Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса (96
.pdf
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Чтобы определить значение параметра τ, необходимо оценить динамическую вязкость воздуха в зазоре между цилиндрами, для чего можно воспользоваться формулой (24):
r
1 |
|
|
4mkT |
|
|
|
|
||
η = |
|
|
|
|
|
= 1, 72 ∙ 10−5 Па ∙ с. |
|
||
3πd2 |
π |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Проведя вычисления, получим τ = 1, 85∙103 с. Из (37), исполь- |
|||||||||
зуя это значение τ, определим |
|
|
|
|
|||||
|
|
R2 ω2 |
|
|
|
R2f2 |
|
||
t = −τ ln 1 − |
|
= −τ ln 1 − |
|
= 1, 28 |
∙ 103 c. |
||||
R1 ω1 |
R1f1 |
||||||||
Задача 8. Как изменятся коэффициент диффузии D, коэффициент теплопроводности κ и динамическая вязкость η идеального газа, если его объем увеличить в α раз: а) изотермически; б) изобарно; в) адиабатно?
Решение. Для получения ответов на поставленные вопросы можно воспользоваться выражениями (17), (21) и (24), устанавливающими связь между кинематическими коэффициентами D, κ, η и термодинамическими параметрами газа.
Учитывая, что концентрация молекул n связана с объемом газа
V соотношением |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||
|
n = |
, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
|||||||||
где N — число молекул газа, можно записать |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
r |
kT |
|
|
|
||||
D = |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
; |
||||
|
3σN |
πm |
|
|
|||||||||
|
|
cV |
|
|
4mkT |
|
|
|
|||||
κ = |
|
|
|
r |
|
|
|
|
; |
||||
3σ |
|
|
|
π |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
r |
4 |
mk |
|
|
|
|||||
η = |
|
|
T |
. |
|||||||||
3σ |
|
|
|
π |
|||||||||
При переходе системы из состояния 1, характеризующегося значениями объема и температуры V1 и T1 соответственно, в состояние 2, для которого объем и температура имеют значения V2 и T2, кинетические коэффициенты изменятся таким образом, что
|
|
|
|
|
|
D2 |
= |
V2 |
r |
T2 |
; |
D1 |
V1 |
T1 |
21
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
κ2 |
|
|
η2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= r |
T2 |
|||||||||
|
|
|
= |
η1 |
|
. |
|||||||
|
κ1 |
T1 |
|||||||||||
В изотермическом процессе, следовательно, |
|||||||||||||
|
|
D2 |
= |
V2 |
= α, |
||||||||
|
|
D |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
коэффициент теплопроводности κ и динамическая вязкость η не изменяются.
В изобарном процессе в соответствии с уравнением состояния
идеального газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV = νRT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(38) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= α, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ2 |
η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
D2 |
|
|
V2 |
r |
T2 |
|
|
|
/ |
|
|
= r |
T2 |
|
|
/ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= α3 |
|
|
2; |
|
|
|
|
|
= η1 |
|
|
|
|
|
= α1 |
|
2. |
|||||||||||||||
|
|
D1 |
V1 |
T1 |
|
|
|
κ1 |
T1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
В адиабатном процессе из уравнения состояния идеального га- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
за (38) и уравнения Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV γ = const, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где γ — показатель адиабаты, следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T V γ−1 = const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1−γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α1−γ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
γ |
|
|
|
κ2 |
η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
γ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
D2 |
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
r |
|
= |
α |
|
−2 ; |
|
|
|
|
= η1 |
= r |
|
|
= α |
|
|
−2 . |
||||||||||||||||||||||
|
D1 |
V1 |
T1 |
|
|
|
κ1 |
T1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 1. Имеются два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра, пространство между которыми заполнено однородной средой с постоянным коэффициентом теплопроводности κ. Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны R1 и R2 соответственно,
22
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
их температуры — T1 и T2. Определите стационарное распределение температуры между цилиндрами.
Ответ: T (r) = |
|
1 |
|
T2 ln |
r |
− T1 ln |
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R2 |
|
R1 |
R2 |
||||
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
||||
Задача 2. Оцените, во сколько раз должна различаться суточная калорийность Q рациона домашнего хомячка массой m1 = 50 г и его хозяйки массой m2 = 50 кг, если рассматривать только энергозатраты, компенсирующие тепловые потери их тел. Считайте, что массы хомячка и его хозяйки пропорциональны кубу их характерных линейных размеров, а температуры их тел примерно одинаковы. Во сколько раз отличаются тепловые мощности q, выделяющиеся в единице объема их тел?
|
Q1 |
|
m1 |
1/3 |
|
q1 |
|
m2 |
|
2/3 |
|
Ответ: |
= |
|
= 0,1, |
= |
|
= 100. |
|||||
Q2 |
m2 |
q2 |
m1 |
Задача 3. Кислород находится в сосуде объемом V = 2 дм3 при температуре T = 300 K и давлении p = 0, 1 МПа. Найдите число Z соударений, происходящих между всеми молекулами в сосуде за t = 1 c. Эффективный диаметр молекулы кислорода
равен d0 = 0, 3 |
нм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
p2V d2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
π |
|
|||||
Ответ: Z = |
|
|
A |
|
|
|
= 9, 7 ∙ 1031. |
||
|
|
kT |
MRT |
||||||
Задача 4. Определите, какая часть молекул газа имеет длину свободного пробега, отличающуюся от hλi не более, чем на η = 1 %. Указание: используйте решение задачи 5 из раздела 3.
Ответ: |
N = |
eη − e−η |
|
2η |
= 0, 74 %. |
|
|||||
|
N0 |
e |
≈ e |
||
Задача 5. Температура воздуха между стеклами оконных рам |
|||||
изменяется от t1 |
= 0 oC у наружного стекла до t2 = +10 oC у |
||||
внутреннего. Оцените среднее значение коэффициента теплопроводности κ для этих условий и определите поток теплоты Q через окно, считая, что она осуществляется только за счет явления теплопроводности. Площадь окна S = 3 м2, толщина зазора между стеклами L = 3 см. Эффективный диаметр молекул воздуха d0 = 0, 3 нм. Молярная масса воздуха M = 29 ∙ 10−3 кг/моль. Считайте, что воздух представляет собой смесь двухатомных молекул.
23
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
|
ik |
RT |
|
|
|
|||
Ответ: κ = |
|
|
r |
|
|
= 1, 3 ∙ 10−2 Вт/м ∙ К, где i = 5; |
|||
3πd02 |
πM |
||||||||
T = |
|
T1 + T2 |
; Q = κ |
T2 − T1 |
S = 13 Вт. |
||||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
L |
|||
Задача 6. Идеальный газ совершил процесс, в котором его давление увеличилось в α раз. Определите, как изменились средняя длина hλi свободного пробега и среднее число столкновений hfi молекулы в единицу времени, если процесс протекал: а) изохорно; б) изотермически.
Ответ: а) hλi = const, hfi увеличится в α1/2 раз; б) hλi уменьшится в α раз, hfi увеличится в α раз.
Задача 7. Идеальный газ совершает некоторый политропный процесс. Определите показатель политропы α, если в данном процессе остается неизменным: а) коэффициент диффузии D; б) коэффициент теплопроводности κ; в) динамическая вязкость η.
Ответ: а) α = 3; б) α = 1; в) α = 1.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 272 с.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: БИНОМ, 1998. 448 с.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с. Базаров И.П. Термодинамика: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1991.
376 с.
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
1. |
Эмпирическое описание процессов переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
2. |
Описание явлений переноса в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
3. |
Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
4. |
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
|
24 |
|
|