Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса (96
.pdfCopyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
При описании внутреннего трения в качестве переносимой величины Ω выступает импульс молекулы при упорядоченном движении газа в направлении, перпендикулярном оси OX:
Ω = Ω (x) = mu (x) , |
(22) |
где u (x) — скорость упорядоченного движения (течения) газа в точке с координатой x.
С учетом формулы (22) уравнение переноса (10) можно записать в виде
1 |
hvi hλi ρ |
du (x) |
(23) |
|||||||||||
jp = − |
|
|
|
|
|
. |
||||||||
3 |
|
dx |
||||||||||||
Проведя сравнение (23) с эмпирическим уравнением вязкости |
||||||||||||||
(7), для коэффициента вязкости получим |
|
|||||||||||||
η = |
1 |
hvi hλi |
ρ. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||
Учитывая (12) и (16), последнее выражение можно преобразо- |
||||||||||||||
вать к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
r |
mkT |
|
||||||||
η = |
4 |
. |
(24) |
|||||||||||
3σ |
π |
|||||||||||||
Как легко убедиться, коэффициенты переноса не являются не- |
||||||||||||||
зависимыми величинами: они связаны соотношениями |
|
|||||||||||||
κ = cV η = cV ρD, |
(25) |
которые позволяют по результатам измерения одного из них определить остальные.
Кроме того, как следует из выражений (13), (21) и (24), экспериментально полученные значения кинетических коэффициентов D, κ и η дают возможность определить среднюю длину свободного пробега молекулы, а следовательно, ее эффективное сечение σ.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Имеется бесконечная однородная плоскопараллельная пластинка толщиной L, поверхности которой поддерживают при постоянных температурах T1 и T2. Требуется найти стационарное распределение температуры T внутри такой пластинки. Коэффициент теплопроводности вещества пластинки κ считать постоянным.
11
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Решение. В данном случае с учетом симметрии задачи удобно ось OX направить перпендикулярно пластинке.
Стационарным называют такое распределение температуры, которое не изменяется с течением времени. Очевидно, что в этой задаче температура среды T = T (x). Начало координат выберем так, чтобы
T (0) = T1, |
T (L) = T2. |
(26) |
|
Уравнение теплопроводности |
в этом случае |
будет иметь |
|
вид (6а): |
dT (x) |
|
|
jQ = −κ |
|
||
|
. |
|
|
dx |
|
Если внутри пластинки источники теплоты отсутствуют, то
плотность потока теплоты не должна зависеть от координаты: количество теплоты, поступающее в единицу времени в любой слой, параллельный поверхности пластинки, должно быть равно количеству теплоты, в единицу времени уходящему из него. Следовательно, плотность потока теплоты jQ от координаты x не зависит: jQ = const. Уравнение теплопроводности в этом случае удобно
переписать в виде
dT (x) −jQ dx = κ .
Правая часть полученного уравнения есть величина постоянная, что позволяет легко его проинтегрировать:
j
T (x) = − κQ x + C, (27)
где C — постоянная интегрирования.
Таким образом, мы обнаруживаем, что температура вдоль оси OX изменяется по линейному закону. Учитывая граничные условия (26), получаем
C = T1; − |
jQ |
|
||||||
|
L + C = T2 |
, |
||||||
κ |
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
||
|
jQ |
|
= |
T1 − T2 |
. |
|
||
|
κ |
|
||||||
|
|
|
L |
|
||||
Таким образом, мы видим, что стационарное распределение |
||||||||
температуры оказывается не зависящим от теплопроводности: |
||||||||
T (x) = |
T2 − T1 |
x + T1. |
|
|||||
|
|
|
|
L |
|
|||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Задача 2. Имеются две концентрические сферы, пространство между которыми заполнено однородной средой с постоянным коэффициентом теплопроводности κ. Радиусы внутренней и внешней сфер равны R1 и R2 соответственно, их температуры — T1 и T2. Исследовать стационарное распределение температуры между сферами.
Решение. Решение этой задачи с учетом ее симметрии целесообразно проводить, используя сферические координаты. Градиент произвольной скалярной функции Φ в сферических координатах имеет вид
|
gradΦ = |
∂ Φ |
~ |
1 |
|
∂ Φ |
~ |
|
1 |
|
∂ Φ |
~ |
(28) |
|
∂r ir + r ∂ ϑ i |
ϑ + r sin ϑ ∂ ϕ iϕ, |
|||||||||||
~ ~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ir, i |
ϑ и iϕ — единичные векторы локального базиса сфериче- |
ской системы координат.
