Приводимые косы (90

Во втором случае мы находимся в ситуации, когда в множестве Q нет ни одного слова вида

(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2σ n−1,

1 ≤ i ≤ r , для которого выполнено равенство (2), приводит к противоречию, следовательно, нами установлен следующий факт.

Qi Q, , также нельзя сбросить отрицательную петлю. Отсюда с

помощью индукции и леммы 2.2 заключаем, что справедливо следующее утверждение.

то коса b не является приводимой. Теорема доказана.

31

Эта теорема допускает другую формулировку, которая часто оказывается более удобной при выяснении вопроса о приводимости кос.

Тогда коса β является минус-приводимой, если и только если найдется такое число i, 1 ≤ i ≤ m, что в полугруппе π n выполняется равенство.

Piσ n−1 = u1σ n−1σ n−2 ...σ1v1σ1σ 2 ...σ n−1u2σ n−1σ n−2 ...σ1v2σ1σ 2 ...σ n−1... (4)

us+1σ n−1σ n−2 ...σ1vs+1σ1σ 2 ...σ n−1us+2

для некоторых положительных слов u1u2 ...us+2 в образующих σ1,...σ n−2 и некоторых положительных слов v1v2 ...vs+1 в образую-

щих σ 2 ,...σ n−1 .

Доказательство. Для каждого i,i= 1,2,…s рассмотрим слово uiσ n−1σ n−2 ...σ1viσ1σ 2 ...σ n−1.

С помощью леммы 1.3 получим, что оно равно слову

uiσ n−1σ n−2 ...σ 2σ 12σ 2 ...σ n−2σ n−1 vi ,

где черта означает, что индекс каждой образующей слова vi уменьшается на единицу, т.е. vi – слово в образующих σ1σ 2 ...σ n−2 . Таким образом, равенство (4) равносильно равенству

Piσ n−1 = u1σ n−1...σ12 ...σ n−1 v1u2σ n−1...σ12...σ n−1...

vsus+1σ n−1...σ12 ...σ n−1 vs+1us+2 .

Отсюда с помощью леммы 1.5 заключаем, что равенства (1) и

(4) равносильны и теорема доказана.

Для того чтобы перейти к следствию из теоремы 2.1 приведем один важный факт, связанный с алгебраической проблемой узлов. Каждое ориентированное зацепление (в частности узел) в

32

виваленты как ориентированные зацепления (в частности узлы). Согласно хорошо известному результату А.А. Маркова ([5]) косы b и g являются замкнуто-эквивалентными, если и только если от

косы β можно перейти к косе g с помощью конечной последова-

а QΘ P.

Доказательство. Если выполнены предположения следствия 2.1, то из теоремы 2.1 получим, что для некоторой положитель-

ориентированно эквивалентно γˆ .

33

3. Описание всех минус-приводимых кос

В этом параграфе мы опишем множество всех минус-приво- димых кос. Так как для n=2 множество всех минус-приводимых

кос состоит из одного элемента σ1−1 , то будем считать, что n ≥ 3. Пусть s Ν , а w – произвольное слово из π n−1. Введем сле-

дующие обозначения:

λ (n, s, w) = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2 , Λ(n, s, w) = {P π n | PΘλ (n, s, w)},

L(n, s) = Λ(n, s, w) ,

w π n−1

R− (n, s) = { −n2s P | P L(n, s − 1)},

R− (n) = R− (n, s) .

s Ν

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1. Множество всех минус-приводимых кос на n нитях совпадает с множеством R-(n).

Доказательство. Пусть коса b принадлежит Bn и является

минус-приводимой. Тогда согласно теореме 2.1 (см. также лем-

му 2.3)

β = −2s P = −2(s+1) 2 P , n n

где s Ν , а P – положительная коса, такая что 2 PΘλ (n, s, w) для некоторого положительного слова w в образующих σ1,σ 2 ,...,σ n−2 .

34

π n слову (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s wσ n−2 ...σ12 ...σ n−2 . Следовательно, (см. лемму 2.3) имеет место равенство

2 Pσ n−1 = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 w.

Отсюда с помощью теоремы 1.1 заключаем, что коса β является минус-приводимой. Теорема доказана.

(σ n−k ...σ12 ...σ n−k )s w(σ n−k−1...σ12 ...σ n−k−1 )σ n−k ...(σ n−2 ...σ12 ...σ n−2 )σ n−1,

где w π n−k .

Λk (n, s, w) = {P π n | PΘλk (n, s, w)},

Lk (n, s) = Λk (n, s, w) ,

w π n− k

R− k (n, s) = { −n2s P | P Lk (n, s − 1)},

R− k (n) = R− k (n, s) .

s Ν

Теорема 3.2. Множество всех минус-приводимых кос ступени не меньше k совпадает с множеством Rk− (n) .

35

Доказательство. Пусть коса b принадлежит Bn и является

минус – приводимой ступени не меньше k. Тогда, применяя k раз теорему 2.1 вместе со следствием 2.1 и леммой 2.3, получим, что справедливо равенство

β = n−2s P ,

где s Ν , а P – положительная коса, такая что 2 P равна на круге в π n косе λk (n, s, w) , где w π n−k . Следовательно,

P Λk (n, s − 1, w) L(n, s − 1) . Таким образом, β Rk− (n, s) Rk− (n).

