Функциональный анализ и интегральные уравнения (90

Полученные нормированные пространства обозначают Rn1 , Rn2 , Rn1 ственно, и все они являются банаховыми.

2. На множестве C[a; b] всех непрерывных функций x : [a; b] ! R введем поточечные операции ('+ )(t) = '(t)+ (t), ( ')(t) = '(t), t 2 [a; b]. Легко заметить, что они превращают C[a; b] в линейное пространство, а функция k'k = k'kC = maxt2[a;b] j'(t)j является нормой на нем. Для полученного нормированного пространства оставляют обозначение C[a; b]. Можно показать, что оно является банаховым.

Пусть X è Y линейные пространства. Оператор A : X ! Y называют линейным, если A(x + y) = Ax + Ay è A( x) = Ax äëÿ âñåõ x; y 2 X

и любого числа .

Пример. 1. В произвольном линейном пространстве X рассмотрим тождественный оператор: 1x = x, который каждый элемент переводит в себя. Очевидно, 1 : X ! X линейный оператор.

2.Пусть A матрица размера m n. Легко видеть, что оператор f(x) = A x действует из Rn â Rm и является линейным.

3.Оператор f(x) = x + 1 действует из R â R, но линейным не является.

Нормой линейного оператора A : X ! Y называют число

Из этого определения, в частности, следует, что если kAk < 1, òî äëÿ âñåõ x 2 X имеет место неравенство kAxk kAkkxk .

Пример. Как следует из теоремы 2, в случае, когда K : [a; b] [a; b] ! R непрерывна, оператор Фредгольма (A')(t) = Rab K(t; s)'(s)ds действует из C[a; b] â C[a; b] и непрерывен. Легко показать, что A является линейным. Оценка (3), записанная в виде

10

показывает, что

Пусть X линейное пространство. Говорят, что оператор A : X ! X

обратим, если существует оператор B : X ! X такой, что AB = BA = 1. В этом случае B называют обратным к A и пишут B = A 1. Легко показать, что обратный к линейному оператору, если он существует, также является линейным.

Теорема 4 (Теорема Банаха). Пусть X банахово пространство и A : X ! X

ограниченный линейный оператор. Если оператор A обратим то обрат- ный оператор A 1 также ограничен.

Теорема 5. Пусть X банахово пространство и A : X ! X линейный ограниченный оператор такой, что kAk < 1. Тогда оператор 1 A

обратим и

(1 A) 1 = 1 + A + A2 + + An + : : : :

Резольвента ядра

Рассмотрим уравнение Фредгольма 2-го рода

Q = f(t; s) : a t; s bg и поэтому M = supQ jK(t; s)j < 1. По теореме 5, если j jkAk < 1, то оператор 1 A обратим и, значит, уравнение (6) имеет единственное решение

Будем полагать, что j j < 1 j jkAk j jM(b a) < 1. Âûÿñ- M(b a), откуда

ним, что представляют в этом случае степени оператора A. Пусть B еще один оператор вида (7), но с ядром N(t; s). Тогда

11

Z b Z b Z b Z b

AB(f) = K(t; s) N(s; )f( )d ds = K(t; s)N(s; )ds f( )d ;

a a a a

Функции Kn называют итерированными ядрами, построенными по ядру K. Отметим, что все они непрерывны в силу непрерывности K. С помощью итерированных ядер и формулы (8) решение уравнения (6) запишем в виде

Z b Z b

'(t) = f(t) + K1(t; s)f(s)ds + + n Kn(t; s)f(s)ds + : : : :

a a

Докажем по индукции, что jKn(t; s)j Mn(b a)n 1 ïðè a t; s b. Имеем

Z b

jKn(t; s)j jKn 1j(t; )jK( ; s)jd Mn 1(b a)n 2M(b a)=Mn(b a)n 1:

a

Откуда j n 1Kn(t; s)j Mqn 1; ãäå q = j M(b a)j < 1; что и влечет равномерную сходимость ряда (9). Заметим, что R(t; s; ) есть непрерывная функция аргументов (t; s) и аналитическая функция аргумента при

R(t; s; ) называют резольвентой ядра K(t; s).

12

Пример 1. С помощью резольвенты решить интегральное уравение

Из этой формулы видно, что решение существует и единственно при всех значениях 6= 3. Условие j j < 3 обеспечивает сходимость ряда для резольвенты и гарантирует существование решения при всех таких . Но решение существует в гораздо большей области изменения .

Задача 5. Построить резольвенту и записать решение уравнения Фредгольма для следующих ядер:

a)K(x; t) = ex+t; a = 0, b = 1;

b)K(x; t) = sin(x) cos(t); a = 0, b = =2;

c)K(x; t) = xet; a = 1, b = 1;

d)K(x; t) = (1 + x)(1 t); a = 1, b = 0;

e)K(x; t) = x2t2; a = 1, b = 1.

Рассмотрим теперь уравнение Вольтерра 2-го рода:

13

Его также можно записать в виде (6), где оператор A определяется формулой (7) с "треугольным ядром": K(t; s) = 0 ïðè s > t. Поэтому к уравнению Вольтерра применимо все выше сказанное для уравнения Фредгольма. Можно показать, что в этом случае ряд (9) для резольвенты сходится равномерно при любом значении параметра . Как и в случае уравнения Фредгольма, для решения уравнения Вольтерра получаем формулу

Z t

'(t) = f(t) + R(t; s; )f(s)ds;

a

дающую решение уравнения (11) для любой непрерывной функции f è ïðè

любом значении параметра .

Задача 6. Построить резольвенту и записать решение уравнений Вольтерра

Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром

Уравнением Фредгольма с вырожденным ядром называют уравнение

k=1

Домножив это равенство на i(t), i = 1; : : : ; n и проинтегрировав по [a; b], получаем

14

Cn системы (15). Можно доказать и обратное утверждение. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Интегральное уравнение (12) эквивалентно системе (15) â

том смысле, что если функция '(x) решение уравнеиия (12), то набор чисел C1; C2; : : : ; Cn, построенных по формуле (13), есть решение системы (15). Обратно, если набор чисел C1; C2; : : : ; Cn решение системы (15), òî функция (14) решение уравнения

Пример. Решить интегральное уравнение

Z 1

'(t) = 1 + (t s)'(s)ds

0

Решение. Очевидно, это уравнение с вырожденным ядром K(t; s) = t 1+1 ( s). Перепишем его в виде

откуда

C1(1 =2) C2 = 1;

C1 =3 + (1 + =2)C2 = 1=2:

Решая эту систему, находим

15

при условии, что знаменатель не обращается в 0.

Задача 7. Найти решения следующих интегральных уравнений Фредгольма с вырожденными ядрами:

=4

Библиографический список

1.Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1972.

2.Краснов, М.Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию)[Текст]/ М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975.

3.Краснов, М.Л. Интегральные уравнения [Текст]/М.Л. Краснов,

А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. М.: Наука, 1968.

4.Курбатов, В.Г. Интегральные операторы [Текст]: учеб. пос./ В.Г. Курбатов. Липецк: ЛГТУ, 1998.

5.Кузнецова, В.И. Основы функционального анализа в задачах [Текст]: учеб. пос./ В.И. Кузнецова, В.Я. Ярославцева. Липецк: ЛГТУ, 2005.

6.Михлин, С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям [Текст]/ С.Г. Михлин. М.: Физматгиз, 1959.

16