Решение задач по курсу общей физики. Процессы переноса (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

При описании внутреннего трения в качестве переносимой величины Ω выступает импульс молекулы при упорядоченном движении газа в направлении, перпендикулярном оси OX:

где u (x) — скорость упорядоченного движения (течения) газа в точке с координатой x.

С учетом формулы (22) уравнение переноса (10) можно записать в виде

которые позволяют по результатам измерения одного из них определить остальные.

Кроме того, как следует из выражений (13), (21) и (24), экспериментально полученные значения кинетических коэффициентов D, κ и η дают возможность определить среднюю длину свободного пробега молекулы, а следовательно, ее эффективное сечение σ.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Имеется бесконечная однородная плоскопараллельная пластинка толщиной L, поверхности которой поддерживают при постоянных температурах T1 и T2. Требуется найти стационарное распределение температуры T внутри такой пластинки. Коэффициент теплопроводности вещества пластинки κ считать постоянным.

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Решение. В данном случае с учетом симметрии задачи удобно ось OX направить перпендикулярно пластинке.

Стационарным называют такое распределение температуры, которое не изменяется с течением времени. Очевидно, что в этой задаче температура среды T = T (x). Начало координат выберем так, чтобы

Если внутри пластинки источники теплоты отсутствуют, то

плотность потока теплоты не должна зависеть от координаты: количество теплоты, поступающее в единицу времени в любой слой, параллельный поверхности пластинки, должно быть равно количеству теплоты, в единицу времени уходящему из него. Следовательно, плотность потока теплоты jQ от координаты x не зависит: jQ = const. Уравнение теплопроводности в этом случае удобно

переписать в виде

dT (x) −jQ dx = κ .

Правая часть полученного уравнения есть величина постоянная, что позволяет легко его проинтегрировать:

j

T (x) = − κQ x + C, (27)

где C — постоянная интегрирования.

Таким образом, мы обнаруживаем, что температура вдоль оси OX изменяется по линейному закону. Учитывая граничные условия (26), получаем

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Задача 2. Имеются две концентрические сферы, пространство между которыми заполнено однородной средой с постоянным коэффициентом теплопроводности κ. Радиусы внутренней и внешней сфер равны R1 и R2 соответственно, их температуры — T1 и T2. Исследовать стационарное распределение температуры между сферами.

Решение. Решение этой задачи с учетом ее симметрии целесообразно проводить, используя сферические координаты. Градиент произвольной скалярной функции Φ в сферических координатах имеет вид

ской системы координат.

Учитывая сферическую симметрию задачи, можно сделать вывод о том, что перенос теплоты в данном случае идет только в радиальном направлении, и, следовательно, распределение температуры должно зависеть только от одной координаты: T = T (r). Уравнение теплопроводности (6) с учетом (28) может быть запи-

Как и в предыдущей задаче, мы должны учесть отсутствие в среде источников теплоты. Следовательно, поток теплоты через любую сферическую поверхность радиусом r, имеющую общий центр с граничными сферами, должен иметь одно и то же значение. Используя (1) и учитывая, что вектор плотности потока теплоты

~ имеет радиальное направление, получаем jQ

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Интегрируя последнее соотношение, получаем зависимость

J

T (r) = − πκr + C.

Постоянные в этом выражении могут быть найдены из граничных условий

T (R1) = T1; T (R2) = T2,

Определив из этой системы уравнений неизвестные постоянные, получим распределение температуры между сферами:

Задача 3. Урановый шар радиусом R = 10 см облучают равномерным потоком нейтронов. Тепловая мощность, выделяющаяся

врезультате реакций деления ядер урана в единице объема шара, q = 108 Вт/м3. Найдите стационарное распределение температуры в шаре, а также значение температуры в его центре, считая, что поверхность шара охлаждается проточной водой с температу-

рой T0 = 373 К. Коэффициент теплопроводности урана считать постоянным и равным κ = 400 Вт/(м ∙ К).

Решение. В стационарном случае распределение температуры

вцентре шара не должно зависеть от времени. С учетом симметрии задачи можно считать, что температура вещества шара зависит только от расстояния r от его центра: T = T (r). Следовательно, уравнение теплопроводности, так же, как и в задаче 2, целесообразно записать с использованием сферических координат:

В отличие от задачи 2 следует учесть выделение теплоты в объеме шара. Закон сохранения энергии и условие стационарности задачи в этом случае требуют, чтобы теплота, выделяющаяся внутри сферы радиусом r 6 R в единицу времени, отводилась от ее поверхности. Следовательно, тепловая мощность, выделяюща-

яся в объеме 43 πr3, должна быть равна тепловому потоку через

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

T (r)|r=0 = 6qκR2 + T0 = 790 K.