Учитывая сферическую симметрию задачи, можно сделать вывод о том, что перенос теплоты в данном случае идет только в радиальном направлении, и, следовательно, распределение температуры должно зависеть только от одной координаты: T = T (r). Уравнение теплопроводности (6) с учетом (28) может быть запи-
сано в виде |
dT (r) |
|
||
jQ = −κ |
(29) |
|||
|
. |
|||
dr |
Как и в предыдущей задаче, мы должны учесть отсутствие в среде источников теплоты. Следовательно, поток теплоты через любую сферическую поверхность радиусом r, имеющую общий центр с граничными сферами, должен иметь одно и то же значение. Используя (1) и учитывая, что вектор плотности потока теплоты
~ имеет радиальное направление, получаем jQ
J = j |
S = πr2j |
Q |
|
= const. |
||||||||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда из (29) следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r2 |
dT (r) |
|
J |
|
|
= const, |
||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
||||||
|
dr |
|
πκ |
|||||||||
откуда |
|
dT (r) |
|
|
J |
|
|
|||||
|
|
= − |
|
r−2. |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dr |
πκ |
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Интегрируя последнее соотношение, получаем зависимость
J
T (r) = − πκr + C.
Постоянные в этом выражении могут быть найдены из граничных условий
T (R1) = T1; T (R2) = T2,
приводящих к системе уравнений |
|
|
|
||
− |
J |
+ C = T1; |
− |
J |
+ C = T2. |
|
|
||||
πκR1 |
πκR2 |
Определив из этой системы уравнений неизвестные постоянные, получим распределение температуры между сферами:
T (r) = |
R1R2 |
T1 − T2 |
+ |
R2T2 − R1T1 |
. |
|
|||||
|
R2 − R1 r |
|
R2 − R1 |
Задача 3. Урановый шар радиусом R = 10 см облучают равномерным потоком нейтронов. Тепловая мощность, выделяющаяся
врезультате реакций деления ядер урана в единице объема шара, q = 108 Вт/м3. Найдите стационарное распределение температуры в шаре, а также значение температуры в его центре, считая, что поверхность шара охлаждается проточной водой с температу-
рой T0 = 373 К. Коэффициент теплопроводности урана считать постоянным и равным κ = 400 Вт/(м ∙ К).
Решение. В стационарном случае распределение температуры
вцентре шара не должно зависеть от времени. С учетом симметрии задачи можно считать, что температура вещества шара зависит только от расстояния r от его центра: T = T (r). Следовательно, уравнение теплопроводности, так же, как и в задаче 2, целесообразно записать с использованием сферических координат:
jQ = −κ |
dT (r) |
(30) |
dr . |
В отличие от задачи 2 следует учесть выделение теплоты в объеме шара. Закон сохранения энергии и условие стационарности задачи в этом случае требуют, чтобы теплота, выделяющаяся внутри сферы радиусом r 6 R в единицу времени, отводилась от ее поверхности. Следовательно, тепловая мощность, выделяюща-
яся в объеме 43 πr3, должна быть равна тепловому потоку через
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
поверхность 4πr2: |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
πr3q = 4πr2jQ , |
|||||||||||||||
откуда |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
j |
= |
qr. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив последнее соотношение в уравнение теплопровод- |
|||||||||||||||||
ности (30), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dT (r) |
= |
|
− |
|
q |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r. |
||||||||
|
|
|
|
dr |
|
3κ |
|||||||||||
Интегрирование последнего соотношения приводит к следую- |
|||||||||||||||||
щему результату: |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|||
|
T (r) = − |
|
r2 + C. |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
6 |
κ |
|||||||||||||||
Постоянная интегрирования C |
|
может быть найдена из гранич- |
|||||||||||||||
ного условия T (R) = T0. Таким образом, распределение темпера- |
|||||||||||||||||
туры в объеме шара имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
T (r) = |
q |
R2 |
− |
r2 |
+ T0. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
6κ |
||||||||||||||||
Температура в центре шара |
|
|
|
|
T (r)|r=0 = 6qκR2 + T0 = 790 K.
Задача 4. Оцените среднюю длину свободного пробега hλi и среднее время между двумя столкновениями hτi для молекул кислорода при нормальных условиях. Считайте, что эффективный диаметр молекулы кислорода при нормальных условиях
d0 = 0, 3 нм.
