Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды (110

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

337.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

∞

2n2 +

∞

15.

∑

;

16.

∑

;

n=1

∞

17.

∑

;

18.

∑

;

nln

(3n +1)

nln

(2n +1)

n=2

n=1

∞

19.

∑

;

20.

∑

;

(2n +3)ln

(

2n +1)

(3n −5)ln

(4n −

n=1

n=3

∞

n+1

2n +1

∞

n+1

21.

∑(

−1)

;

22.

∑(−1)

;

n(n +1)

n=1

2n +

∞

23.

∑(

−1)n+1

;

24.

∑(−1)n

ln (n +1)

(n +1)ln n

n=2

n=3

2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

∞

Ряд ∑un (x)=u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+... +un (x)+... , члены которого –

n=1

функции от x , называется функциональным.

Совокупность значений аргумента x , при которых функции

∞

u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un (x)... определены и ряд ∑un (x) сходится, называ-

n=1

ют областью сходимости функционального ряда. Данной областью может быть некоторый промежуток оси Ox , точка или вся числовая прямая. Каждому значению из области сходимости X ряда соответствует определенное

значение величины lim ∑uk (x). Эту величину, являющуюся функцией x,

n→∞ k=1

называют суммой функционального ряда и обозначают через S (x), а

∑uk (x)= Sn – n -ая частичная сумма ряда.

k=1

Представим сумму ряда в виде S (x)= Sn (x)+ Rn (x), где

Sn (x)=u1 (x)+u2 (x)+... +un (x), Rn (x)=un+1 (x)+un+2 (x)+...,

где Rn (x) – остаток функционального ряда.

∞

Сходящийся функциональный ряд ∑un (x) называется равномерно

n=1

сходящимся в некоторой области X , если для каждого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое натуральное N , что при n ≥ N, n выполня-

ется неравенство Rn (x) <ε для любого x из области X . При этом сумма

∞

S (x) равномерно сходящегося ряда ∑un (x) в области X , где un (x)

n=1

( n =1, 2, 3, ...) – непрерывные функции, есть непрерывная функция.

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса). Если функции u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un (x)...

по абсолютной величине не превосходят в некоторой области X положи-

тельных чисел a1, a2 , ..., an , ..., причем числовой ряд a1 + a2 +... + an +... схо-
дится, то функциональный ряд	u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+... +un (x)+... в этой
области сходится равномерно.	u1 (x)+u2 (x)+u3 (x)+... +un (x)+..., где
Теорема 1. Если ряд

u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un (x)... – непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области и имеет сумму S (x), то ряд

∫b u1 (x)dx + ∫b u2 (x)dx +... + ∫b un (x)dx +... сходится и имеет сумму ∫b S (x)dx.

a	a	a	a
	Теорема 2. Пусть функции u1 (x), u2 (x), u3 (x), ..., un (x)... определены
в	некоторой области	и	имеют в этой области производные
u1′(x), u2′(x), u3′(x), ..., un′(x)...			∞
u1′(x), u2′(x), u3′(x), ..., un′(x)...			Если в этой области ряд ∑un′(x) сходится

n=1

равномерно, то его сумма равна производной от суммы первоначального

∞

′

ряда: ∑un′(x)= ∑un

(x) .

n=1

Пример 1. Дан функциональный ряд

4 − x

4 − x 2

4 − x

+... +

+...

7x + 2

+ 2

2n −

7x + 2

1 7x + 2

Исследовать сходимость ряда в точках x = 0 и x =1.

Решение.

В точке x = 0 получаем ряд

2 + 1

1 23

+... +

2n +...

