Ряды (110
..pdf
Если функция f (x) задана на сегменте [0; l], то для разложения ее в ряд Фурье достаточно доопределить ее на сегменте [−l; 0] произвольным
способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте [−l; l]. Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее зна-
чения в точках сегмента [−l; 0] находились из условия f (x) |
= f (−x) или |
f (x)= − f (−x). В первом случае функция f (x) на сегменте |
[−l; l] будет |
четной, а во втором – нечетной. При этом коэффициенты разложения такой функции ( am в первом случае и bm – во втором) можно определить по выше-
приведенным формулам для коэффициентов четных и нечетных функций. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с
периодом 2π, заданную в интервале (−π; π ) уравнением f (x)=π + x.
Решение.
Графиком этой функции в интервале (−π; π ) является отрезок, соединяющий точки (−π; 0) и (π; 2π ). Сумма ряда Фурье функции f (x) является периодической функцией с периодом 2π и совпадает с функцией f (x) на сегменте [−π; π].
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим a0 = π1 −π∫π f (x)dx = π1 −π∫π (π + x)dx = −π∫π dx + π1 −π∫π xdx.
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким
образом, a0 = π∫dx = 2π.
−π
Далее, находим коэффициенты am. Имеем
am |
= |
1 |
π∫ |
f (x)cos mxdx = |
1 |
π∫(π + x)cos mxdx = |
π∫cos mxdx + |
1 |
π∫ xcos mxdx. |
|
π |
π |
π |
||||||||
|
|
−π |
|
−π |
−π |
−π |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная |
|||||||||
функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную). Итак, am = 0 , т. е. a1 = a2 = a3 =... = 0.
Найдем теперь коэффициенты bm: |
|
|
|
|||
bm = |
1 |
π∫ f (x)sin mxdx = |
1 |
π∫(π + x)sin mxdx = |
||
π |
π |
|||||
|
|
−π |
|
|
−π |
|
|
|
= π∫sin mxdx + |
1 |
π∫ xsin mxdx. |
||
|
|
π |
||||
|
|
−π |
|
−π |
||
21 |
|
|
|
|||
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bm = |
2 |
π∫xsin mxdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
u = x, |
dv =sin mx dx, |
|
du = dx, |
||||||||
|
Интегрируя по |
|
|
частям, |
получим |
|
|
||||||||||||||||||||||
v = − |
1 |
cos mx, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2x |
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
π |
|
||||
|
|
|
|
∫0 cos mxdx = − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
bm = − |
|
cos mx |
|
|
0 |
+ |
|
|
cos mπ + |
|
sin mx |
0 |
= |
||||||||||||||
|
|
mπ |
mπ |
m |
πm2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
(−1)m |
= |
|
2 |
(−1)m+1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
f (x) в ряд Фурье имеет вид |
||||||||||||
|
Следовательно, разложение функции |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin mx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (x)=π + 2∑ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=π + |
2 |
|
− |
sin 2x |
+ |
sin 3x |
− |
sin 4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
sin x |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
+... . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задания для самостоятельного решения
На отрезке [−π; π] разложить в ряд Фурье функции:
1. |
f (x)=sin x; |
2. |
f (x)= x; |
3. |
f (x)= x2 ; |
4. |
f (x)= x3; |
5. |
f (x)= x +π; |
6. |
f (x)= x −π; |
7. |
f (x)= 2x +3; |
8. |
f (x)= 2 −3x. |
На отрезке [−2; |
|
2] разложить в ряд Фурье функции: |
|||||||||||||||||
1. |
f (x)= |
|
x −1 |
|
; |
|
|
2. |
f (x)= 2 − |
|
x −1 |
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
f (x)= |
|
2 |
|
x − |
|
1 |
|
; |
4. |
f (x)= |
|
x − |
|
1 |
|
−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
22
ЛИТЕРАТУРА
1.Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Николь-
ский. – М. : Наука, 1985. – 320 с.
2.Виноградова И.А. Задачи и упражнения по математическому анализу : в 2 кн. / И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. – М. :
Высш. шк., 2000. – Кн. 1. – 725 с.
3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для втузов : в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. :
Высш. шк, 1999. – Ч. 1. – 304 с.
4.Демидович Б.П. Линейная алгебра и основы математического анализа : сб. задач по математике для втузов : в 2 ч. / Б.П. Демидович,
А.В. Ефимов. – М. : Наука, 1993. – Ч. 1. – 480 с.
5.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Ми-
норский. – М. : Наука, 1969. – 352 с.
6.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2005. – Ч. 1. – 288 с.
7.Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. – М. : Наука, 1995.
8.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике : учеб. пособие /
В.С. Шипачев. – М. : Высш. шк., 2003. – 304 с.
23
Учебное издание
РЯДЫ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Голованёва Фаина Валентиновна, Петрова Елена Владимировна
Корректор В.П. Бахметьев
Подписано в печать 06.07.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 50 экз. Заказ 356.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс) +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3