =< σ1,...,σ n−1; σ iσ j = σ jσ i , если | i − j |≥ 2 и

i, j = 1,...,n − 1, σ i+1σ iσ i+1 = σ iσ i+1σ i , если i = 1,2,...n − 2 > – группа кос на n нитях. Коса β Bn называется приводимой, если она со-

пряжена косе вида β 'σ n−1±1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2

и обратных к ним. В работе [1] спрашивается, как распознавать приводимые косы.

В настоящей работе мы вводим понятие минус-приводимой косы, для которой (в отличие от приводимой) требуется, чтобы

она была сопряжена косе вида β 'σ n−−11 . Далее мы используем следующие (стандартные) понятия из теории кос. Через π n обозна-

чается полугруппа положительных кос, т.е. кос, в записи которых нет образующих с отрицательными показателями. Две положительные косы P и Q равны на круге в полугруппе π n (PΘ Q), если

одну из них можно перевести в другую, используя определяющие соотношения полугруппы π n и преобразования вида AB BA.

Через m обозначается коса σ1...σ m−1σ1...σ m−2 ...σ1σ 2σ1. При этом

где s Ζ+ , т.е. s ≥ 0 и целое, а коса P π n .

В первой части работы получен алгоритм, который по произвольной косе β распознает возможность ее представления в виде

β 'σ n−1−1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2 и обратных к ним.

Во второй части работы найден критерий минус-приводимости данной косы, наконец, в третьей части предлагается описание множества всех минус-приводимых кос.

21

1. Критерий сбрасывания отрицательной петли

что с косы α можно сбросить отрицательную петлю.

Как узнать, можно ли с косы a сбросить отрицательную пет-

лю? Ответ содержится в теореме 1.1. Для ее формулировки нам понадобится операция удаления нити из косы.

Определение 1.2. Для α Bn и i {1,...,n} рассмотрим отображение Φi : Bn → Bn , состоящее в удалении из косы a нити с

номером i и добавлении нити с номером n, идущей как в единичной косе.

Теорема 1.1. С косы α = n −2s P, где s Ν , а P – положитель-

ная коса, можно сбросить отрицательную петлю тогда и только тогда, когда в полугруппе π n выполняется равенство

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1.1. Если σ и 13 – две произвольные косы из Bn , то

Φi (στ ) = Φi (σ )Φμ (i) (τ ) , где 1 ≤ i ≤ n , а μ – перестановка, соответ-

ствующая косе σ .

Утверждение этой леммы вытекает из определения отображения Φi и того факта, что i-я нить косы σ заканчивается там,

где начинается нить с номером μ (i) косы τ .

Лемма 1.2. С косы a можно сбросить отрицательную петлю тогда и только тогда, когда в группе Bn выполняется равенство

Доказательство. Если выполнено равенство (2), то с косы a можно сбросить отрицательную петлю, так как согласно опреде-

22

лению отображения Φn коса Φn (α ) есть слово в образующих

σ1±1,...,σ n±−12 .

Пусть с косы a можно сбросить отрицательную петлю, то есть в группе Bn выполнено равенство

(3) отображение Φn , получим, используя лемму 1.1, равенство

Φn (α ) = Φn (α ' )Φn (σ n−−11 ) .

Здесь мы учли, что μ(n) = n , где μ – перестановка, соответст-

вующая косе α ' Bn . Так как Φn (α ' ) = α ' и Φn (σ n−−11 ) = 1, то из (4) следует равенство (α ' ) = Φn (α ' ) , что вместе с равенством (3) дает

равенство (2).

Лемма 1.3. (см[2]) Пусть Пn = σ1...σ n−1 , а f (σ1...σ n−2 ) – произвольное слово в образующих σ1...σ n−2 .

Тогда в π n справедливо равенство

Пn f (σ1...σ n−2 ) = f (σ 2 ...σ n−1 )Пn .

Лемма 1.4. (см [3]). В группе Bn имеет место равенство

Лемма 1.5. Слово

σ n−1σ n−2 ...σ 2σ12σ 2 ...σ n−2σ n−1

коммутирует с любым словом из Bn−1 .

23

Доказательство. Согласно работе [2] центр группы Bn порожден 2n . Следовательно, утверждение леммы 1.5 вытекает из леммы 1.4.

Пусть теперь α = n −2s P, где s Ν , а P – положительная коса.

В силу леммы 1.2 с этой косы можно сбросить отрицательную петлю тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Совместное применение леммы 1.1 и 1.6 приводит к равенст-

ву

Φn ( n−2s P) = Φn ( n−2s )Φn (P) ,

что вместе с равенством (4) и леммой 1.7 приводит к равенству

Умножив теперь левую и правую части последнего равенства слева на n 2s , получим, что

откуда с помощью леммы 1.4 получаем, что в группе Bn имеет место равенство

Pσ n−1 = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s Φn (P).