2n −1

Здесь un =

un+1

2n+1

. Применяем признак Д’Аламбера:

2n −1

2n +1

2 − 1

un+1

n+1

(

2n −1

−

D = lim

= lim

)

2lim

= 2lim

= 2

(2n +1)

n→∞

2 + n

т. е. D >1. Следовательно, ряд расходится. 12

В точке x =1 получаем числовой ряд

1		1	1 2		1	1 3		1	1 n
	+			+			+... +			+...
3		3	3		5	3		2n −1	3

Здесь un =

un+1 =

. Применяем признак Д’Аламбера:

3n (2n −1)

3n+1 (2n +1)

(

−1

−

− 1

un+1

D = lim

= lim

)

lim

3n+1 (2n +1)

n→∞

3 n→∞

т. е. D <1. Следовательно, ряд сходится.

+ n

Пример 2. Найти область сходимости ряда

... +

+...

Решение.

1 + x2

1 + x4

+ x6

1 + x2n

Если

<1,

то limu

= lim

=1;

так как limu

≠ 0,

то ряд расхо-

n→∞

n→∞1 + x2n

n→∞

дится. Если

=1, то также получаем расходящийся ряд

+ 1

+...

Если

>1,

то члены заданного ряда меньше членов бесконечно убы-

вающей геометрической прогрессии x12 + x14 + x16 +..., т. е. ряд сходится.

Итак, область сходимости ряда определяется неравенством x >1. Отсюда следует, что ряд сходится, если x (−∞; −1) (1; + ∞).

Задания для самостоятельного решения

Найти область сходимости ряда:

∞

∑

;

n=1

∞

∑

;

(

n +

n +1)

x+2

n=1

∞

∑

;

+ n

n=1

∞

n +5

7. ∑

;

3x−x2

n=1

∞

∑

;

+ x

n=1

	∞			n+1
	∞	(−ln1(1)+x) ;
2. ∑		(−ln1(1)+x) ;
	n=1	n
4.	∞		+	4 n		e	n(x2	−4)+x n	;
4.	∑ 1		+			e			;
	n=1			n
	∞	2		x2 +1
6.	∑en		sin		;
6.	∑en		sin	n	;
	n=1
	∞
8.	∑narcsin 3−nx ;

n=1

∞

10. ∑n2arctg 2nx.

n=1

Используя признак Вейерштрасса, исследовать на сходимость следующие функциональные ряды на промежутке E:

	∞		(−1)	n
1.	∑		(−1)			, E =(−∞; +∞);
1.	∑	2			n	, E =(−∞; +∞);
	n=1		x + 2
	∞		ncos	(	nx2				)
3.	∑			(					)		, E =(−∞; +∞);
3.	∑		(n +		1)		3				, E =(−∞; +∞);
	n=1		(n +		1)			)
	∞		cos(nx			2		)
5.	∑					2				, E =(−∞; +∞);
5.	∑		x2 + 3 n4							, E =(−∞; +∞);
	n=1		x2 + 3 n4
	∞
7.	∑3−n arctg x , E =(−∞; +∞);
	n=1
	∞		arctg (nx)
9.	∑		arctg (nx)							, E =(−∞;+∞);
9.	∑									, E =(−∞;+∞);
	n=1		n n +1

2.	∞	(−1)n			, E = 1; +∞			;
2.	∑n=1 x + 2n3				, E = 1; +∞			;
	∑n=1 x + 2n3					[	)
	∞	(−1)	n(n−1)
4.	∞	(−1)	2	n		, E = 1; +∞			)	;
	∑			n			[		)
	n=1	(2 + x)
	∞
6.	∑n=1	2x			, E =[0; +∞);
6.	∑n=1	1+ n3 x2			, E =[0; +∞);

8. ∑∞ sin (n x ), E =[0; +∞);

n=1 n4 + x2

∞	−+1)	n
10. ∑n=1 5(n	−+1)	x , E =[0; +∞).

