Плоскость и прямая в пространстве (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители: Ф.В. Голованёва, Е.В. Петрова
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета
2011
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 17 февраля 2011 г., протокол № 0500-02
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. М.Ш. Бурлуцкая
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1–2-го курсов очной формы обучения химического факультета.
Для специальности 020900 – Химия, физика и механика материалов
1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве определяется
заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox , Oy и Oz . Точка O –
начало координат, Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат.
Пусть M – произвольная точка пространства. Проведем через точку M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox , Oy и Oz .
Точки пересечения плоскостей с осями обозначим соответственно через M x , M y и M z . Прямоугольными координатами точки M называются числа
x =OM x , y =OM y , |
z =OM z , |
||||||
т. е. величины направленных отрезков |
|
, |
|
|
, |
|
; при этом x на- |
OM x |
OM y |
OM z |
|||||
зывается абсциссой, y – ординатой, z – аппликатой точки M . Символ |
|||||||
M (x; y; z) обозначает, что точка M имеет координаты x, y, z. |
|||||||
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке M |
|||||||
пространства соответствует единственная |
упорядоченная тройка чисел |
(x; y; z) – ее прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x; y; z) соответствует, и притом одна, точка M в про-
странстве.
Плоскости Oxy , Oyz , Oxz называются координатными плоскостями.
Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами.
Расстояние между двумя точками A (x1; y1; z1 ) |
и B (x2 ; y2 ; z2 ) опреде- |
|||||||
ляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
d = (x − x )2 +(y |
2 |
− y |
)2 +(z |
2 |
− z )2 . |
|||
2 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
||
В частности, расстояние точки M (x; y; z) от начала координат O оп- |
||||||||
ределяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d = x2 + y2 + z2 . |
|
|
точки A (x1; y1; z1 ) и |
||||
Если отрезок, концами |
которого |
служат |
B (x2 ; y2 ; z2 ), разделен точкой C (x; y; z) в отношении λ, то координаты точки C определяются по формулам:
|
= |
x1 +λx2 |
; |
|
= |
y1 +λy2 |
; |
|
= |
z1 +λz2 |
. |
|
x |
y |
z |
||||||||||
1 +λ |
1+λ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+λ |
В частности, координаты середины отрезка определяются по формулам:
|
= |
x1 + x2 |
; |
|
= |
y1 + y2 |
; |
|
= |
z1 + z2 |
. |
|
x |
y |
z |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
3
Пример 1. Даны точки M1 (2; 4; −2) и M2 (−2; 4; 2). На прямой M1M2 найти точку M , делящую отрезок M1M2 в отношении λ =3.
Решение.
Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:
x |
= |
x1 +λx2 |
|
= |
2 +3(−2) |
= −1; |
y |
M |
= |
y1 +λy2 |
= 4 +3 4 = 4; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
M |
|
1 +λ |
1+3 |
|
|
|
|
|
1 +λ |
1+3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
zM = |
z1 +λz2 |
= |
−2 +3 2 |
=1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 +λ |
|
|
|
|
||||||
Следовательно, искомая точка M (−1; 4;1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 2. На |
оси Ox найти |
точку, |
|
равноудаленную от точек |
||||||||||||
A (2; −4; 5) |
и B (−3; 2; 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Пусть M – искомая точка. Для нее должно выполняться равенство AM = MB . Так как эта точка лежит на оси Ox , то ее координаты (x; 0; 0),
а потому имеем
AM = (x −2)2 +(−4)2 +52 , MB = (x +3)2 + 22 +72 .
Отсюда после возведения в квадрат получаем
(x −2)2 + 41 =(x +3)2 +53 , или 10x = −17 , т. е. x = −1,7.