группы Bn , с помощью k применений теоремы 1.1 заключаем, что

коса β является минус-приводимой k-й ступени. Теорема доказана.

Следствие 3.1. Если α Rn−−1 (n) , то αˆ является тривиальным узлом.

Доказательство. Если α Rn−−1 (n) , то a является минусприводимой косой ступени n − 1. Следовательно, существует последовательность кос α (0) ,α (1) ,...,α (n−1) , для которой α (0) = α ,α (n−1) = 1 B1 . При этом коса α (i+1) получается из косы α (i)

с помощью двух операций Маркова М. (сопряжение) и М3 (сбрасывание петли).

36

Литература

[1] Birman, J. Braids, Lnks, Mapping Class Groups / J. Birman

//Ann. Math. Stud. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1975. – V. 82.

[2]Garside, F.A. On the braid group and other groups / F.A. Garside

//Quart. J. Math. – Oxford, 1969. – V. 20, № 78. –P. 235-254.

[3]Шалашов, В.К. Приводимые косы / В.К. Шалашов // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. – Яросл. гос. ун-т. – Яро-

славль: ЯрГУ, 2003. – С. 1–12.

[4]Маканин, Г.С. Разделимые замкнутые косы / Г.С. Маканин //

Матем сб. 1987. Т. 132(174), № 4. С. 531–540.

[5]Markoff, A.A. Uber die Freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe / A.A. Markoff // Матем. сб. – 1936. – Т. 1(43), № 1. – С. 73–78.

37

УДК 519.4

Множество всех приводимых кос

В.К. Шалашов

Введение

Пусть Bn =< σ1,...,σ n−1; σ iσ j = σ jσ i , если | i − j |≥ 2 и

i, j = 1,...,n − 1, σ i+1σ iσ i+1 = σ iσ i+1σ i , если i = 1,2,...n − 2 > – группа кос на n нитях. Коса β Bn называется приводимой, если она со-

пряжена косе вида β 'σ n−1±1 , где b – слово в образующих σ1...σ n−2

и обратных к ним. В работе [1] спрашивается, как распознавать приводимые косы. В работе [2] получен ответ на этот вопрос (теорема 1).

В настоящей работе на основании уточненной версии теоремы 1 из работы [2] мы получаем описание множества всех приводимых кос (в третьей части работы). При этом в первой части вводится понятие плюс-приводимой косы, получен критерий плюс-приводимости для данной косы и дано описание множества всех плюс-приводимых кос. Вторая часть посвящена изучению аналогичных результатов для минус-приводимых кос. Далее мы используем следующие (стандартные) понятия из теории кос. Через π n обозначается полугруппа положительных кос, т.е. кос, в

записи которых нет образующих с отрицательными показателями. Две положительные косы P и Q равны на круге в полугруппе π n (PΘ Q), если одну из них можно перевести в другую, исполь-

зуя определяющие соотношения полугруппы π n и преобразова-

Bn , полученную из a удалением нити с номер n, при этом нить с

38

номер n косы Φn (α ) (по определению) не запутывается с другими ее нитями.

1. Плюс-приводимые косы

Коса β Bn называется плюс-приводимой, если она сопря-

{P1,… Pm} – множество всех кос, равных на круге в π n косе P.

Тогда коса β является плюс-приводимой в том и только в том случае, если в полугруппе π n выполняется равенство

для некоторого i (1 ≤ i ≤ m).

Доказательство этой теоремы содержится в доказательстве теоремы 1 из работы [2]. Наиболее трудное место в этом доказа-

Qj = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1φn (Qj )σ n−1

также не выполняется ни для какого j, 1 ≤ j ≤ r .

Вот другой подход для проверки этого факта. Пусть

P = (σ n−1...σ12...σ n−1 )s−1uσ n−1,

39

(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 wσ n−1, где w π n−1.

Так как для n=2 множество всех плюс-приводимых кос состоит из одного элементаσ1 , то будем считать, что n ≥ 3.

Пусть s ≥ 0 и целое, а w – произвольное слово из π n−1. Введем следующие обозначения:

τ (n, s, w) = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s wσ n−1 , T (n, s, w) = {P π n | PΘτ (n, s, w)},

T(n, s) = T (n, s, w) ,

w π n−1

R+ (n, s) = { −n2s P | P T(n, s)},

R+ (n) = R+ (n, s).

s≥0

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.2. Множество всех плюс-приводимых кос на n нитях совпадает с множеством R+(n).

Доказательство. Пусть коса b является плюс-приводимой косой на n нитях. Тогда согласно теореме 2.1

β = n−2s P .

где s ≥ 0 и целое, а P – положительная коса, равная на круге в π n косе σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1wσ n−1 для некоторого положительного сло-

R+ (n). Тогда найдется число s ≥ 0 и целое, а также положитель-

40