Приводимые косы (90

и рассмотрим множество Q = {Q1,… Qr} всех кос, равных на кру-

Заметим, что φn (Qi ) есть положительное слово в образующих σ1...σ n−2 . Следующая лемма, касающаяся свойств слов, равных на круге в π n слову Qi, играет важную роль в доказательстве этой теоремы.

Лемма 2.3. Пусть

L = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s+1 wσ n−1,

где s ≥ 0 и целое, а w π n−1. Обозначим через L множество всех слов, равных на круге π n слову L, т.е. L = {L1, L2… Lk},

11

Доказательство. Пусть в множестве L найдется слово Li, 1 ≤ i ≤ k , которое имеет вид

Li = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s+1 wiσ n−1,

благодаря циклическим сдвигам, которые оставляют на месте

тывая изложенное выше, мы должны в данном случае использо-

такова, что на этом пути мы никогда не получим в множестве L слова, содержащего n . Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

12

ном случае использовать циклические сдвиги, не оставляющие на месте подслово (σ n−1... σ12 ...σ n−1 )s+1 слова L. Но, благодаря струк-

туре слова (σ n−1... σ12 ...σ n−1 )s+1 , такие преобразования и применение соотношений в π n никогда не приводят к слову из L, содержащему 2n . Лемма доказана.

Вернемся теперь к непосредственному доказательству теоремы 2.1 и предположим, что для некоторого i, 1 ≤ i ≤ r , в полугруппе π n выполнено равенство:

Qi = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s+1 w σ n−1,

где w π n−1. Тогда согласно лемме 2.3 либо в множестве Q содержится слово вида

2n (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s w' σ n−1,

где w' π n−1 , либо Q не содержит ни одного слова, содержащего

что противоречит нашему предположению о множестве P. Во

втором случае мы находимся в противоречии с предположением о множестве Q .

Таким образом, предположение о том, что существует i, 1 ≤ i ≤ r , для которого выполнено равенство (2), приводит к противоречию. Следовательно, нами установлен следующий факт.

Qi Q , также нельзя сбросить положительную петлю. Применив теперь индукцию по t, получим, что с косы n−2(s+t ) R, где

14

RΘΔn2t P , нельзя сбросить положительную петлю. Отсюда с по-

мощью леммы 2.2 заключаем, что справедливо следующее утверждение.

Теорема доказана.

Доказанная теорема допускает другую формулировку, которая часто оказывается более удобной при выяснении вопроса о

{P1,… Pm} – множество всех кос, равных на круге в π n косе P. Тогда коса β является плюс-приводимой, если и только если

найдется такое число i, 1 ≤ i ≤ m и множество из s+1 положительных слов u1,u2,…, us+1 в образующих σ1...σ n−2 , а также множество из s положительных словv1,…vs в образующих σ 2 ...σ n−1 , что в полу-

группе π n выполняется равенство:

Доказательство. Для каждого i,i= 1,2,…s рассмотрим слово uiσ n−1σ n−2 ...σ1viσ1σ 2 ...σ n−1.

С помощью леммы 1.3 получим, что оно равно слову

uiσ n−1σ n−2 ...σ 2σ12σ 2 ...σ n−2σ n−1 vi ,

где черта означает, что индекс каждой образующей слова vi уменьшается на единицу, т.е. vi – слово в образующих σ1σ 2 ...σ n−1. Таким образом, равенство (4) равносильно равенству

15

Pi = u1σ n−1...σ12 ...σ n−1 v1u2σ n−1...σ12 ...σ n−1 v2u3...

vs−1usσ n−1...σ12 ...σ n−1 vsus+1σ n−1.

Отсюда с помощью леммы 1.5 заключаем, что равенства (1) и

(4) равносильны и теорема доказана.

Для того чтобы перейти к следствию из теоремы 2.1 приведем один важный факт, связанный с алгебраической проблемой узлов. Каждое ориентированное зацепление (узел) в S3 можно

как ориентированные зацепления (узлы). Согласно хорошо из-

а QΘ P.

Доказательство. Если выполнены предположения следствия 2.1, то из теоремы 2.1 получим, что для некоторой положительной косы Pi, Pi Θ P, 1 ≤ i ≤ m справедливо равенство

Pi = (σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s φn (Pi )σ n−1 .

Обозначим Pi через Q и рассмотрим косу

α = n−2sQ .

16

ориентированно эквивалентно γˆ .