3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Функциональный ряд вида

∞

∑an (x −a)n = a0 + a1 (x −a)+ a2 (x − a)2 +... + an (x − a)n +... ,

n=0

где a, a0 , a1, ..., an , ... – действительные или комплексные числа, называется степенным, a, a0 , a1, ..., an , ... – коэффициенты ряда.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при x = a ≠ 0 , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком

значении x , удовлетворяющем неравенству

(теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является то, что для всякого сте-

пенного ряда существует интервал

сходимости

x −a

< R (или

a − R < x < a + R с центром в точке a ), внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни – сходятся абсолютно на обоих концах; другие – либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся; третьи – расходятся на обоих концах.

Число R > 0 – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если R = 0, то степенной ряд сходится лишь при x = a; если же R = ∞, то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда a1, a2 , ..., an , ... нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности x −a , то

R = lim		an	(1)
R = lim	a		(1)
n→∞	a
		n+1

при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует. 2. Если исходный ряд имеет вид

a0 + a1 (x −a)p + a2 (x −a)2 p +... + an (x − a)np +...

(где p – некоторое определенное целое положительное число: 2, 3, …), то

R = p lim		an	.	(2)
R = p lim	a		.	(2)
n→∞	a
		n+1
3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последова-
тельность оставшихся в ряде показателей степеней разности				x − a любая

(т. е. не образует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле

R =	1		,	(3)
R =			,	(3)
	lim n	a
	n→∞	n
	n→∞

в которой используются только значения an , отличные от нуля. (Эта фор-

мула пригодна и при способах 1 и 2.)

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Д’Аламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Записав ряд в виде u0 (x)+u1 (x)+u2 (x)+... +un (x)+... (здесь u0 = a0 , un (x)= an (x −a)N , где зависимость N от n может быть любой, причем че-

рез an обозначен не коэффициент при (x −a)n , а коэффициент n -го члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств

lim

un+1

<1 или lim n

<1.

n→∞

Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией.

Всякая функция f (x), определенная в окрестности точки x0 и бесконечно дифференцируемая в интервале x − x0 < r , т. е. x0 −r < x < x0 + r, мо-

жет быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

f (x)= f (x0 )+

f ′(x

)

− x0 )+

′′(x

)

− x0 )

f (n) (x

)

(x − x0 )

+…+

+...,

если в этом интервале выполняется условие

lim R

(x)= lim

f (n+1) (c)

− x )

n+1

= 0,

(n +1)!

n→∞

где Rn (x) – остаточный член

формулы

Тейлора (или

остаток

ряда),

c = x0 +θ (x − x0 ), причем 0 <θ <1.

При x0 = 0 получается ряд Маклорена

f (x)= f (0)+

f ′(0)

x +

f ′′(0)

x2 +…+

f (n) (0)

+...

Если в некотором интервале, содержащем точку x0 , при любом n вы-

полняется неравенство

f (n) (x)

< M ,

где M

–

положительная постоянная,

то lim Rn = 0 и функция

(x)

разложима в ряд Тейлора.

n→∞

Приведем разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

+…+

+...; −∞ < x < +∞;

sin x =

(−1)n x2n+1

+...; −∞ < x < +∞;

−

−…+

(2n +1)!

(−1)n x2n

cos x =1 −

−

+…+

(2n)!

+...; −∞ < x < +∞;

(

m −1

m(m −1)… m −(n −1)

(1+ x)

=1+ m x +

)

2 +…+

xn +...;

[−1;1],

еслиα ≥ 0

−1;1 ,

если −1 <α < 0;

(

]

(−1;1),

еслиα ≤ −1

=1+ x + x2 + x3

+…+ xn +...; x (−1;1);

1− x

xn+1

ln (x +1)= x −

−…+(−1)n

+...; x (−1;1].

n +1

Пример 1. Исследовать сходимость степенного ряда x + 12 x2 + 13 x3 +... + 1n xn +...

Решение.