24

Так как левая и правая части этого равенства являются положительными словами, то из работы [2] следует, что оно выполняется и в полугруппе π n . Теорема доказана.

2. Критерий минус-приводимости

Определение 2.1. Коса β Bn называется минус-приводимой, если она сопряжена косе вида β 'σ n−−11 , где β ' – слово в образующих σ1±1,...,σ n±−12 . Как узнать, является ли данная коса β Bn ми-

нус-приводимой? Ответом является теорема 2.1, приведенная ниже. Ее доказательство опирается на следующий важный результат Г.С. Маканина.

Лемма 2.1. (см [4]) Две косы n−2s P и n−2sQ , где s Ζ+ , а P и Q – положительные косы, одна из которых содержит n , сопряжены в группе Bn тогда и только тогда, когда PΘ Q.

Простым следствием этого утверждения является следующее описание всех кос, сопряженных данной.

сопряженных косе b в группе Bn . Докажем, что {β } = Tβ . Заметим, что

∞

{β } = {βt },

t=0

где {βt } есть множество кос вида n −2( s+t ) K, где t – фиксированное неотрицательное целое, а K – произвольная положительная коса, равная косе n2t P на круге в π n .

25

Пусть α {β }. Тогда α {βt } при некотором фиксированном

тельная коса. Если k = s , то (согласно лемме 2.1) RΘ P и α {β0},

Для некоторого i, 1 ≤ i ≤ m.

Доказательство. Пусть b – произвольная коса. Представим ее в виде β = n−2s P, где s Ν , а P – положительная коса, содержащая n . Рассмотрим множество P = {P1,… Pm} всех кос, равных на круге в π n косе 2 P . Пусть существует i, 1 ≤ i ≤ m, такое

26

что в π n выполняется равенство (1). Тогда в силу леммы 2.1 и теоремы 1.1 коса β = n−2s P = n−2(s+1) 2 P приводима.

Предположим теперь, что множество P обладает тем свойст-

вом, что ни для какого i, 1 ≤ i ≤ m, не выполняется равенство (1). Докажем, что в этом случае коса b не является приводимой.

Представим косу β следующим образом:

β = n−2(s+2) n4 P

и рассмотрим множество Q = {Q1,… Qr} всех кос, равных на кру-

Заметим, что φn (Qi ) есть положительное слово в образующих σ1...σ n−2 . Следующие леммы играют важную роль в доказательстве теоремы 2.1.

Лемма 2.3. Пусть положительное слово Q таково, что в π n имеет место равенство

Qσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 w,

где s Ν , а w π n−1, тогда

QΘ(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2σ n−1.

Доказательство. По предположениям леммы в π n справедливо равенство

Qσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s σ n−1...σ1σ1 ...σ n−1w(σ1 ...σ n−2 ).

Здесь запись w(σ1 ...σ n−2 )подчеркивает, что слово w есть слово в образующих σ1 ...σ n−2 . Применение леммы 1.3 к правой части последнего равенства приводит к равенству

27

Qσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s σ n−1...σ1w(σ 2 ...σ n−1 )σ1 ...σ n−1,

откуда следует, что

Q = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s σ n−1...σ1w(σ 2 ...σ n−1 )σ1 ...σ n−2 =

(σ n−1...σ12 ...σ n−1 ) | (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s−1σ n−1...σ1w(σ 2 ...σ n−1 )σ1 ...σ n−2 .

Следовательно,

QΘ(σ n−1...σ12...σ n−1)s−1σ n−1...σ1w(σ 2 ...σ n−1 )σ1...σ n−2σ n−1...σ12 ...σ n−2σ n−1.

Снова применив лемму 1.3 к правой части этого равенства, получим

QΘ(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s−1 (σ n−1...σ1σ1...σ n−1 )w(σ1 ...σ n−2 )σ n−2 ...σ12 ...σ n−2σ n−1,

т.е.

QΘ(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2σ n−1,

что и требовалось доказать.

Лемма 2.4. Пусть

L = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 wσ n−1,

где s Ν , а w π n−1. Обозначим через L множество всех слов,

равных на круге π n слову L, т.е. L = {L1, L2… Lk}, где Li Θ L, I = 1,2,…k. Тогда среди слов множества L существует слово Li ,

28

Доказательство. Пусть в множестве L найдется слово Li, 1 ≤ i ≤ k , которое имеет вид:

Li = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 wiσ n−1,

вая изложенное выше, мы должны в данном случае использовать циклические сдвиги, не оставляющие на месте подслово (σ n−1... σ12 ...σ n−1 )s+1 слова L. Но, благодаря структуре слова

(σ n−1... σ 12 ...σ n−1 )s+1 такие преобразования и применение соотношений

29