Решение. В соответствии с формулой (12) средняя длина сво-
бодного пробега |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
hλi = |
√ |
|
σn |
= |
√ |
|
πd2n |
. |
(31) |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Записав уравнение состояния идеального газа в виде p = nkT , где p — давление газа, мы получим значение концентрации молекул, которое подставим в выражение (31). Следовательно,
hλi = √ kT = 4, 1 ∙ 10−6 м.
Здесь мы учли, что при нормальных условиях T = 273 K, p = = 1, 013 ∙ 105 Па.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Среднее время между соударениями hτi связано с длиной свободного пробега hλi соотношением
h |
τ |
i |
= |
hλi |
. |
|
|||
|
|
h |
v |
i |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Средняя скорость молекулы идеального газа в соответствии с |
|||||||||
формулой (16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hvi = r |
|
|
|
||||||
|
8πm , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
kT |
где m = |
M |
— масса молекулы кислорода, M — молярная масса |
||||||
|
||||||||
|
NA |
|
|
|
||||
вещества, NA — число Авогадро. Отсюда следует |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
s |
kT M |
|||||
|
|
hτi = |
|
|
= 2, 2 ∙ 10−10 с. |
|||
|
|
4d02p |
πNA |
Задача 5. Как зависит средняя длина свободного пробега hλi и среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени от температуры T идеального газа в следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном; в) адиабатном?
Решение. Средняя длина свободного пробега молекулы hλi определена соотношением (12):
1
hλi = √2σn.
Учитывая, что концентрация молекул n связана с объемом газа V формулой
|
|
N |
|
||||
n = |
|
|
|
, |
|
|
|
V |
|
||||||
где N — число молекул газа, можно записать |
|
||||||
hλi = |
√ |
V |
(32) |
||||
|
σN |
. |
|||||
2 |
Среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени связано с hλi соотношением
hfi = hhvλii,
16
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где hvi — средняя скорость теплового движения молекул, определенная выражением (16)
|
|
hvi = r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8πm , |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hfi = |
|
V |
|
|
|
r |
πm |
|
(33) |
|||||||
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
4σN |
kT |
||||||||||||||
В изобарном процессе из уравнения Клапейрона — Менделеева |
||||||||||||||||
|
|
pV = νRT |
|
|||||||||||||
следует, что |
|
νR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
= |
= const. |
|
||||||||||||
|
T |
|
p |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в этом процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const ∙ T ; hfi = const ∙ T 1/2.
Визохорном процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const; hfi = const ∙ T −1/2.
Вадиабатном процессе из уравнения Клапейрона — Менделеева и уравнения Пуассона
pV γ = const,
где γ — показатель адиабаты, следует
T V γ−1 = const.
Отсюда
1
V = const ∙ T 1−γ . В соответствии с (32) и (33) мы получим
1 |
|
|
1+γ |
||
hλi = const ∙ T |
1−γ |
; |
hfi = const ∙ T |
2(1−γ) |
. |
Задача 6. Один из методов экспериментального определения длины свободного пробега атомов и молекул, реализованный в эксперименте М. Борна и Е. Бормана в 1921 г., состоял в следующем. Пучок атомов серебра пропускался через замкнутый сосуд
17
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
с сильно разреженным воздухом, давление в котором можно было регулировать с помощью вакуумного насоса. В опыте исследовалась зависимость интенсивности пучка атомов от расстояния, пройденного пучком. Каким образом из результатов этого эксперимента можно извлечь информацию о длине свободного пробега атомов серебра в воздухе?
Решение. Уменьшение количества атомов серебра в пучке связано с тем, что они рассеиваются вследствие столкновений с молекулами воздуха.
Если N — число атомов, прошедших без столкновений расстояние x, а |dN| — число атомов, выбывших из пучка вследствие столкновений с молекулами воздуха в слое толщиной dx, то веро-
ятность рассеивания атома в этом слое равна − |
dN |
. |
|
||
N |
||
С другой стороны, вероятность этого события равна вероятно- |
сти столкновения атома с молекулой воздуха в слое толщиной dx,
dx
т. е. равна отношению hλi, где hλi — средняя длина свободного пробега атомов серебра в воздухе. Следовательно,
−dNN = hdxλi.