Здесь a = 0 , an = 1n , an+1 = n 1+1 . Найдем радиус сходимости ряда:

R = lim		a	n		n +1			1	=1.
			n	= lim		= lim 1	+
	a			= lim	n	= lim 1	+
n→∞	a			n→∞	n	n→∞		n
		n+1
Следовательно, ряд сходится для значений								x,	удовлетворяющих не-

равенству −1 < x <1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x =1, то по-

лучаем	гармонический ряд	1+		1	+	1	+	1	+..., который расходится. Если
				2		3		4
x = −1,	то получаем ряд −1+	1	−	1	+	1	−... Этот числовой ряд сходится, так
		2		3		4

как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством −1 ≤ x <1.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

(x − 2)+ 212 (x − 2)2 + 312 (x − 2)3 +... + n12 (x − 2)n +...

Решение.

Здесь a = 2 , an = n12 , an+1 = (n +11)2 . Найдем радиус сходимости ряда:

R = lim

(n +1)2

1 2

=1.

= lim

= lim 1+

n→∞

n+1

Следовательно, ряд сходится для значений

x , удовлетворяющих не-

равенству −1 < x − 2 <1, т. е. 1 < x <3.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x =3 , то по-

лучаем ряд 1+

+..., который сходится на основании интеграль-

ного признака.

Если

x =1,

то получаем ряд −1+

−

−... Этот ряд

сходится (и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством 1 ≤ x ≤ 3.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

1!(x −5)+ 2!(x −5)2 + 3!(x −5)3 +... + n!(x −5)n +...

Решение.

Здесь a =5 , an = n!, an+1 =(n +1)!. Найдем радиус сходимости ряда:

R = lim

= lim

1 2 3 ... n

= lim

= 0.

an+1

(n +1)!

1 2 3 ... n(n +1)

n→∞

n→∞ n +1

Следовательно, ряд сходится только при x −5 =0, т. е. в точке x =5. Пример 4. Исследовать сходимость ряда

x	+	x2	+	x3	+... +	xn	+...
1!		2!		3!		n!

Решение.

Здесь a = 0 , an = n1! ,

R = lim

n→∞

an+1 = (n +1 1)!. Найдем радиус сходимости ряда:

an	= lim	(n +1)!	= lim(n +1)= ∞.

an+1		n!
	n→∞		n→∞

Следовательно, ряд сходится при любом значении x. Отсюда, между прочим, заключаем, что предел общего члена ряда при любом значении x

равен нулю, т. е. lim xn = 0.

n→∞ n!

Пример 5. Разложить в ряд по степеням x функцию f (x)= 2x.

Решение.

Найдем значения функции и ее производных при x = 0 :

f (x)= 2x ,	f (0)= 20 =1,
f '(x)= 2x ln 2,	f '(0)= ln 2,
f "(x)= 2x ln2 2,	f "(0)= ln2 2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

		f (n) (x)= 2x lnn 2,						f (n) (0)= lnn 2.
Так как 0 < ln 2 <1, то при фиксированном x из окрестности точки
				f (n)		(x)		≤ 2 для любого n. Следовательно,
x = 0 имеет место неравенство
0
функция может быть представлена в виде ряда Маклорена:
2	x	=1+ xln 2 +	x2 ln2	2	+		x3 ln3 2		+..., −∞ < x < +∞.
			2!			3!

Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении

ex =1+ x + x2 + x3 +..., −∞ < x < +∞

2! 3!

заменить x на xln 2.

Задания для самостоятельного решения

Найти область сходимости ряда:

∞

1. ∑(n +5)xn−1;

n=1

∞

3. ∑(n + 4)xn−1;

n=1

∞

5. ∑(n +3)xn−1;

n=1

∞

2. ∑(n +5)x2n ;

n=0

∞

4. ∑(n + 4)x3n ;

n=0

∞

6. ∑(n +3)x4n.

n=0

Разложить функцию по степеням x :
11.	f (x)= ex ;	12.	f (x)= e2 x ;
13.	f (x)=3ex ;	14.	f (x)= ln x;
15.	f (x)= ln (x +1);	16.	f (x)= ln (3x +1).
Разложить функцию по степеням x +1:
17.	f (x)= ex ;	18.	f (x)= e2 x ;
19.	f (x)=3ex ;	20.	f (x)= ln x;
21.	f (x)= ln (x +1);	22.	f (x)= ln (3x +1).

