Функциональный анализ и интегральные уравнения (90

647

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к самостоятельной работе

Составители: В.А. Скопин, И.А. Седых

Липецк Изд-во Липецкого государственного технического университета

2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к самостоятельной работе

Составители: В.А. Скопин, И.А. Седых

Липецк Изд-во Липецкого государственного технического университета

2012

ÓÄÊ 517.9(07) C-443

Рецензент д-р техн. наук, проф. А.М. Шмырин

C-443. Скопин, В.А. Функциональный анализ и интегральные уравнення [Текст]: метод. указ. к самостоятельной работе/ В.А. Скопин, И.А. Седых.Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. 17 с.

Методические указания составлены в соответствии с ФГОС-3 и пред-

назначены для студентов второго курса специальностей 010800 Механи-

ка и математическое моделирование , 351500 Математическое обеспече-

ние и администрирование информационных систем . Приведены основные

сведения о линейных интегральных уравнениях и методах их решения, а также необходимые сведения из функционального анализа. Рассмотрены, в частности, интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма, метод последовательных приближений и решение с помощью резольвенты. Приведены примеры решения конкретных задач и задания для самостоятельной работы.

Библиогр.: 6 назв.

c ФГБОУ ВПО Липецкий государственный

технический университет , 2012

Принцип сжимающих отображений

Метрическим пространством называют пару (X; ), ãäå X íåêî-

торое множество, а : X X ! R функция, называемая метрикой или расстоянием на X. По определению, она должна обладать следующими

свойствами:

(x; y) 0, (x; y) = 0 () x = y; (x; y) = (y; x); (x; y) (x; z)+ (z; y)

äëÿ âñåõ x; y; z 2 X.

Пример. 1. На множестве Rn всех упорядоченных наборов, состоящих из n действительных чисел, можно задать различные метрики, например

В результате получаются метрические пространства, которые обозначают Rn1 , Rn2 , Rn1 соответственно.

2. Множество C[a; b] всех непрерывных функций x : [a; b] ! R с метрикой

(x; y) = 1(x; y) = max jx(t) y(t)j

t2[a;b]

является метрическим пространством.

Пусть X метрическое пространство с метрикой . Говорят, что

последовательность xn 2 X сходится к элементу a 2 X, åñëè (xn; a) ! 0 ïðè n ! 1. Заметим, что здесь (xn; a) числовая последовательность. Последовательность xn точек метрического пространства (X; ) называют фундаментальной, если

8" > 0 9N такое, что 8m; n > N (xm; xn) < ":

Метрическое пространство (X; ) называют полным, если каждая фундаментальная последовательность имеет в нем предел.

Пример. 1. Пространства Rn1 , Rn2 , Rn1, C[a; b] являются полными.

2. Пространство X = (0; 1) с обычной метрикой (x; y) = jx yj не является

полным, поскольку фундаментальная последовательность xn = 1=n 2 X не имеет в нем предела.

3

Пусть X è Y некоторые множества. Говорят, что на множестве X

задано отображение (оператор) A, принимающее значения в Y , åñëè êàæ-

äîìó x 2 X соответствует единственное значение

же самое часто обозначают как и говорят, что

X â Y . Отображение A : X ! Y называют непрерывным в точке x 2 X, если для любой последовательности xn ! x в пространстве X последовательность Axn сходится к Ax â Y . Отображение A : X ! Y называют непрерывным, если оно непрерывно в любой точке

называют неподвижной точкой отображения A : X ! X, åñëè Ax = x. Отображение A : X ! Y называют сжимающим, если 9 2 (0; 1) такое, что (Ax; Ay) < (x; y) ïðè âñåõ x; y 2 X.

Теорема 1 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение A : X ! X полного метрического пространства X в себя имеет ровно одну неподвижную точку x?, которую можно найти методом последовательных приближений: взяв любое x0 2 X, построить последовательность xn = A(xn 1), n = 0; 1 : : : . Тогда x? = lim xn ïðè n ! 1.

Следствие 1. Пусть X полное метрическое пространство, A; B : X ! X, и A сжимающее. Если B коммутирует с A (т.е. 8x ABx = BAx), то

B имеет неподвижную точку.

Доказательство. Согласно теореме, существует единственная точка x 2 X, такая что Ax = x. Тогда BAx = Bx. Íî ABx = BAx откуда ABx = Bx,

ò.å. Bx неподвижная точка отображения A. Тогда Bx = x в силу единственности неподвижной точки.

Следствие 2. Если X полное метрическое пространство A : X ! X и An сжимающее для некоторого n, то A имеет единственную неподвижную точку.

4

Доказательство. Поскольку A коммутирует с An, то, согласно следствию 1,

отображение A должно иметь неподвижную точку x0. В таком случае An(x0) = A(A(: : : A(x0))) = x0, ò.å. x0 неподвижная точка отображения An. Но такая точка x0 единственна, т.к. An сжимающее.

