Интегрирование методом подстановки.
Пусть
требуется найти интеграл
непосредственное интегрирование,
которого не дало окончательного
результата.
Заменим
переменную в подынтегральном выражении,
положив
,
где
непрерывная вместе со своей производной
функция. Получим
.
Вычислим
полученный интеграл по переменной
,
а затем после интегрирования по переменной
перейдем к прежней переменной
,
вновь воспользовавшись формулой
Например:
1.
Сделаем замену
переменной, положив
,
тогда интеграл примет вид
2.
Положим
,
отсюда выразим
и найдем
Тогда
3.
Полагаем
,
тогда
4.
Положим
тогда
Заметим, что подобрать нужную подстановку удается не всегда быстро, необходимы определенные навыки и практический опыт.
Метод подведения под знак дифференциала.
Пусть требуется
найти интеграл
где
подынтегральные функции непрерывны.
Применив подстановку
,
получим
Полученная формула лежит в основе метода подведения под знак дифференциала. Покажем этот метод на примерах вычисления интегралов.
Например.
Найти интеграл ы:
1.
Обозначим
,
тогда
Следовательно
2.
Обозначим
,
тогда
Интеграл примет вид
3.
4.
Преобразования подынтегральных выражений, проведенные в выше указанных интегралах, называются подведением под знак дифференциала.
Итак: Если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения некоторой функции и производной от этой функции, либо от промежуточного аргумента этой функции, то, подведя под знак дифференциала производную, вычисление интеграла производится непосредственно.
Интегрирование по частям.
Формула интегрирования по частям имеет вид
Справедливость
формулы вытекает из того факта, что
Интегрируя
обе части получаем
Откуда
Формула
интегрирования по частям сводит
вычисление интеграла
к вычислению интеграла
.
Метод интегрирования по частям применяют
тогда, когда подынтегральное выражение
представляет произведение двух
дифференцируемых функций, при этом
производная от одной из функций, проще
по отношению к самой заданной функции.
Например:
1.
Полагаем
и
Тогда
и
следовательно
2.
Полагаем
и
тогда
и
следовательно
3.
Применим формулу интегрирования по частям дважды
Сначала
положим
и
тогда
и
подставив
полученные выражения будем иметь
Далее полагаем
и
тогда
и
4.
полагаем
и
тогда 
и
Следовательно
Для интеграла, стоящего в правой части снова применим формулу интегрирования по частям
Полагаем
и
тогда
и
Подставляя найденные значения в формулу, будем иметь
Таким образом
получим алгебраическое уравнение
относительно исходного интеграла
Откуда
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Рассмотрим интегралы вида
Для вычисления интегралов, содержащих квадратный трехчлен, поступают следующим образом:
1.Выделяют
полный квадрат из трехчлена, стоящего
в знаменателе
2.
Обозначают 
3.Вычисляют интегралы с помощью одной из формул (12)-(16) непосредственно по таблице интегралов
Например:
Рассмотрим
интегралы вида
Для вычисления интегралов, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе двучлен первой степени применяют следующие преобразования:
1. В числителе из двучлена выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе
Полученный таким образом интеграл представляют в виде суммы двух интегралов, первый из которых вычисляют методом подведения под знак дифференциала; второй – способом, указанным в начале этого параграфа
Например:
