Плоскость и прямая в пространстве (110

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебно-методическое пособие для вузов

Составители: Ф.В. Голованёва, Е.В. Петрова

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2011

1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется

заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox , Oy и Oz . Точка O –

начало координат, Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.

Пусть M – произвольная точка пространства. Проведем через точку M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox , Oy и Oz .

Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через M x , M y и M z . Прямоугольными координатами точки M называются числа

(x; y; z) – ее прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x; y; z) соответствует, и притом одна, точка M в про-

странстве.

Плоскости Oxy , Oyz , Oxz называются координатными плоскостями.

Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.

B (x2 ; y2 ; z2 ), разделен точкой C (x; y; z) в отношении λ, то координаты точки C определяются по формулам:

В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам:

3

Пример 1. Даны точки M1 (2; 4; −2) и M2 (−2; 4; 2). На прямой M1M2 найти точку M , делящую отрезок M1M2 в отношении λ =3.

Решение.

Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

Решение.

Пусть M – искомая точка. Для нее должно выполняться равенство AM = MB . Так как эта точка лежит на оси Ox , то ее координаты (x; 0; 0),

а потому имеем

AM = (x −2)2 +(−4)2 +52 , MB = (x +3)2 + 22 +72 .

Отсюда после возведения в квадрат получаем

(x −2)2 + 41 =(x +3)2 +53 , или 10x = −17 , т. е. x = −1,7.

Таким образом, искомая точка M (−1,7; 0; 0).

4

2.ПЛОСКОСТЬ

1.Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

=p.r n

Здесь r = xi + yj + zk – радиус-вектор текущей точки M (x; y; z) плоскости; n = i cosα + jcos β +k cosγ – единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; α, β, γ – углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат; p –

если A2 + B2 +C2 ≠ 0 (общее уравнение). Здесь A, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора N = Ai + Bj +Ck , перпендикуляр-

ного плоскости (нормального вектора плоскости). Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирующий множитель

C =0; параллельна оси Oz;

D =0; проходит через начало координат;

A = B = 0; перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости xOy); A =C =0; перпендикулярна оси Oy (параллельна плоскости xOz); B =C = 0; перпендикулярна оси Ox (параллельна плоскости yOz); A = D = 0; проходит через ось Ox;

B = D = 0; проходит через ось Oy; C = D =0; проходит через ось Oz;

A = B = D =0; совпадает с плоскостью xOy (z =0); A =C = D = 0; совпадает с плоскостью xOz ( y =0); B =C = D = 0; совпадает с плоскостью yOz (x = 0).

5

плоскости в отрезках: в нем a, b, c – соответственно абсцисса, ордината и

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно данной плоскости: «плюс», если точка M0 и начало коорди-

нат расположены по разные стороны от плоскости, и «минус», если они расположены по одну сторону от плоскости.

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) и

При произвольных значениях A, B и C последнее уравнение определяет

некоторую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку M0 . Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей.

при произвольном значении λ определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей

6

A1x + B1 y +C1z + D1 =0 (I) и A2 x + B2 y +C2 z + D2 =0, (II)

т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.

x3 y3 z3 1

Если четыре точки (x1, y1, z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ) и (x4 , y4 , z4 ) лежат в одной плоскости, то между их координатами существует следующее соотношение:

Если эти четыре точки не лежат в одной плоскости, то объем тетраэдра, вершинами которого они служат, вычисляется по формуле

7

причем знак в правой части выбирается так, чтобы результат получился неотрицательным (V > 0).

Пример 1. Уравнение плоскости 2x +3y −6z + 21 = 0 привести к нор-

мальному виду.

Решение.

Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «минус», поскольку D = 21 >0):

Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид

−72 x − 73 y + 76 z −3 = 0.

Пример 2. Определить расстояние от точки M0 (3; 5; −8) до плоско-

сти 6x −3y + 2z −28 =0.

Решение.

Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находим

Так как результат подстановки координат точки M0 (3; 5; −8) в нормальное уравнение плоскости отрицателен, то M0 (3; 5; −8) и начало коор-

динат лежат по одну сторону от заданной плоскости.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i +3j + 2k.

Решение.

Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору:

4(x −2)+3(y −3)+ 2(z −5)= 0, т. е. 4x +3y + 2z −27 = 0.

Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; −1) параллельно плоскости 5x −3y + 2z −10 =0.

Решение.

Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:

A(x −2)+ B(y −3)+C (z +1)= 0.

Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором n =(5; −3; 2) данной плоскости; следовательно, A =5 , B = −3 , C = 2 и урав-

нение искомой плоскости примет вид

5(x −2)−3(y −3)+ 2(z +1)= 0, или 5x −3y + 2z +1 = 0.

8

Пример 5. Из точки P (2; 3; −5) на координатные оси опущены пер-

пендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

Решение.

Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, служат следующие точки: M1 (2; 3; 0), M2 (2; 0; −5), M3 (0; 3; −5). Ис-

пользуя соотношение (11), запишем уравнение плоскости, проходящей че-

рез точки M1 (2; 3; 0), M2 (2; 0; −5), M3 (0; 3; −5):

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

Решение.

Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором a =b =c, имеем

M (3; 2;1).

Решение.

Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей: x + y +5z −1+λ(2x +3y − z + 2)= 0.

Значение λ определяем из условия, что координаты точки M удовлетворяют этому уравнению:

3 + 2 +5 −1+λ(6 +6 −1+ 2)=9 +13λ = 0, откуда λ = −139 .

Таким образом, искомое уравнение имеет вид

x + y +5z −1−139 (2x +3y − z + 2)= 0, или 5x +14 y −74z +31 =0.

9

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x +3y +5z −4 =0 и x − y −2z +7 = 0 и параллель-

ной оси Oy .

Решение.

Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:

x +3y +5z −4 +λ(x − y −2z +7)= 0;

(1 +λ)x +(3 −λ)y +(5 −2λ)z +(7λ −4)= 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при y должен быть равен нулю: 3 −λ =0, т. е. λ =3. Подставив найденное

значение λ в уравнение пучка, получаем

Решение.

В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору AB ={1; 3; −5} и нормальному вектору n ={1;1; 2} данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведе-

ние AB и n:

i j k

N = AB ×n = 1 3 −5 =11i −7j −2k. 1 1 2

Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку (например, A ) перпендикулярно заданному вектору

N ={11; −7; −2}:

10