Задача 1. Пусть X = [1; +1) è Ax = x+ x1. Покажите, что A переводит X в себя и удовлетворяет условию jAx Ayj < jx yj ïðè x 6= y, но отображение

A не имеет в X неподвижных точек.

Задача 2. Докажите, что каждое из следующих уравнений имеет решение

ãäå ÿäðî K(t; s) непрерывно в замкнутом прямоугольнике Q = fa t; s bg

и поэтому M = supQ jK(t; s)j < 1. Также полагаем, что f(t) 2 C[a; b]. Функции K(t; s), f(t) и параметр 2 C считаются известными.

Оператор (1) непрерывно действует из C[a; b] в C[a; b]. Для

того, чтобы он был сжимающим, достаточно выполнения условия

Доказательство. Покажем, что оператор (1) действует из C[a; b] â C[a; b], ò.å. ÷òî åñëè '(t) 2 C[a; b], òî è g(t) = (A')(t) 2 C[a; b]. Действительно, пусть t произвольная точка отрезка [a; b] è t произвольное число такое, что t + t 2 [a; b]. Имеем

5

ïðè t < 2 и любом s 2 [a; b]. Здесь = maxt2[a;b] j'(t)j < 1. Положим= min( 1; 2). Тогда при t <

что и доказывает непрерывность функции g в любой точке отрезка [a; b].

Выясним теперь, при каких условиях оператор A будет сжимающим.

Имеем следующие оценки:

Из этого неравенства видно, что при выполнении условия (2) оператор A áó-

дет сжимающим. Из него же следует, что если ('n; ') ! 0, òî (A'n; A') ! 0, что означает непрерывность оператора A : C[a; b] ! C[a; b].

Решением интегрального уравнения ' = A' будем считать любую непрерывную на [a; b] фунцию ', которая обращает его в тождество. Из принципа

6

сжимающих отображений следует, что если удовлетворяет условию (2), то уравнение ' = A' имеет единственное решение '(x) 2 C[a; b] для всякой функции f(x) 2 C[a; b]. Последовательные приближения к решению можно найти по формулам 'n+1(t) = A('n(t)), n = 0; 1; : : : . Здесь в качестве '0

можно взять любую непрерывную на [a; b] функцию. Пример. Решить интегральное уравнение

то есть условие (2) выполнено. Поэтому отображение, соответствующее уравнению (4), является сжимающим, и значит, уравнение можно решить методом последовательных приближений. Возьмем '0(t) = 0. Тогда

то есть, процесс решения значительно упрощается при выборе подходящего начального приближения.

Задача 3. Найти 4 последовательных приближения к решениям следующих уравнений:

7

Будем полагать, что f 2 C[a; b], ÿäðî K(t; s) непрерывно в замкнутом треугольнике = fa t b; a s tg, откуда M = sup jK(t; s)j < 1.

Теорема 3. Оператор (5) непрерывно действует из C[a; b] в C[a; b]. Для достаточно больших n оператор V n является сжимающим.

Доказательство. То, что оператор V непрерывно действует из C[a; b] â

C[a; b] доказывается аналогично случаю оператора Фредгольма.

Покажем, теперь, что некоторая степень оператора V есть сжимающее отображение. Имеем оценки

Z t

j(V '1)(t) (V '2)(t)j j j jK(t; s)jj'1(s) '2(s)jds j jM(t a) ('1; '2);

a

j(V 2'1)(t) (V 2'2)(t)j = j(V (V '1))(t) (V (V '2))(t)j

Z t Z t

j j jK(t; s)jj(V '1)(s) (V '2)(s)jds j j Mj jM ('1; '2)(s a)ds =

a a

= j j2M2 (t a)2 ('1; '2):

2

Аналогично получается, что

8

Таким образом, при больших n станет < 1, и следовательно, отображение V n будет сжимающим.

Вспомним, что согласно следствию 2 теоремы 1, из того факта, что V n : C[a; b] ! C[a; b] сжимающее, следует, что V имеет единственную неподвижную точку. Таким образом, уравнение Вольтерра 2-го рода ' = V ' имеет единственное решение '(x) 2 C[a; b] для всякой функции

f(x) 2 C[a; b]. Последовательные приближения к решению можно найти

Линейные операторы

Нормированным пространством называют пару (X; k k), ãäå X линейное пространство, а k k : X ! R норма на X, то есть функция, обладающая свойствами: kxk 0; kxk = 0 () x = 0; k xk = j jkxk для любого числа ; 8x; y 2 X kx + yk kxk + kyk. Нормированное пространство является метрическим относительно метрики (x; y) = kx yk. Если нормированное пространство X полно относительно этой метрики, то его называют банаховым пространством.

Пример. 1. На множестве Rn всех упорядоченных наборов, состоящих из n действительных чисел, введем покоординатные операции сложения эле- ментов Rn и умножения элементов Rn на действительные числа. Нетрудно видеть, что полученное множество станет линейным пространством относительно введенных операций. Рассмотрим на нем следующие нормы:

9