Интегрируя последнее равенство, получаем
N (x) = N0 exp − |
x |
, |
|
||
hλi |
где N0 — число атомов в пучке при x = 0. Отсюда, располагая экспериментальными данными для зависимости N (x), можно оценить величину hλi.
Зависимость N (x) можно получить, используя (как это и было сделано в оригинальном эксперименте) метод осаждения серебра на охлаждаемых стеклянных пластинках: чем больше N, тем более плотный слой серебра окажется на стеклянной пластинке, преграждающей путь пучка при фиксированном времени экспонирования.
Задача 7. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной H = 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси OZ. Радиус внутреннего цилиндра R1 = 49 мм, радиус внешнего
18
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
R2 = 50 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр вращается с постоянной частотой f1 = 20 c−1. Внешний цилиндр в начальный момент времени неподвижен. Определите, за какой промежуток времени t с момента освобождения внешнего цилиндра его частота вращения f2 станет равной 10 c−1. Эффективный диаметр молекулы воздуха при нормальных условиях d0 = 0, 3 нм. Масса внешнего цилиндра m = 100 г.
Решение. При вращении внутреннего цилиндра в воздушном зазоре возникает градиент скорости, который можно считать приблизительно постоянным:
du |
≈ |
u |
= |
ω2R2 − ω1R1 . |
|
|
|
R2 − R1 |
|||
dr |
|
R2 − R1 |
На каждый элемент поверхности S внешнего цилиндра действует сила вязкого трения, направленная по касательной к поверхности, в соответствии с (2) и (7):
Fтр = η |
du |
|
|
|
ω1R1 |
ω2R2 |
|
|
|
||
|
S = η |
R2 |
− R1 |
S. |
|
|
|||||
dr |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
Силы трения, действующие |
на внешний цилиндр, создают от- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
носительно оси цилиндров момент |
|
|
|
|
|
||||||
Mтр = |
FтрR |
|
|
= η |
ω1R1 − ω2R2 SR |
|
= |
||||
|
X |
|
2 |
X |
R2 − R1 |
|
2 |
|
= η |
ω1R1 − ω2R2 2πR22H. |
|
R2 − R1 |
Тогда, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела, закон изменения момента импульса внешнего цилиндра можно записать в виде
I |
dω2 |
= Mтр = |
2πηR22H |
(ω1R1 − ω2R2) , |
dt |
R2 − R1 |
где момент инерции внешнего цилиндра I = mR22. Последнее уравнение удобно переписать в виде
I ddtω2 = A − B ω2,
19
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πηR2H |
|
||||||
|
2πηR2H |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A = |
|
2 |
|
|
|
R1 ω1; B = |
|
|
|
|
2 |
R2. |
(34) |
|||||||||||
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
− R1 |
|
|
|
|
R2 − R1 |
|
|||||||||||||||||
Его легко преобразовать к удобной для интегрирования форме |
||||||||||||||||||||||||
|
|
dω |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
A |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
= − |
|
ω2 − |
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||
|
|
dt |
I |
B |
|
|||||||||||||||||||
откуда, интегрируя это выражение, получаем |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|||||||
|
ln ω2 − |
|
+ const |
= − |
|
t, |
(35) |
|||||||||||||||||
|
B |
I |
||||||||||||||||||||||
или, после потенцирования, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
B |
|
||||||||||||||
|
ω2 = |
|
|
+ C exp − |
|
|
t . |
(36) |
||||||||||||||||
|
|
B |
I |
|||||||||||||||||||||
Здесь C — постоянная интегрирования; ее можно найти из началь- |
||||||||||||||||||||||||
ного условия ω2|t=0 = 0, которое дает нам |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C = − |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выражение (36), таким образом, можно записать в виде |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ω2 |
= B 1 − exp − I t . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
B |
|
Учитывая явный вид коэффициентов A и B, определенных выражениями (34), а также формулу для момента инерции тонкостенного цилиндра, получаем
|
|
|
|
A |
= |
R1 |
ω1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Удобно ввести обозначение |
|
|
|
|
|
||||||
|
B |
= |
|
2πηR2H |
|
= |
1 |
, |
|||
|
I |
(R2 − R1) m |
τ |
где τ — параметр, имеющий размерность времени. Тогда зависимость угловой скорости внешнего цилиндра от времени будет
иметь вид |
R1 |
|
1 − exp − |
t |
. |
|
||
ω2 = |
ω1 |
(37) |
||||||
R2 |
τ |
|
||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|