3. Описание всех плюс-приводимых кос

В этом параграфе мы опишем множество всех плюс-приво- димых кос на n нитях. Так как для n=2 множество всех плюс-

приводимых кос состоит из одного элемента σ1 , то будем счи-

тать, что n ≥ 3.

Пусть s ≥ 0 и целое, а w – произвольное слово из π n−1. Введем следующие обозначения:

τ (n, s, w) = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s wσ n−1 , T (n, s, w) = {P π n | PΘτ (n, s, w)},

T (n, s) = T (n, s, w) ,

w π n−1

R+ (n, s) = { −n2s P | P T(n, s)} ,

R+ (n) = R+ (n, s).

s≥0

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.1. Множество всех плюс-приводимых кос на n нитях совпадает с множеством R+(n).

Доказательство. Пусть коса β принадлежит Bn и является плюс-приводимой. Тогда согласно теореме 2.1

17

(σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s wσ n−1, где w π n−1, что имеет место равенство

β = n−2s P ,

откуда, учитывая, что n−2s принадлежит центру группы Bn, с помощью теоремы 1.1. заключаем, что коса β является плюс – приводимой. Теорема доказана.

причем β (0) = β .

Замечание. Это определение при k = 1 совпадает с определением плюс-приводимой косы.

Для описания множества всех плюс-приводимых кос ступени не меньше k введем следующие обозначения:

τ k (n, s, w) = (σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s (σ n−2 ...σ 2σ12σ 2 ...σ n−2 )s ...

(σ n−k ...σ 2σ12σ 2 ...σ n−k )s wσ n−kσ n−k+1...σ n−1 ,

где w π n−k .

Tk (n, s, w) = {P π n | PΘτ k (n, s, w)},

18

T k (n, s) = Tk (n, s, w) ,

w π n−k

R+ k (n, s) = { −n2s P | P T k (n, s)},

R+ k (n) = R+ k (n, s).

s≥0

Теорема 3.2. Множество всех плюс-приводимых кос ступени не меньше k совпадает с множеством Rk+ (n).

Доказательство. Пусть коса β принадлежит Bn и является

плюс-приводимой ступени не меньше k. Тогда, применяя k раз теорему 2.1 вместе со следствием 2.1, получим, что справедливо равенство

β = n−2s P ,

где s ≥ 0 и целое, а P – положительная коса, равная на круге в π n косе

(σ n−1...σ 2σ12σ 2 ...σ n−1 )s ...(σ n−k ...σ 2σ12σ 2 ...σ n−k )s wσ n−kσ n−k+1...σ n−1 ,

где w π n−k . Следовательно, P Tk (n, s, w) T (n, s) . Таким обра-

зом, β Rk+ (n, s) Rk+ (n).

Предположим теперь, что коса β принадлежит множеству Rk+ (n). Тогда найдется число s ≥ 0 и целое, а также положительное слово P, равное на круге в π n слову

(σ n−1...σ12 ...σ n−1 )s ...(σ n−k ...σ12 ...σ n−k )s wσ n−k ...σ n−1 ,

где w π n−k такие, что имеет место равенство

β = n−2s P .

19

с помощью k применений теоремы 1.1 заключаем, что коса β является плюс-приводимой k-й ступени. Теорема доказана.

Следствие 3.1. Если α Rn+−1 (n) , то узел αˆ является тривиальным узлом.

Доказательство. Если α Rn+−1 (n) , то α является плюс-при-

водимой косой ступени n −1. Следовательно, существует последовательность кос α (0) ,α (1) ,...,α (n−1) , для которой

α (0) = α ,α (n−1) = 1 B1 . При этом коса α (i+1) получается из косы α (i) с

помощью двух операций Маркова М. (сопряжение) и М3 (сбрасывание петли).

Литература

[1] Birman, J. Braids, Lnks, Mapping Class Groups / J. Birman

//Ann. Math. Stud. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1975. – V. 82.

[2]Garside, F.A. On the braid group and other groups / F.A. Garside

//Quart. J. Math. – Oxford, 1969. – V. 20, № 78. – P. 235–254.

[3]Шалашов, В.К. Приводимые косы / В.К. Шалашов // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. – Яросл. гос. ун-т. – Яро-

славль: ЯрГУ, 2003. – С. 1–12.

[4] Маканин, Г.С. Разделимые замкнутые косы / Г.С. Маканин

//Матем сб. 1987. Т. 132(174), № 4. С. 531–540.

[5]Markoff, A.A. Uber die Freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe / A.A. Markoff // Матеем. сб. – 1936. – Т. 1(43), № 1. – С. 73–78.

20