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

Тригонометрическим рядом Фурье периодической функции f (x) с периодом 2π , определенной на сегменте [−π; π], называется ряд

a0					∞
			+		∑(am cos mx +bm sin mx),		(1)
2					m=1
где				π∫
am =	1				f (x)cos mxdx	(m = 0,1, 2, ...),
	π
			−π
bm =		1		π∫	f (x)sin mxdx	(m =1, 2, ...) –
		π
				−π
коэффициенты Фурье функции f (x).
Если ряд (1) сходится, то его сумма S (x) есть периодическая функ-
ция с периодом 2π , т. е. S (x + 2π )= S (x).							f (x) на
Теорема Дирихле.					Пусть функция 2π -периодическая

сегменте [−π; π] удовлетворяет двум условиям: 1) f (x) – кусочно-непре- 19

рывная, т. е. непрерывная или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2) f (x) – кусочно-монотонная, т. е. монотонная или имеет конечное число

точек экстремума (т. е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента [−π; π] и

сумма S (x) этого ряда:

1. S (x)= f (x)

во всех точках непрерывности функции f (x),

лежа-

щих внутри сегмента

[−π; π];

S (x )=

−0)+ f (x

+ 0) , где

– точка разрыва I

рода

функции f (x);

3. S (x)= 1

f (−π + 0)

+ f (π −0) на концах отрезка, т. е. при x = ±π.

f (x)

Если функция

задана на сегменте [−l; l], где l – произвольное

число, и имеет период 2l ,

то при выполнении на этом сегменте условий

Дирихле указанная функция может быть представлена рядом Фурье

∞

mπx

f (x)=

+ ∑ am cos

+bm sin

где

m=1

∫l

am =1

f (x)cos

mπx

dx (m

= 0;1;…),

bm =

f (x)sin

mπx

dx (n =1; 2;…).

−l

f (x)

−l

В случае, когда

– четная функция, ее ряд Фурье содержит толь-

ко свободный член и косинусы, т. е.

f (x)= a0

∞

mπx

+ ∑am cos

где

m=1

∫l

am =

f (x)cos

mπx

dx,

{0}.

В случае, когда

f (x)

– нечетная функция, ее ряд Фурье содержит

только синусы, т. е.

∞

mπx

f (x)= ∑bm sin

где

m=1

∫l

bm = 2

f (x)sin

mπx

dx,

m .

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022225.13 Кб5Ручное художественное ткачество (110..pdf
#
15.11.2022512 Кб2Рыба и рыбные товары (90..pdf
#
15.11.20221.25 Mб5Рынок труда в рисунках и таблицах Учебное наглядное пособие..pdf
#
15.11.2022402.06 Кб0Рынок ценных бумаг (90..pdf
#
15.11.2022123.33 Кб0Рябов С.М.. Методические указания для выполнения самостоятельной работы по дисциплине «Кормление сельскохозяйственных животных».pdf
#
15.11.2022337.28 Кб1Ряды (110..pdf
#
15.11.2022173.45 Кб6Ряды Фурье (120..pdf
#
15.11.20222.36 Mб7Садуова А. Т.. Фантазия «Фейерверк» И.Ф. Стравинского.pdf
#
15.11.2022300.33 Кб1Самоконтроль при занятиях физическими упражнениями (110..pdf
#
15.11.2022399.48 Кб17Самостоятельная работа студента медицинских направлений ВУЗа Методические рекомендации..pdf
#
15.11.2022693.38 Кб0Самостоятельная работа студентов по видам практик (90..pdf