Таким образом, искомая точка M (−1,7; 0; 0).
|
|
Задания для самостоятельного решения |
||||
1. |
Даны точки A (3; 3; 3) |
и B (−1; 5; 7). Найти координаты точек C и |
||||
D , делящих отрезок AB на три равные части. |
||||||
2. Дан треугольник: A (1; 2; 3), |
B (7;10; 3), C (−1; 3;1). Показать, что |
|||||
угол A – тупой. |
|
|
|
|
||
3. |
Найти координаты центра |
тяжести треугольника с вершинами |
||||
A (2; 3; 4), |
B (3;1; 2), |
C (4; −1; 3). |
|
|||
4. |
В каком отношении точка M , равноудаленная от точек A (3;1; 4) и |
|||||
B (−4; 5; 3), |
разделит |
отрезок |
оси |
Oy от начала координат до точки |
||
C (0; 6; 0)? |
|
|
|
|
|
|
5. |
На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек M (2; 4;1) и |
|||||
N (−3; 2; 5). |
|
|
|
|
|
|
6. |
На |
плоскости |
xOy |
найти точку, равноудаленную от точек |
||
A (1; −1; 5), |
B (3; 4; 4) |
и C |
(4; 6;1). |
|
4
2.ПЛОСКОСТЬ
1.Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид
=p.r n
Здесь r = xi + yj + zk – радиус-вектор текущей точки M (x; y; z) плоскости; n = i cosα + jcos β +k cosγ – единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат; α, β, γ – углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат; p –
длина этого перпендикуляра. |
|
При переходе к координатам это уравнение принимает вид |
|
xcosα + y cos β + z cosγ − p = 0 |
(1) |
(нормальное уравнение плоскости). |
|
2. Уравнение всякой плоскости может быть записано также в виде |
|
Ax + By +Cz + D =0 , |
(2) |
если A2 + B2 +C2 ≠ 0 (общее уравнение). Здесь A, B, C можно рассматривать как координаты некоторого вектора N = Ai + Bj +Ck , перпендикуляр-
ного плоскости (нормального вектора плоскости). Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирующий множитель
|
μ = ± |
1 |
= ± A2 |
+ B2 +C2 , |
(3) |
|
|
||||
|
|
N |
|
D в |
|
где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена |
|||||
общем уравнении плоскости. |
|
|
|||
3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим |
|||||
уравнением Ax + By +Cz + D = 0: |
|
|
|||
A =0; |
параллельна оси Ox; |
|
|
||
B =0; |
параллельна оси Oy; |
|
|
C =0; параллельна оси Oz;
D =0; проходит через начало координат;
A = B = 0; перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости xOy); A =C =0; перпендикулярна оси Oy (параллельна плоскости xOz); B =C = 0; перпендикулярна оси Ox (параллельна плоскости yOz); A = D = 0; проходит через ось Ox;
B = D = 0; проходит через ось Oy; C = D =0; проходит через ось Oz;
A = B = D =0; совпадает с плоскостью xOy (z =0); A =C = D = 0; совпадает с плоскостью xOz ( y =0); B =C = D = 0; совпадает с плоскостью yOz (x = 0).
5
Если в общем уравнении плоскости коэффициент D ≠ 0 , |
то, разделив |
||||||||
все члены уравнения на −D , уравнение плоскости можно привести к виду |
|||||||||
|
|
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1 |
(4) |
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
|
|
b |
c |
|
|||
(здесь a = − D |
, b = − D |
, c = − D ). |
Это |
уравнение называется |
уравнением |
||||
A |
B |
C |
|
|
|
|
|
|
плоскости в отрезках: в нем a, b, c – соответственно абсцисса, ордината и
аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox, |
Oy и Oz. |
|
||||||||||||||||||
4. |
Угол ϕ между |
плоскостями |
|
|
|
A1x + B1 y +C1z + D1 =0 |
и |
|||||||||||||
A2 x + B2 y +C2 z + D2 =0 определяется по формуле |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
cosϕ = |
|
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 |
|
. |
(5) |
||||||||||
|
A2 + B2 |
+C2 |
A2 + B2 +C2 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||
Условие параллельности плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
= |
|
B1 |
= |
C1 . |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие перпендикулярности плоскостей: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 =0. |
|
|
(7) |
||||||||||||||||
5. |
Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
до плоскости, определяемой |
||||||||||||||||||
уравнением Ax + By +Cz + D = 0, |
находится по формуле |
|
||||||||||||||||||
|
d = |
|
|
Ax0 + By0 +Cz0 + D |
|
|
. |
|
|
(8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости; знак результата этой подстановки характеризует взаимное расположение точки и начала координат относительно данной плоскости: «плюс», если точка M0 и начало коорди-
нат расположены по разные стороны от плоскости, и «минус», если они расположены по одну сторону от плоскости.
6. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) и
перпендикулярной вектору N = Ai + Bj +Ck , имеет вид |
|
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C (z − z0 )= 0. |
(9) |
При произвольных значениях A, B и C последнее уравнение определяет
некоторую плоскость, принадлежащую связке плоскостей, проходящих через точку M0 . Его поэтому часто называют уравнением связки плоскостей.
7. Уравнение |
|
A1x + B1 y +C1z + D1 +λ(A2 x + B2 y +C2 z + D2 )= 0 |
(10) |
при произвольном значении λ определяет некоторую плоскость, проходящую через прямую пересечения плоскостей
6
A1x + B1 y +C1z + D1 =0 (I) и A2 x + B2 y +C2 z + D2 =0, (II)
т. е. некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями (I) и (II), параллельны, то пучок плоскостей превращается в совокупность плоскостей, параллельных этим плоскостям.
8. |
Уравнение |
плоскости, проходящей через три заданные точки |
|||||||||
M1 (r1 ), |
M2 (r2 ), |
M3 (r3 ) |
(здесь |
|
r1 = x1i + y1j + z1k; r2 = x2i + y2 j + z2k; |
||||||
r3 = x3i + y3 j + z3k ), |
проще найти |
из условия компланарности |
векторов |
||||||||
r −r1 , r2 −r1 , r3 −r1 , где r = xi + yj + zk |
– радиус-вектор текущей точки ис- |
||||||||||
комой плоскости M: |
(r −r1 )(r2 −r1 )(r3 −r1 )= 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
или в координатной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x − x1 |
|
y − y1 |
z − z1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
= 0. |
(11) |
|||
|
|
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
|
|||
9. |
Если плоскость |
определена тремя точками (x1, y1, z1 ), (x2 , y2 , z2 ) и |
|||||||||
(x3 , y3 , z3 ), то уравнение ее также примет вид |
|
||||||||||
|
|
|
x |
y |
z |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
1 =0. |
|
|
(12) |
||
|
|
|
x |
y |
2 |
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x3 y3 z3 1
Если четыре точки (x1, y1, z1 ), (x2 , y2 , z2 ), (x3 , y3 , z3 ) и (x4 , y4 , z4 ) лежат в одной плоскости, то между их координатами существует следующее соотношение:
x1 |
y1 |
z1 |
1 |
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
1 |
=0. |
(13) |
x |
y |
z |
1 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
x4 |
y4 |
z4 |
1 |
|
|
Если эти четыре точки не лежат в одной плоскости, то объем тетраэдра, вершинами которого они служат, вычисляется по формуле
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
1 |
|
|
|
V = ± |
1 |
x2 |
y2 |
z2 |
1 |
, |
(14) |
|
6 |
x |
y |
z |
1 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
y4 |
z4 |
1 |
|
|
7
причем знак в правой части выбирается так, чтобы результат получился неотрицательным (V > 0).
Пример 1. Уравнение плоскости 2x +3y −6z + 21 = 0 привести к нор-
мальному виду.
Решение.
Находим нормирующий множитель (который берем со знаком «минус», поскольку D = 21 >0):
μ = − |
|
1 |
= − |
1 . |
|
+32 +62 |
|||
22 |
|
7 |
Итак, нормальное уравнение заданной плоскости имеет вид
−72 x − 73 y + 76 z −3 = 0.
Пример 2. Определить расстояние от точки M0 (3; 5; −8) до плоско-
сти 6x −3y + 2z −28 =0.
Решение.
Используя формулу (8) расстояния от точки до плоскости, находим
d = |
|
|
6 3 −3 5 + 2 (−8)−28 |
|
|
= |
41. |
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
62 +32 + 22 |
|
|
|
7 |
Так как результат подстановки координат точки M0 (3; 5; −8) в нормальное уравнение плоскости отрицателен, то M0 (3; 5; −8) и начало коор-
динат лежат по одну сторону от заданной плоскости.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N = 4i +3j + 2k.
Решение.
Достаточно воспользоваться уравнением (9) плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору:
4(x −2)+3(y −3)+ 2(z −5)= 0, т. е. 4x +3y + 2z −27 = 0.
Пример 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 3; −1) параллельно плоскости 5x −3y + 2z −10 =0.
Решение.
Запишем уравнение (9) связки плоскостей, проходящих через данную точку:
A(x −2)+ B(y −3)+C (z +1)= 0.
Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором n =(5; −3; 2) данной плоскости; следовательно, A =5 , B = −3 , C = 2 и урав-
нение искомой плоскости примет вид
5(x −2)−3(y −3)+ 2(z +1)= 0, или 5x −3y + 2z +1 = 0.
8
Пример 5. Из точки P (2; 3; −5) на координатные оси опущены пер-
пендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.
Решение.
Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, служат следующие точки: M1 (2; 3; 0), M2 (2; 0; −5), M3 (0; 3; −5). Ис-
пользуя соотношение (11), запишем уравнение плоскости, проходящей че-
рез точки M1 (2; 3; 0), M2 (2; 0; −5), M3 (0; 3; −5):
x −2 |
y −3 |
z |
|
=0, или 15x +10 y −6z −60 =0. |
|
||||
0 |
−3 |
−5 |
|
|
−2 |
0 |
−5 |
|
|
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.
Решение.
Используя уравнение (4) плоскости в отрезках, в котором a =b =c, имеем
|
|
|
|
x |
|
+ |
y |
+ |
z |
=1. |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|||||
Координаты точки |
A удовлетворяют уравнению искомой плоскости, |
||||||||||
поэтому выполняется равенство |
|
|
|
|
|
||||||
5 |
+ |
4 |
+ |
3 |
=1, откуда a =12. |
||||||
a |
|
|
a |
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, получаем уравнение x + y + z −12 =0. |
|||||||||||
Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию |
|||||||||||
пересечения плоскостей |
x + y +5z −1 = 0, 2x +3y − z + 2 =0 и через точку |
M (3; 2;1).
Решение.
Воспользуемся уравнением (10) пучка плоскостей: x + y +5z −1+λ(2x +3y − z + 2)= 0.
Значение λ определяем из условия, что координаты точки M удовлетворяют этому уравнению:
3 + 2 +5 −1+λ(6 +6 −1+ 2)=9 +13λ = 0, откуда λ = −139 .
Таким образом, искомое уравнение имеет вид
x + y +5z −1−139 (2x +3y − z + 2)= 0, или 5x +14 y −74z +31 =0.
9
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x +3y +5z −4 =0 и x − y −2z +7 = 0 и параллель-
ной оси Oy .
Решение.
Воспользуемся уравнением пучка плоскостей:
x +3y +5z −4 +λ(x − y −2z +7)= 0;
(1 +λ)x +(3 −λ)y +(5 −2λ)z +(7λ −4)= 0.
Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при y должен быть равен нулю: 3 −λ =0, т. е. λ =3. Подставив найденное
значение λ в уравнение пучка, получаем
Пример 9. Найти |
4x − z +17 =0. |
уравнение плоскости, проходящей через точки |
|
A (2; −1; 4) и B (3; 2; −1) |
перпендикулярно плоскости x + y + 2z −3 = 0. |
Решение.
В качестве нормального вектора N искомой плоскости можно взять вектор, перпендикулярный вектору AB ={1; 3; −5} и нормальному вектору n ={1;1; 2} данной плоскости. Поэтому за N примем векторное произведе-
ние AB и n:
i j k
N = AB ×n = 1 3 −5 =11i −7j −2k. 1 1 2
Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку (например, A ) перпендикулярно заданному вектору
N ={11; −7; −2}:
11(x −2)−7 |
(y +1)−2(z −4)= 0, или 11x −7 y −2z −21 = 0. |
|
|||||||||||||||||||
Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||
M (3; −1; −5) |
и |
|
перпендикулярной |
|
плоскостям |
3x −2 y + 2z +7 =0 |
и |
||||||||||||||
5x −4 y +3z +1 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
что в качестве нормального вектора N искомой плоскости |
|||||||||||||||||||
Очевидно, |
|||||||||||||||||||||
можно взять векторное произведение нормальных векторов n1 ={3; −2; 2} |
и |
||||||||||||||||||||
n2 ={5; −4; 3} |
данных плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
N =n ×n |
|
|
i |
j k |
|
= i |
|
−2 2 |
|
+ j |
|
2 3 |
|
+k |
|
3 |
−2 |
|
= 2i + j −2k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
= |
3 −2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 3 |
|
|
|
3 5 |
|
|
|
5 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 −4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10