Приводимые косы (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

В.К. Шалашов

Приводимые косы

Препринт

Ярославль 2007

УДК 519.4

Плюс – приводимые косы

В.К. Шалашов

Введение

Пусть Bn =< σ1,...,σ n−1; σ iσ j = σ jσ i , если | i − j |≥ 2 и

i, j = 1,...,n − 1, σ i+1σ iσ i+1 = σ iσ i+1σ i , если i = 1,2,...n − 2 > – группа кос на n нитях. Коса β Bn называется приводимой, если она со-

пряжена косе вида β 'σ n−1±1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2

и обратных к ним. В работе [1] спрашивается, как распознавать приводимые косы.

В настоящей работе мы вводим понятие плюс-приводимой косы, для которой (в отличие от приводимой) требуется, чтобы

она была сопряжена косе вида β 'σ n−1 . Далее мы используем следующие (стандартные) понятия из теории кос. Через π n обозна-

чается полугруппа положительных кос, т.е. кос, в записи которых нет образующих с отрицательными показателями. Две положительные косы P и Q равны на круге в полугруппе π n (PΘ Q), если

одну из них можно перевести в другую, используя определяющие соотношения полугруппы π n и преобразования вида AB BA.

Через m обозначается коса σ1...σ m−1σ1...σ m−2 ...σ1σ 2σ1. При этом

где s Ζ+ , т.е. s ≥ 0 и целое, а коса P π n .

В первой части работы получен алгоритм, который по произвольной косе β распознает возможность ее представления в виде

β 'σ n−1 , где β ' – слово в образующих σ1...σ n−2 и обратных к ним.

Во второй части работы найден критерий плюс-приводимости для данной косы, наконец, в третьей части предлагается описание множества всех плюс-приводимых кос.

5

1. Критерий сбрасывания положительной петли

Определение 1.1. Пусть α Bn и α = α 'σ n−1 , где α ' – слово из Bn в образующих σ1,σ 2 ...σ n−2 и обратных к ним. В этом случае

будем говорить, что с косы α можно сбросить положительную петлю.

Как узнать, можно ли с косы α сбросить положительную петлю? Ответ содержится в теореме 1.1. Для ее формулировки нам понадобится операция удаления нити из косы.

Определение 1.2. Для α Bn и i {1,...,n} рассмотрим отображение Φi : Bn → Bn , состоящее в удалении из косы α нити с

номером i и добавлении нити с номером n, идущей как в единичной косе.

Теорема 1.1. С косы α = n−2s P , где s Ζ+ , а P – положи-

тельная коса, можно сбросить положительную петлю тогда и только тогда, когда в полугруппе π n выполняется равенство

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1.1. Если σ и τ две произвольные косы из Bn , то

Φi (στ ) = Φi (σ )Φμ (i) (τ ) , где 1 ≤ i ≤ n , а μ – перестановка, соответ-

ствующая косе σ .

Доказательство этой леммы следует из определения отображения Φ и того факта, что i-ая нить косы σ заканчивается там, где начинается нить с номером μ (i) косы τ .

Лемма 1.2. С косы α можно сбросить положительную петлю тогда и только тогда, когда в группе Bn выполняется равенство:

6

Доказательство. Если выполнено равенство (2), то с косы α можно сбросить положительную петлю, так как согласно определению отображения Φn коса Φn (α ) есть слово в образующих

σ1±1,...,σ n±−12 .

Пусть теперь с косы α можно сбросить положительную петлю, то есть в группе Bn выполнено равенство

где α ' Bn−1 . Тогда, применяя к левой и правой части равенства

(3) отображение Φn , получим, используя лемму 1.1, равенство

7

критерий сопряженности кос Г.С. Маканина, с которого мы начинаем этот параграф.

дает с множеством всех кос, сопряженных косе β в группе Bn . Доказательство. Обозначим через Tβ множество всех кос,

сопряженных косе β в группе Bn . Докажем, что {β } = Tβ . Заметим, что

∞

{β } = {βt },

целое, а R – положительная коса. Если m – четное, то α = n−2k R, в противном случае α = n− (m+1) n R и m+1 – четное. Поэтому

9

α {β }. Лемма доказана.

ется плюс-приводимой в том и только том случае, если найдется

содержащая n . Рассмотрим множество P = {P1,… Pm} всех кос, равных на круге в π n косе P. Пусть существует i, 1 ≤ i ≤ m, такое что в π n выполняется равенство (1). Тогда в силу леммы 2.1 и

теоремы 1.1 коса b приводима.

Предположим теперь, что множество P обладает тем свойст-

вом, что ни для какого i, 1 ≤ i ≤ m , не выполняется равенство (1). Докажем, что в этом случае коса b не является приводимой.

Представим косу b следующим образом:

β = n−2(s+1) n2 P

10