Задача 4. Оцените среднюю длину свободного пробега hλi и среднее время между двумя столкновениями hτi для молекул кислорода при нормальных условиях. Считайте, что эффективный диаметр молекулы кислорода при нормальных условиях

d0 = 0, 3 нм.

Решение. В соответствии с формулой (12) средняя длина сво-

Записав уравнение состояния идеального газа в виде p = nkT , где p — давление газа, мы получим значение концентрации молекул, которое подставим в выражение (31). Следовательно,

hλi = √ kT = 4, 1 ∙ 10−6 м.

Здесь мы учли, что при нормальных условиях T = 273 K, p = = 1, 013 ∙ 105 Па.

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Среднее время между соударениями hτi связано с длиной свободного пробега hλi соотношением

Задача 5. Как зависит средняя длина свободного пробега hλi и среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени от температуры T идеального газа в следующих процессах: а) изобарном; б) изохорном; в) адиабатном?

Решение. Средняя длина свободного пробега молекулы hλi определена соотношением (12):

1

hλi = √2σn.

Учитывая, что концентрация молекул n связана с объемом газа V формулой

Среднее число столкновений hfi каждой молекулы в единицу времени связано с hλi соотношением

hfi = hhvλii,

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где hvi — средняя скорость теплового движения молекул, определенная выражением (16)

Следовательно, в этом процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const ∙ T ; hfi = const ∙ T 1/2.

Визохорном процессе в соответствии с (32) и (33) hλi = const; hfi = const ∙ T −1/2.

Вадиабатном процессе из уравнения Клапейрона — Менделеева и уравнения Пуассона

pV γ = const,

где γ — показатель адиабаты, следует

T V γ−1 = const.

Отсюда

1

V = const ∙ T 1−γ . В соответствии с (32) и (33) мы получим

Задача 6. Один из методов экспериментального определения длины свободного пробега атомов и молекул, реализованный в эксперименте М. Борна и Е. Бормана в 1921 г., состоял в следующем. Пучок атомов серебра пропускался через замкнутый сосуд

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

с сильно разреженным воздухом, давление в котором можно было регулировать с помощью вакуумного насоса. В опыте исследовалась зависимость интенсивности пучка атомов от расстояния, пройденного пучком. Каким образом из результатов этого эксперимента можно извлечь информацию о длине свободного пробега атомов серебра в воздухе?

Решение. Уменьшение количества атомов серебра в пучке связано с тем, что они рассеиваются вследствие столкновений с молекулами воздуха.

Если N — число атомов, прошедших без столкновений расстояние x, а |dN| — число атомов, выбывших из пучка вследствие столкновений с молекулами воздуха в слое толщиной dx, то веро-

сти столкновения атома с молекулой воздуха в слое толщиной dx,

dx

т. е. равна отношению hλi, где hλi — средняя длина свободного пробега атомов серебра в воздухе. Следовательно,

−dNN = hdxλi.

Интегрируя последнее равенство, получаем

где N0 — число атомов в пучке при x = 0. Отсюда, располагая экспериментальными данными для зависимости N (x), можно оценить величину hλi.

Зависимость N (x) можно получить, используя (как это и было сделано в оригинальном эксперименте) метод осаждения серебра на охлаждаемых стеклянных пластинках: чем больше N, тем более плотный слой серебра окажется на стеклянной пластинке, преграждающей путь пучка при фиксированном времени экспонирования.

Задача 7. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной H = 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси OZ. Радиус внутреннего цилиндра R1 = 49 мм, радиус внешнего

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

R2 = 50 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр вращается с постоянной частотой f1 = 20 c−1. Внешний цилиндр в начальный момент времени неподвижен. Определите, за какой промежуток времени t с момента освобождения внешнего цилиндра его частота вращения f2 станет равной 10 c−1. Эффективный диаметр молекулы воздуха при нормальных условиях d0 = 0, 3 нм. Масса внешнего цилиндра m = 100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра в воздушном зазоре возникает градиент скорости, который можно считать приблизительно постоянным:

На каждый элемент поверхности S внешнего цилиндра действует сила вязкого трения, направленная по касательной к поверхности, в соответствии с (2) и (7):

Тогда, согласно основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела, закон изменения момента импульса внешнего цилиндра можно записать в виде

где момент инерции внешнего цилиндра I = mR22. Последнее уравнение удобно переписать в виде

I ddtω2 = A − B ω2,

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учитывая явный вид коэффициентов A и B, определенных выражениями (34), а также формулу для момента инерции тонкостенного цилиндра, получаем

где τ — параметр, имеющий размерность времени. Тогда зависимость угловой скорости внешнего цилиндра от времени будет